数学,半角公式

第4讲 倍角、半角公式

北京四中 苗金利

考纲导读

1． 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的 内在联系。

2． 解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点

复习和差角的三角函数公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+

sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-

cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

典型例题分析

例1、求证下列等式成立：

（1）sin 22sin cos ααα=⋅；

（2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．

（3）22tan tan 21tan ααα

=

-； （4）21cos sin 22

αα-=； （5）21cos cos 22

αα+=； （6）21cos tan 21cos ααα

-=+； （7）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+；

（8）sin sin )a A b A A ϕ++， 其中

cos ϕ=sin ϕ． 例2、求值：

（2）已知3sin()1225π

θ-=，求cos()6πθ-． （3）已知sin()4

m π

α+=，求sin 2α． 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求：

（1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）f (x )的单调区间．

例4、当3[,]44

x ππ∈时，求下列函数的值域 （1）cos2sin y x x =+；

（2）sin cos sin cos y x x x x =+-；

（3）3sin 4cos y x x =+．