河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题(解析版)

邯郸市2024届高三年级第一次调研监测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式
13V Sh
=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公
式()
1
3V h S S
'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
设集合{
}1
A =<，{}2
20
B x x
x =+≤，则A B ⋃=（
）
A.
(]1,2- B.
{}0 C.[)
2,1- D.
()
,1-∞【答案】C 【解析】
【分析】先求一元二次不等式得{20}B x
x =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.
【详解】{
}{
}
2
{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B x
x ⋃=-≤<∣.故选：C
.
2.已知命题p ：[
)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）
A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥
B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <
C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <
D.[
)0,x ∞∀∈+，e 1
x <【答案】B 【解析】
【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.
【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.
3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：(
)3
1i 1i z -=-，则z z +=（
）
A.0
B.2
C.2i
D.2i
-【答案】A 【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得i z
=-，得到i z =，即可求解.
【详解】由复数()3
1i 1i z -=-，可得()()()
2
31i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则i
z =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.
4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12
x
y =+平行，则=a （）A.2- B.2
C.1
- D.1
【答案】D 【解析】
【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，
函数()()ln f x x a =+的导函数()1
f x x a
'=+，所以()111f a
'=
+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12
x
y =+平行，所以
11
12
a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .
5.设1F ，2F 是双曲线()22
2104x y b b
-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直
线2
y x =
为双曲线的一条渐近线，2
2AB b =，则22AF BF +的值为（）
A.11
B.12
C.14
D.16
【答案】C 【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得
212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到
答案.
【详解】根据双曲线的标准方程22
2
1(0)4x y b b -=>，
得2a =,由直线2
y x =
为双曲线的一条渐近线，
得
2
b a =
,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，
2124BF BF a -==②，
①+②可得()
22118AF BF AF BF +-+=,
因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.
6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）
A.()
33cm π B.
()
3
3cm π
C.
)
3
3cm π+ D.33cm 2π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】B
【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.
【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)
311133226cm 322
V =
⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，
作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==
，
所以圆柱的体积()
2
321π3πcm V =⨯⨯
=，
所以此钻头的体积为()
31
2
3πcm V V +=.
故选：
B.
7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()
2P A B =（）A.
823
B.
623 C.
1740
D.
58
【答案】A 【解析】
【分析】分别求出()2P A ，()
2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()
1122352423
585840
P B P A P B A P A P B A =+=
⨯+⨯=，()225P A =
，()24182
P B A ==，()()()()()()222221
8
52232340
P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.
故选：A.
8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，
()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，
A.()31f =-
B.()21f -=-
C.()6f x +为奇函数
D.()()
228f x f x =+【答案】D 【解析】
【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e x
f x =-，可
判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，
所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为
()1f x +为偶函数，
所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；
由当()1,1x ∈-时，()e x
f x =-，得()01f =-，
则()()201f f -=-=，故B 错误；
()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，
所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；
对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，
所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.
二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设a ，b
是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（
）
A.a b a b
-≤+ B.a b a b
-<+ C.a ，b
的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=
成立，则λ为负数
【答案】AD 【解析】
【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.
【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+
，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+
，A 正确；
对B ，若a b ⊥
，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，
且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-
，故B 错误；
对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2
⎛⎤
⎥⎝
⎦
，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；
对D ，若存在实数λ，使得a b λ=
成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b
反向共线，所以λ为负数，故D 正确.
故选：AD.
10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为2的等差数列，则（）
A.数列{}n a 为递减数列
B.2
2n S n n
=-C.43
n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列
【答案】BC 【解析】
【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；
由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意
21n
S n n
=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，
当2n ≥时，()()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；
因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；
2233n n n a S n =++-，
因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .
11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><
⎪
⎝
⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π
2
，则（）
A.()f x 在π5π,66⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
B.()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点
D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值无最大值
【答案】BCD 【解析】
【分析】根据给定条件，求出
ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.
【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2
ϕ=，而π2ϕ<，
则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭.由最小正周期为
2π，得22T ππ
ω=
=，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫
⎪⎝⎭
上不单调，A 不正确；
对于B ，()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；
对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π
4π,2π,3π,4π6
x +=，则5π11π17π23π
,,,24242424
x =
，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π
4666x <+<，
当π3π462x +=，解得π
3
x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.
故选：BCD.
12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11A
D ，1CC 的中点，连接R
E ，E
F ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（
）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α
⊥
C.点D 到平面α
D.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】
【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .
【详解】
如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，
即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；
由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2
364
S =⨯⨯=D 正确；
如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，
由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，
1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，
而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，
,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；
分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，
易知2111
28862162323
D HRGFJ
E A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
()
8
4
1x x
-的展开式的常数项是___________.
【答案】70【解析】
【分析】利用通项公式求解，84
(1)x x
-的展开式中常数项由8
(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r r
r r T x
-+=-，
当84r -=时，44
58
4,C r T x ==，所以84
(1)x x
-的展开式的常数项为4
8C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin x
f x x
=-的一个对称中心：___________.
【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】2
22
cos sin cos sin
cos 2222()1sin cos sin
sin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝
⎭π
1tan
tan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242
x k k k π
+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π
2π,2x k k k =+∈Z ，
令20k =，则π2x =
，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
.故答案：π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)
15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：2
1
4
y x =+
.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】
【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
设()()11221,,0,
,,4A x y B C x y ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为
1114y x -
，22
1
4y x -，由AB BC ⊥，则
1212
11441y y x x -
-⋅=-，由AB BC =，则22
2211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
将21114y x =+，22214y x =+代入12
12
11
441y y x x --⋅=-，可得1
21x x =-，将211
14y x =+，22214y x =+代入2
2
22
11221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，可得24241122x x x x +=+，
将12
1x x =-
代入2424
1122x x x x +=+，可得()()
6222110x x -+=，解得21x =，则5151,
,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，==AB BC ，1
12
ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.
16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()2
2
442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切
线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.
【答案】9
【解析】
【分析】易得
,,,2
PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ
=∠=∠=
⊥⊥，从而可得
2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.
【详解】由题意可得,,,2
PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ
=∠=∠=⊥⊥，
圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，
圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =
则2PQ Q R P P ===+，
当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，
1min PC OC r =-=
此时1sin
sin
23
CPQ θ=∠==，又
2θ为锐角，所以22cos 23
θ=，所以12242
sin 2339
θ=⨯⨯
=
，
即当PQ PR +取最小值时，sin 9
θ=
.故答案为：
42
9
.
【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】
【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；
（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.
【小问1详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.
1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，
得2
341224
46
a a q a a +=
==+，所以2q =，
所以116a aq +=，所以1
2a =，所以2n n a =.【小问2详解】
由（1）得(1)(1)2n
n n b n a n =-⋅=-⋅，得2
3
1222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得3
4
1
21222(1)2
n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，
两式相减得2
3
4
1
2222(1)2
n
n n T n +-=++++--⋅ (
)1
12122(1)2
(2)2412
n n n n n ++-=-+
--⋅=--⋅--，
所以1
(2)2
4n n T n +=-⋅+.
由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，
当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.
18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，
[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；
（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3
（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】
【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；
（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】
因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，
则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；
【小问2详解】
成绩在[)40,50有0.004
1220.0040.0080.012
⨯=++人，
成绩在[)50,60有0.008
1240.0040.0080.012
⨯
=++人，成绩在[)60,70有0.012
1260.0040.0080.012
⨯
=++人，则ξ可取0,1,2,3，
()38312C 140C 55P ξ===，()1248
3
12C C 281C 55P ξ===，()2148
312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55
P ξ===，
所以分布列为
ξ
123P
1455
28
55
1255
155
所以()1428121
0123155555555
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；
（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）
34
（2）
273
+【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1
s 2
A A -=，平方进而求得sin 2A ；
（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】
因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b c
A B C
==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，
因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2
A A -=，所以2
1(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44
A A A A -=⇒=，即3sin 24
A =
.【小问2详解】
由（1）知13
sin cos ,2sin cos 24
A A A A -==，()0,A π∈，所以0,
2A π⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，可得sin 0,cos 0A A >>，与22
sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17
sin 4
71cos 4A A ⎧+=⎪
⎪⎨
-⎪=⎪⎩
，得1117
sin 224
ABC S bc A =
=⨯ ，由余弦定理得，222
71cos 24b c a A bc
+-==
，所以2271
42
b c bc -+=+，得2271
422
b c bc bc -+=+
≥，当且仅当b c =时等号成立，
即4
(59
bc ≤
=
+，
得1142(52493ABC S +≤
⨯⨯+=
，得最大值为23
+.20.如图，
几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.
（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）
7
3
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】
因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，
由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】
因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，
所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.
设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，
易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =
，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0
n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，
不妨令1y =
，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫
=〈〉==
⎪⎝
⎭ ，解得2h =，
所以三棱台EFG ACD -
的体积为1117222113223
V ⎛⎫=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
.21.已知函数()2ln 2x
f x a x =⋅-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0a >时，证明：不等式()1
2ln f x a a
≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 1
2ln f x a a
≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】
()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，
当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，2
1log x a <时，()0f x '<，21
log x a
>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在2
1,log a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；
当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；
【小问2详解】
要证不等式()1
2ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min
1
2ln f x a a
≤+即可，
由（1）得()21log 22min
11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛
⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝
⎭，
则只要证明1
1ln 2ln a a a
+≤+即可，即证1
ln 10a a
+
-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111
a h a a a a
-'=-=，
当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
所以()()10h a h ≥=，即1
ln 10a a
+
-≥，所以当0a >时，不等式()1
2ln f x a a
≤+有实数解.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式
()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或
()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b
+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴
垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；
（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；
②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当2
2
AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.
【答案】（1）22
1
43
x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；
（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，1
1,2
c c e a ==
=，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22
143
x y +=.
【小问2详解】
①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，
则()11,M x y -，联立有22(1)14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222
4384120k x k x k +-+-=，
所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121
,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为
()()()()12112
1221
1112112121222
N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=
+=+=++-+-2222
2
2
41282434348243
k k k k k
k -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.
②根据①可进一步求得
:
21||AB x =-=
()
22
12143k k +=+，
第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34
k DG k +=+,由()()()()()
2
222222222121
121
2881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()2
2222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，
当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值
115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+
.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB
的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。