牛顿法拟牛顿法

牛顿法拟牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的方法，其原理是在迭代中使用方程的导数来近似方程的根。

虽然牛顿法非常有效，但它往往需要非常精准的初始猜测才能保证收敛性。

另一种类似于牛顿法的方法是拟牛顿法，它可以通过逐步调整矩阵B来近似牛顿法的矩阵Hessian。

本文将介绍牛顿法和拟牛顿法的原理和应用。

一、牛顿法
假设有一个n维非线性方程系统f(x)=0，其中x是一个n维向量。

牛顿法中的每个迭代都是通过以下公式来更新当前估计xk的：
xk+1=xk-Hk^(-1)fk
其中Hk是f(x)的Hessian矩阵在xk处的值，假设Hk是可逆的。

牛顿法的优点是它快速收敛，并且可以通过适当选择初始估计来实现收敛。

另一个好处是它可以直接用于求解大型系统，因为它只涉及二次导数的计算。

然而，牛顿法的缺点是它需要计算Hessian矩阵，这通常是一个费时且复杂的任务。

另一个问题是当Hessian矩阵的条件数（即最大特征值与最小特征值之比）很大时，牛顿法的收敛可能会变得很慢。

二、拟牛顿法
拟牛顿法的思想是利用一个矩阵Bk来代替牛顿法中的Hk矩阵。

Bk是一个正定对称的矩阵，其初值通常为单位矩阵In。

在每个迭代中，Bk被更新为一个近似的Hessian逆矩阵。

最常用的拟牛顿法算法之一是BFGS算法，其更新规则如下：Bk+1=Bk+(yk^Tyk)/(yk^Ts)+(BkSkS^TBk)/(sk^TBksk)
其中sk=xk+1-xk，yk=g(xk+1)-g(xk)，g表示f的梯度，^T表示矩阵转置。

该公式是基于以下观察得出的：
Bk+1应该满足以下性质：
Bk+1是正定对称的。

Bk+1应该近似于Hk+1的逆，其应该满足以下方程：
Bk+1sk=yk
另外，BFGS算法的收敛速度也相对比牛顿法要慢，因为BFGS算法需要逐步修正矩阵Bk，直到其逼近Hessian矩阵的逆。

三、应用
牛顿法和拟牛顿法在许多实际问题中应用广泛，特别是在数学、物理、金融和工程领域。

例如，它们可以用于求解非线性最小二乘问题、最大似然问题和非线性方程组，如电路设计、统计建模和图像处理等问题。

在金融学中，牛顿法和拟牛顿法可以用于定价期权的欧式和美式期权，以及衍生品和波动率曲面的估计。

在工程学中，它们可以用于建立动态系统模型和控制算法，特别是在自适应控制和非线性控制中。

总之，牛顿法和拟牛顿法是非线性最优化问题中最常用的迭代法之一。

它们基于对目标函数梯度和Hessian矩阵的逐步近似，具有高度精度和收敛速度。

然而，每种方法都有其独特的优点和缺点，对于不同的问题需要选择不同的方法来解决。