1.1.2集合间的基本关系教案
新人教A版高中数学必修一1.1.2《集合间的基本关系》Word精品教案
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念⊆若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五） 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
1.1.2集合间的基本关系学案(详细)
1.1.2 集合间的基本关系课堂导学： 探索新知：探究、比较下面的几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）A ＝{1，2，3}， B ＝{1，2，3，4，5} （2）A={菱形}， B ＝{平行四边形} （3）A={x|x>2}， B={x|x>1}新知、子集，相等，真子集，空集的概念。
（1） 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A 是集合B 的子集，记作：()A B B A ⊆⊇或者，读作：A 包含于B （或者B包含A ）。
（2）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称之为Venn 图。
用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或者。
（3）集合相等：若A B ⊆⊆且B A ，则A=B 中的元素都是一样的，因此A=B 。
（4）真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B(或B A )，读作：A 真包含于B 或B 真包含A 。
（5）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：∅，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
试试、用适当的符号填空。
（1）{a,b}________{a,b,c}; a____{a,b,c}（2）∅______2{|30}x x +=, ∅_________R（3）N_______{0,1}.Q ______N;（4）{0}_______2{|0}x x x -=. 反思：思考下列问题：（1）符号"""{}"a A a A ∈∈与有什么区别？试举例说明。
（2）任何一个集合是它本身的子集么？任何一个集合是它本身的真子集么？试用符号表示结论。
（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？ （a ）,a b ≥≥若且b a,则a=b.（b ）,a b c ≥≥≥若且b ,则a c.⊂ ≠ ⊂ ≠典型例题：例1、（1）写出集合{a 、b }的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。
1.1.2集合间的基本关系教案
1.1.2集合的基本关系一、[教学目标]1、知识与技能理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集、空集的定义，能够识别给定集合的子集。
同时培养学生类比、分析、归纳的能力，能使用Venn图表达集合的关系。
2、过程与方法通过类比元素与集合的从属关系，实数相等与不相等的关系，探究集合之间的包含与相等关系；初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
3、情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识探索和发现的过程中，激发学生学习数学的兴趣。
二、[教学重点]理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集的概念，以及识别给定集合的子集，同时学会用Venn图表示集合间的关系。
三、[教学难点]识别给定集合的子集,了解子集和真子集之间的区别和联系。
四、[教学方法]1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法新课程标准要求教师转换角色，不仅关注教授学生的具体知识，更应关注教授学生学习的策略。
在教学活动中要以学生为主体，充分发挥学生的在学习活动中的作用。
因此本节课学生学习的主要方式是：自主探究法，观察发现法、归纳总结法。
让学生在老师的引导下进行“观察—归纳—检验—应用”的学习过程，启发学生学习思维，最终掌握知识。
五、[教学过程]1、导入新课采用类比思想，元素与集合间有“属于”或“不属于”的关系，实数间有“相等”或“不相等”的关系，引导学生发现问题：集合与集合间有什么样的关系呢？学生观察例子，探究集合A与集合B之间的关系：A={x|x我们班的女同学}，B={x|x我们班的全体同学}2、讲授新课1）集合的包含关系和子集讲解通过讨论得出上述集合A与集合B有包含关系，那么你可以概括包含关系和子集的定义吗？教师提醒学生从集合元素的角度出发，根据集合元素的特征来进行归纳概括。
教学设计6：1.1.2集合间的基本关系
§1.1.2集合间的基本关系教学目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念.教学重难点：1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；2、空集的概念以及与一般集合间的关系.教学过程：一、复习（结合提问）：1．集合的概念、集合三要素2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法3．关于“属于”的概念二、新课讲授（一）子集的概念1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B已(或B⊄A)（二）空集的概念不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定: 空集是任何集合的子集.（三）“相等”关系1、实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果A⊆B同时B⊆A那么A=B）.2、①任何一个集合是它本身的子集. A⊆A②真子集：如果A⊆B ,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B③空集是任何非空集合的真子集.④如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C.证明：设x 是A 的任一元素，则 x ∈AA ⊆B ,∴x ∈B 又 B ⊆C ∴x ∈C 从而A ⊆C同样；如果 A ⊆B , B ⊆C ,那么 A ⊆C（三）例题与练习例1 ．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围． 解析 ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}， ∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4， 所以a 的取值范围是a ≥4.例2．若集合M ＝{x |x ＜6}，a ＝35，则下列结论正确的是( )A ．{a }MB ．a MC ．{a }∈MD ．a ∉M答案 A解析 ∵a ＝35＜36＝6，即a ＜6，∴a ∈{x |x ＜6}，∴a ∈M ，∴{a }M .[点拨] 描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A ＝{x |x ＞1}＝B {y |y ＞1}，但是集合M ＝{x |y ＝x 2＋1，x ∈R }和N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．例3．以下共有6组集合．(1)A ＝{(－5,3)}，B ＝{－5,3}；(2)M ＝{1，－3}，N ＝{3，－1}；(3)M ＝∅，N ＝{0}；(4)M ＝{π}，N ＝{3.1415}；(5)M ＝{x |x 是小数}，N ＝{x |x 是实数}；(6)M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{y |y 2－3y ＋2＝0}．其中表示相等的集合有( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组答案 A解析：(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．例4．下列六个关系式，其中正确的有( )①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下答案 C解析：①②⑤⑥正确．随堂练习1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A 解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( )A ．A >BB ．A BC ．B AD ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立．3．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,3,5}，则A －B 等于( )A ．AB ．BC ．{2}D ．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A 中但是不能在B 中，所以只能是D.5．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( )A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉BB ．对任意的b ∈B ，都有b ∈AC ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉BD ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．6．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A .答案：B A三、小结子集、真子集、空集的有关概念.四、作业课本习题。
集合间的基本关系教案
集合间的基本关系教案篇一：集合间的基本关系示范教案1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与�恋那�别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2)��;(3)∈)推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A�罛,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)实数中的“≤”类比集合中的?.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A?B时,AB或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠?).(9)类比子集.讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A?B,但有一个元素4∈B,且4?A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A?B,且B?A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B. ?图1-1-2-1(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示. 图1-1-2-2图1-1-2-3(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集. 图1-1-2-4(9)若A?B,B?C,则A?C;若A应用示例 B,BC,则AC.思路11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A?B,B?A,A?C,C?A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A?B成立,否则A?B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:B?A,C?A.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5变式训练课本P7练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A?B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}.变式训练2007山东济宁一模,1已知集合P={1,2},那么满足Q?P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.1分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,又集合Q?P,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为?,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为?,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为?,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. ……集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=_______. 活动：先让学生思考B?A的含义,根据B?A,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为B?A,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论. 解：∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠?,由于NM,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论.解：由题意得M={x|x>2}≠?,则N=?或N≠?.当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;111,又∵NM,∴∈M.∴>2. aaa111∴0<a<.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0<a<,即实数a的取值范围是{a|0≤a<} 2222.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}. 当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：(1)?的子集有:?,即�劣�1个子集;{a}的子集有:?、{a},即{a}有2个子集;{a,b}的子集有:?、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;{a,b,c}的子集有:?、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M有2=21个子集;当n=2时,集合M有4=22个子集;当n=3时,集合M有8=23个子集;因此含有n个元素的集合M有2n个子集.变式训练已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A 有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个分析:对集合A所含元素的个数分类讨论.A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练课本P7练习1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集.( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集.( )(4)若B?A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.( ) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x?A时也必有x?B.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:?、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}?{1,0,2}④?∈{0,1,2} ⑤?∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( ) A.aMB.a?MC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于?只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}?{0,1,2},④应是??{0,1,2},⑤应是??{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}答案：(1)C (2)C (3)D M.篇二：2014高中学科教学设计-集合间的基本关系我的教学设计模板篇三：《集合间的基本关系》教学设计1.1.2集合间的基本关系一、设计理念新课标指出：学生的数学学习活动不应只是接受、记忆、模仿、练习，教师应引导学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学，应注重提升学生的数学思维能力，注重发展学生的数学应用意识。
学案3：1.1.2集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系教学目标:1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(2)理解子集.真子集的概念.(3)了解Venn图表达集合间的关系.(4)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感.态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用.学习流程1．Venn图在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示．【例1】试用V enn图表示集合A＝{x|x2－16＝0}．解：集合A是方程x2－16＝0的解集，解方程x2－16＝0，得x1＝4，x2＝－4，所以A ＝{－4,4}，用Venn图表示如图所示．谈重点对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制．2．子集具有北京市东城区户口的人组成集合，具有北京市户口的人组，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京(2)集合A是集合B的子集不能．．理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作A B或B A．(4)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N．【例2】已知集合M＝{0,1}，集合N＝{0,2,1－m}，若M⊆N，则实数m＝__________．解析：由题意知M⊆N，又集合M＝{0,1}，因此1∈N，即1－m＝1．故m＝0．答案：0【例3】已知集合M＝{x∈Z|－1≤x＜3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}，试判断集合M，N的关系．解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x的可能取值为－1,0,1,2．∴M＝{－1,0,1,2}．又∵y∈M，∴|y|分别是0,1,2．∴N＝{0,1,2}．∴N⊆M．3．集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，那么集合A与集合B 相等，记作A ＝B ．用Venn 图表示如图所示．谈重点 对集合相等的理解 (1)A ＝B ⇔A ⊆B ，且B ⊆A ，这是证明两个集合相等的重要依据；(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；(4)集合中的关系与实数中的结论类比 A ⊆B 包含两层含义：A ＝B ，或A B A ．P ＝{1,4,7}，Q ＝{1,4,6}B ．P ＝{x |2x ＋2＝0}，Q ＝{－1}C ．3∈P ,3∈QD ．P ⊆Q解析：对于A 项，7∈P ，而7∉Q ，故P ≠Q ；对于B 项，P ＝{x |2x ＋2＝0}＝{－1}＝Q ；对于C 项，由3∈P ,3∈Q ，不能确定P ⊆Q ，Q ⊆P 是否同时成立；对于D 项，仅由P ⊆Q 无法确定P 与Q 是否相等．答案：B【例5】设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 解：由集合相等的定义，得20,x y x =⎧⎨=⎩或2,0,x x y ⎧=⎨=⎩ (1)由20,x y x =⎧⎨=⎩得x ＝0，y ＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；(2)由2,0,x x y ⎧=⎨=⎩得x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0，由(1)知x ＝0，y ＝0应舍去，x ＝1，y ＝0符合集合中元素的互异性．综上，可得x ＝1，y ＝0．4．真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A 是集合B的真子集．记法记作A B(或B A)．图示结论(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B．谈重点对真子集的理解(1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个．．．．．元素不属于集合A；(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的．若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集；(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集．【例6】已知集合P＝{2 012,2 013}，Q＝{2 011,2 012，2 013，2 014}，则有() A．P＝Q B．Q⊆PC．P Q D．Q P解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则P⊆Q，但是2 014∈Q,2 014∉P，所以P Q．答案：C5．空集定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集．记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅(2)∅是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A{0}与∅的区别{0}是含有一个元素的集合∅是不含任何元素的集合，因此∅{0}，注意不能写成∅＝{0}，∅∈{0}【例A．{0} B．{1}C．{x|x＜0} D．{x|1＋x2＝0}解析：很明显{0}和{1}都不是空集；因为{x|x＜0}是全体负数组成的集合，所以{x|x＜0}也不是空集；集合{x |1＋x 2＝0}是一元二次方程1＋x 2＝0的解集，但是方程1＋x 2＝0无实数解，所以{x |1＋x 2＝0}＝∅．答案：D【例8】有下列命题：①空集没有子集；②任一集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于①，空集是任何集合的子集，故∅⊆∅，①错；对于②，∅只有一个子集，是其自身，②错；对于③，空集不是空集的真子集，③错；空集是任何非空集合的真子集，④正确．答案：B6．集合间的关系判断(1)集合A ，B 间的关系⎩⎨⎧ 包含：A ⊆B (或B ⊆A )⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝B ，AB (或BA ).互不包含：AB ，且BA .(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn 图)来表示集合．(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：①一一列举观察；②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p (x )推出q (x )，则A ⊆B ；若q (x )推出p (x )，则B ⊆A ；若p (x )，q (x )互相推出，则A ＝B ；若p (x )推不出q (x )，q (x )也推不出p (x )，则集合A ，B 无包含关系．③数形结合法：利用数轴或Venn 图．(4)当M ⊆N 和M N 均成立时，M N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M 和N 的关系．当M ⊆N 和M ＝N 均成立时，M ＝N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M 和N 的关系．例如，集合M ＝{1}，集合N ＝{1,2}，这时M ⊆N 和M N 均成立，M N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M ＝{1}和集合N ＝{1,2}的关系．又例如，集合M ＝{3}，集合N ＝{3}，这时M ⊆N ，N ⊆M ，M ＝N 均成立，M ＝N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M ＝{3}和集合N ＝{3}的关系．【例9】指出下列各对集合之间的关系：(1)A ＝{－1,1}，B ＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；(3)A ＝{x |－1＜x ＜4}，B ＝{x |x －5＜0}；(4)M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}．分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．解：(1)集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B ．(3)集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B ．(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故N M ．点技巧 怎样用数轴表示集合 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．【例10】已知集合1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，则集合M ，N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．N M 解析：设n ＝2m 或2m ＋1，m ∈Z ，则有21211|,,2323m m N x x x m +⎧⎫==-=-∈⎨⎬⎩⎭Z 或 11|,,36x x m x m m ⎧⎫==-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或． 又∵1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ， ∴M N ．答案：B7．求已知集合的子集(或真子集)(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏．一定要考虑∅这一特殊的集合，因为∅是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集．例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集．我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3．可以得到集合{1,2,3}的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；所有真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2．我学习笔记__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例11】已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，请写出集合M．分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必须含有元素1,2，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M．解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2}；(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5}；(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．点技巧有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到．【例12】设集合A＝{a，b，c}，B＝{T|T⊆A}，求集合B．解：∵A＝{a，b，c}，又T⊆A，∴T可能为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．∴B＝{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}．【例7－3】已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．解：集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36．析规律集合所有子集的元素之和的计算公式若集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，则A 的所有子集的元素之和为(a1＋a2＋…＋a n)·2n－1．。
高中数学 1.1.2集合间的基本关系教案 新人教A版必修1
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2）2 Q ；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念⊆若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.1.2 集合的基本关系(教案)
§1.1 集合§1.1.2 集合间的基本关系【教学目标】l.知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； (2)理解子集.真子集的概念；(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
3. 情感态度与价值观（1）树立数形结合的思想；（2）体会类比对发现新结论的作用。
【教学重点】集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念。
【教学难点】属于关系与包含关系的区别。
【教学方法】让学生通过观察、类比、思考、交流.讨论，发现集合间的基本关系。
【教学过程】【导入新课】思路：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断，而是继续引导学生：欲知谁正确，让我们一起来观察、研探。
【推进新课】【新知探究】教师利用多媒体设备向学生投影出下面4个实例：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为国兴中学高一(14)（或19）班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合； （3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形 （4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==。
组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系。
【知识点1】 1、子集：【说明】（1）当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作：A B ⊆/（或B A ⊇/）。
其Venn 图如下：【知识点2】 2、子集的性质：（1）任何一个集合都是它本身的子集，即：A A ⊆； （2）规定：空集是任何集合．．．．的子集，即：A ∅⊆； （3）传递性：若,A B B C ⊆⊆，则A C ⊆。
人教版高中数学必修一1、1、2集合间的基本关系教案
1、1、2集合间的基本关系
一、教学目标：.
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系
2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系
二、教学重难点：
教学重点:理解集合间包含与相等的含义.
教学难点:理解空集的含义.
三、教学课时：1课时
四、教学过程：
课题引入：实数有相等关系，大小关系，元素与集合之间有属于与不属于关系，
那类比他们的关系，集合之间是否具备类似的关系？
思考：
例1：观察下面三个集合, 找出它们之
间的关系: A＝{1，2，3}，B＝{1，2，7}，C＝{1，2，3，4，5}
子集：一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作A B.读作“A包含于B”或“B包含A”.这时说集合A 是集
合B的子集.
注意：①区分∈；②也可用.
文氏图：
A
B
思考:A= {x | x是两条边相等的三角形} B= {x | x是等腰三角形}
有A B，B A，则A＝B.
集合相等：若A B，B A，则A＝B.
思考：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
真子集：如果A B，但存在元素x B，且x∈A，称A是B的真子
集.记作A B(或B A).读作A真包含于B，或B真包含A。
思考：指出B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.的元素
B没有元素.
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1.1.2集合间的基本关系教案数学_人教A版必修1
1.1.2 会合间的基本关系教课方案（师）一、教课目的1．知识与技术(1) 认识会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集.(2)理解子集 . 真子集的观点 .(3) 能使用venn图表达会合间的关系，领会直观图示对理解抽象观点的作用.2.过程与方法让学生经过察看身旁的实例，发现会合间的基本关系，体验其现实意义.3.感情、态度与价值观(1)建立数形联合的思想． (2) 领会类比对发现新结论的作用 .二、教课要点. 难点要点：会合间的包括与相等关系，子集与其子集的观点.难点：难点是属于关系与包括关系的差别．三、学法让学生经过察看. 类比 . 思虑 . 沟通 . 议论，发现会合间的基本关系.四、教课过程：（一）复习回首：（1）元素与会合之间的关系（2）会合的三性：确立性，互异性，无序性（3）会合的常用表示方法：列举法，描绘法（4）常有的数集表示( 二 ) 创建情形，新课引入：问题 l ：实数有相等 . 大小关系，如 5=5， 5＜ 7， 5＞ 3 等等，类比实数之间的关系，你会想到会合之间有什么关系呢？让学生自由讲话，教师不要急于做出判断。
而是持续指引学生；欲知谁正确，让我们一同来察看 . 研探 .( 三 ) 师生互动，新课解说：问题 1：察看下边几个例子，你能发现两个会合间有什么关系了吗？（1）A{1,2,3}, B {1,2,3, 4,5} ；(2)设 A 为我班第一组男生的全体构成的会合， B 为我班班第一组的全体构成的会合；(3)设 C{ x | x是两条边相等的三角形 }, D{ x | x是等腰三角形 };(4)E{2, 4,6}, F {6, 4,2} .组织学生充足议论 . 沟通，使学生发现两个会合所含元素范围存在各样关系，进而类比得出两个会合之间的关系 :概括：B 中的元素，我①一般地，对于两个会合A， B，假如会合 A 中随意一个元素都是会合们就说这两个会合有包括关系，称会合A为 B的子集 .A)记作：A B (或B读作： A 包括于 B( 或 B 包括 A).②假如两个会合所含的元素完整同样，那么我们称这两个会合相等.教师指引学生类比表示会合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么近似之处，加强学生对符号所表表示义的理解。
教学设计3：1.1.2 集合的基本关系
1.1.2集合的基本关系教学目标1.理解子集、真子集的概念.2.理解集合相等并能用符号和Venn图表示集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．自主学习知识点一子集与真子集1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集A B或(B A)2.子集的性质(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(4)如果A B，B C，则A C.知识点二集合的相等定义符号语言图形语言(Venn 图)如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合BA＝B1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B，于是x具有性质p(x)⇒x 具有性质q(x)，即p(x)⇒q(x)．反之，如果p(x)⇒q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“⇒”是“推出”的意思．2．如果命题“p(x)⇒q(x)”和命题“q(x)⇒p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“⇔”表示，于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)⇔q(x)，显然，如果p(x)⇔q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)⇔q(x)．题型探究题型一集合间关系的判断例1设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P【答案】B【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.反思感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义．跟踪训练1我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R 表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为________．【答案】N Z Q R题型二求集合的子集例2(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．反思感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练2适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15 B．16C．31 D．32【答案】A【解析】这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．题型三子集关系的应用例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围. 解(1)当B≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. (2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. 综上可得，m 的取值范围是m ≤3. 延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是m <3. 2.若本例条件“BA ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示． (2)涉及到“A ⊆B ”或“A B 且B ≠∅”的问题，一定要分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．跟踪训练3 已知A ＝{x ∈R |x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R |a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种．①当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a ≤2a －1成立，解得a >3；②当B ＝∅时，由a >2a －1，得a <1.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a <1或a >3}．由集合间的关系求参数典例 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．[素养评析] (1)集合A 的子集可分三类：∅、A 本身、A 的非空真子集，解题中易忽略∅. (2)根据运算对象，探究运算思路、选择运算方法，求得运算结果是数学运算的核心素养. 1.集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N }的真子集的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16 【答案】B【解析】可知A ＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}. 共有23－1＝7(个).2.设集合M ＝{x |x ＞－2}，则下列选项正确的是( ) A.{0}⊆M B.{0}∈M C.∅∈M D.0⊆M 【答案】A【解析】选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的V enn 图是( )【答案】C【解析】M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴NM .4.已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 【答案】－1【解析】∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1. 5.已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________.【答案】{a |a ≤14}【解析】∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}.∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅.即x 2－x ＋a ＝0有实根.∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A 、B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集， 有2n －2个非空真子集.。
集合间的基本关系教案
集合间的基本关系教案篇一：集合间的基本关系示范 1.1.2 集合间的基本关系整体教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别. 三维目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义. 教学难点:理解空集的含义. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5 7,5 3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生) 欲知谁正确,让我们一起来观察、研探. 思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如5 7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(：(1)∈;(2);(3)∈) 推进新课新知探究提出问题 (1)观察下面几个例子: ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; ②设A为国兴中学(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合; ③设C={x|x 是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}. 你能发现两个集合间有什么关系吗？ (2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？ (3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论? (4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？ (5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系. (7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？ (9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 活动：教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA). (3)实数中的“≤”类比集合中的?. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论:当A?B时,AB或A=B. (7)方程x2+1=0没有实数解. (8)空集记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠?). (9)类比子集. 讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中; ②集合A中的元素都在集合B中; ③集合C中的元素都在集合D中; ④集合E中的元素都在集合F 中. 可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B 中;或集合B中的元素都在集合A中. (2)例子①中A?B,但有一个元素4∈B,且4?A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同. (3)若A?B,且B?A,则A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B. ? 图1-1-2-1 (6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示. 图1-1-2-2 图1-1-2-3 (7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解. (8)空集. 图1-1-2-4(9)若A?B,B?C,则A?C;若A应用示例 B,BC,则AC. 思路1 1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集. (1)则下列包含关系哪些成立？ A?B,B?A,A?C,C?A. (2)试用Venn 图表示集合A、B、C间的关系. 活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A?B成立,否则A?B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点: (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn 图. 解：(1)包含关系成立的有:B?A,C?A. (2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示. 图1-1-2-5 变式训练课本P7练习3. 点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合 A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A?B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含. 2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论. 解：集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}. 变式训练 2007山东济宁一模,1 已知集合P={1,2},那么满足Q?P 的集合Q的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个, 又集合Q?P,所以集合Q有4个. 答案：A 点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为?,即子集的个数是1=20; 当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为?,{a},即子集的个数是2=21; 当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为?,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. …… 集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集. 思路2 1.2006上海,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=_______. 活动：先让学生思考B?A的含义,根据B?A,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为B?A,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论. 解：∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1. 答案：1 点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证. 讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式. 变式训练已知集合M={x|2-x 0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围. 分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x 2}≠?,由于NM,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论. 解：由题意得M={x|x 2}≠?,则N=?或N≠?. 当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0; 111,又∵NM,∴∈M.∴ 2. aaa 111∴0 a .综上所得,实数a的取值范围是a=0或0 a ,即实数a的取值范围是{a|0≤a } 222 2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}. 当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x= (2)由(1)你发现集合M 中含有n个元素,则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 答案：(1)?的子集有:?,即有1个子集; {a}的子集有:?、{a},即{a}有2个子集; {a,b}的子集有:?、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集; {a,b,c}的子集有:?、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集. (2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集; 当n=1时,集合M有2=21个子集; 当n=2时,集合M有4=22个子集; 当n=3时,集合M有8=23个子集; 因此含有n个元素的集合M有2n个子集. 变式训练已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A 有……( ) A.3个B.4个C.5个D.6个分析:对集合A所含元素的个数分类讨论. A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.答案：D 点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. 知能训练课本P7练习1、2. 【补充练习】 1.判断正误: (1)空集没有子集.( ) (2)空集是任何一个集合的真子集. ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集.( ) (4)若B?A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.( ) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质. 解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错. 对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x?A时也必有x?B. 2.集合A={x|-1 x 3,x∈Z},写出A的真子集. 分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集. 解：因-1 x 3,x∈Z,故x=0,1,2, 即a={x|-1 x 3,x∈Z}={0,1,2}. 真子集:?、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个. 3.(1)下列命题正确的是 ( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}?{1,0,2} ④?∈{0,1,2} ⑤?∈{0}A.5B.2C.3D.4 (3)M={x|3 x 4},a=π,则下列关系正确的是( ) A.aMB.a?MC.{a}∈MD.{a}M 分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确, 无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于?只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D. (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系. ①应是{1}?{0,1,2},④应是??{0,1,2},⑤应是??{0}. 故错误的有①④⑤. (3)M={x|3 x 4},a=π. 因3 a 4,故a是M的一个元素. {a}是{x|3 x 4}的子集,那么{a} 答案：(1)C (2)C (3)D M.篇二：2014高中学科教学设计-集合间的基本关系我的教学设计模板篇三：《集合间的基本关系》教学设计 1.1.2集合间的基本关系一、设计理念新课标指出：学生的数学学习活动不应只是接受、记忆、模仿、练习，教师应引导学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学，应注重提升学生的数学思维能力，注重发展学生的数学应用意识。
1.1.2集合间的基本关系教案
《1.1.2集合间的基本关系》教案——选自普通高中课程标准实验教科书 数学必修1教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =⊆即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
教学设计5：1.1.2集合间的基本关系
§1.1.2集合间的基本关系学习目标：1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合之间的关系.4.了解空集的含义.重难点：新课讲解一、子集提出问题11.观察实例：(1)A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；(3)设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}；(4)P={x|x是长方形}，Q={x|x是平行四边形}；(5)S={x|x>3},T={x|x>2}；(6)E={x|(x+1)(x+2)=0},F={-1,-2}.上面每个例子中的两个集合，前一个集合的元素与后一个集合的元素之间有什么关系？两个集合之间有什么关系？结论:这6个例子中“前一个集合”中的元素都是“后一个集合”中的元素.一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.提出问题22.阅读教材第6页第四段，如何用图形表示两个集合间的包含关系呢？结论:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样上述集合A与集合B的包含关系，就可以用图1.1-2-1表示.反馈练习1我们在上一节学习了特殊数集的记号，请用适当的符号填空，并用Venn图表示N,Z,Q,R 之间的关系：N Z，N Q，R Z，R Q.解：：⊆，⊆，⊇，⊇Venn图如图1.1-2-2.二、集合相等提出问题11.在子集的定义中，能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合？结论:不能.A中可能含有B中的所有元素，也可能不含任何元素(必要时教师提示补充).提出问题22.上一课时我们是如何定义两个集合相等的？结论:只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.提出问题33.观察新课开始提出的问题中的例(3)和例(6)，这两个集合中的元素一样吗？它们之间存在什么样的包含关系？结论:例(3)中，由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形，因此，集合C，D都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，则C是D的子集；同时，集合D 中的任何一个元素都是集合C 中的元素,则D 也是C 的子集.即C 和D 两集合中的元素都是相同的，也就是说两集合C 与D 相等.同理可以说明例(6)中两个集合的元素也完全相同，两集合相等.如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（B ⊆A ），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A =B .例1．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又∵c ≠1，∴c ＝－12.三、真子集 提出问题11. 观察新课开始提出的问题中的例(1)(2)(4)(5)，除了集合A 中的元素都是集合B 中的元素外，你还有什么新的发现？结论：集合A 中的元素都是集合B 中的元素，但集合B 中存在元素不在集合A 中. 如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）. 提出问题22.在实数中有如下结论： (1)对于任何一个实数a ，有a ≤a ；(2)对于实数a ,b ,c ，如果a ≤b ,且b ≤c ，那么a ≤C .你能类比这两个结论，写出两个集合之间的类似关系吗？ 结论:（1）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .（2）对于集合A ,B ,C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C .例2．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求m 的值． 解析：∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，且B A . ∴(1)当B ＝∅时，方程mx ＋1＝0无解，故m ＝0； (2)当B ≠∅时，则B ＝{－1m }．若－1m ＝－3，则m ＝13；若－1m ＝2，则m ＝－12.综上知，m 的值为0，－12，13.四、空集 提出问题1观察下面四个集合：（1）方程x 2+1=0的实数根组成的集合； （2）不等式3 x 2+2<0的解组成的集合； （3）比5大1的负数组成的集合；（4）边长分别为1,1,4的三角形组成的集合。
高中数学必修1公开课教案1.1.2集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用V enn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈)推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn 图表示集合A 和B 的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x 2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn 图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A ⊆B,但存在x ∈B,且x ∉A,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A ⊆B 时,A B 或A=B.(7)方程x 2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.讨论结果：(1)①集合A 中的元素都在集合B 中;②集合A 中的元素都在集合B 中;③集合C 中的元素都在集合D 中;④集合E 中的元素都在集合F 中.可以发现:对于任意两个集合A,B 有下列关系:集合A 中的元素都在集合B 中;或集合B 中的元素都在集合A 中.(2)例子①中A ⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E 和集合F 中的元素完全相同.(3)若A ⊆B,且B ⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x 2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.应用示例思路11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B 表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A⊆B成立,否则A⊆B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:B⊆A,C⊆A.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5变式训练课本P7练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A⊆B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有A B;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有A B,且B A,即集合A、B互不包含.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合{a,b}的所有子集为∅,{a},{b},{a,b}.真子集为∅,{a},{b}.变式训练2007山东济宁一模,1已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.1分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,又集合Q⊆P,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为∅,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为∅,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为∅,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. ……集合A 中含有n 个元素,那么集合A 有2n 个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A 有(2n -1)个真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m 2}.若B ⊆A,则实数m=_______. 活动：先让学生思考B ⊆A 的含义,根据B ⊆A,知集合B 中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m 的值.因为B ⊆A,所以3∈A,m 2∈A.对m 2的值分类讨论. 解：∵B ⊆A,∴3∈A,m 2∈A.∴m 2=-1(舍去)或m 2=2m-1.解得m=1.∴m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m 2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m 的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N M,求实数a 的取值范围.分析:集合N 是关于x 的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠∅,由于N M,则N=∅或N≠∅,要对集合N 是否为空集分类讨论.解：由题意得M={x|x>2}≠∅,则N=∅或N≠∅.当N=∅时,关于x 的方程ax=1中无解,则有a=0;当N≠∅时,关于x 的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=a 1,又∵N M,∴a 1∈M.∴a1>2. ∴0<a<21.综上所得,实数a 的取值范围是a=0或0<a<21,即实数a 的取值范围是{a|0≤a<21} 2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:∅,{a},{a,b},{a,b,c}. (2)由(1)你发现集合M 中含有n 个元素,则集合M 有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：(1)∅的子集有:∅,即有1个子集;{a}的子集有:∅、{a},即{a}有2个子集;{a,b}的子集有:∅、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;{a,b,c}的子集有:∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M 有2=21个子集;当n=2时,集合M 有4=22个子集;当n=3时,集合M 有8=23个子集;因此含有n 个元素的集合M 有2n 个子集.变式训练已知集合A {2,3,7},且A 中至多有一个奇数,则这样的集合A 有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个分析:对集合A 所含元素的个数分类讨论.A=∅或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练课本P7练习1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x∉A时也必有x∉B.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n 个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( )A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于∅只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}⊆{0,1,2},④应是∅⊆{0,1,2},⑤应是∅⊆{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.答案：(1)C (2)C (3)D4.判断如下集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z };(2)A={x|x=2m,m ∈Z },B={x|x=4n,n ∈Z }.解：(1)因A={x|x=2k-1,k ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z },故A 、B 都是由奇数构成的,即A=B.(2)因A={x|x=2m,m ∈Z },B={x|x=4n,n ∈Z },又x=4n=2·2n,在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有BA. 点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.5.已知集合P={x|x 2+x-6=0},Q ={x|ax+1=0}满足QP,求a 所取的一切值. 解：因P={x|x 2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q ={x|ax+1=0}=∅,QP 成立. 又当a≠0时,Q ={x|ax+1=0}={a 1-},要Q P 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=21-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q =∅时,满足Q P.6.已知集合A={x ∈R |x 2-3x+4=0},B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0},要使AP ⊆B,求满足条件的集合P.解：由A={x ∈R|x 2-3x+4=0}=∅,B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0}={-1,1,-4},由A P ⊆B 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.7.设A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 应具有何种关系？解：因A={0,1},B={x|x ⊆A},故x 为∅,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=∅满足B ⊆A.当m+1≤2m -1即m≥2时,要使B ⊆A 成立,需⎩⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值范围m≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x ∈R ,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立. 则①若B≠∅即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;②若B≠∅,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4.综上有m<2或m>4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.拓展提升问题:已知A ⊆B,且A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 共有多少个？ 活动：学生思考A ⊆B,且A ⊆C 所表达的含义.A ⊆B 说明集合A 是集合B 的子集,即集合A 中元素属于集合B,同理有集合A 中元素属于集合C.因此集合A 中的元素是集合B 和集合C 的公共元素.思路1:写出由集合B 和集合C 的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A 的个数,转化为求集合B 和集合C 的公共元素所组成的集合的子集个数.解法一：因A ⊆B,A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足A ⊆B,有:∅,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).又满足A ⊆C 的集合A 有:∅,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4}, {0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).其中同时满足A ⊆B,A ⊆C 的有8个:∅,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.解法二：题目只求集合A 的个数,而未让说明A 的具体元素,故可将问题等价转化为B 、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个). 点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.课堂小结本节课学习了:①子集、真子集、空集、V enn 图等概念;②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.作业课本P 11习题1.1A 组5.设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.。
新课标数学·必修1_§1.1.2集合间的基本关系 教案
——————————————第 1 页 （共 3页）——————————————课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、 引入课题1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2）；（3）-1.5 R2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、 新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系)(A B B A ⊇⊆或⊆——————————————第 2 页 （共 3页）——————————————（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
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§1.1.2集合间的基本关系
教学过程：
引入课题
复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0 N；（2）Q；（3）-1.5 R
类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）
新课教学
集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B的子集（subset）。
记作：
读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作A B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
集合与集合之间的“相等”关系；
，则中的元素是一样的，因此
即
练习
结论：
任何一个集合是它本身的子集
真子集的概念
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。
记作：A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
举例（由学生举例，共同辨析）
空集的概念
（实例引入空集概念）
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
结论：
，且，则
例题
（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；。