33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据

c t 1 1 1
2
tr
d tp d

1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
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《自动控制理论》
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§3.5 线性定常系统的稳定性
• 稳定性的概念 • 系统的闭环特征根在根平面上位置与系统的闭环阶
跃响应分量的关系
• 系统稳定的充要条件
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的。
如果脉冲响应函数是收敛的，即有 lim g t 0
t
根据系统稳定的定义，若 lim g(t ) 0 ,则系统是稳定的。
t
必要性：
(s)
C ( s ) bm ( s z1 ) ( s z2 ) ( s zm ) R( s ) an ( s 1 ) ( s 2 ) ( s n )
是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线S=-1的右边。 解：劳斯表为
s3 2 13 s 2 10 4 s1 12.2 s0 4
第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。 再令S=Z-1，代入特征方程式，得
2( z 1)3 10( z 1)2 13( z 1) 4 0
2z 3 4z 2 z 1 0
s3 s2
1 0
-3 2
3 2 若某行第一列元素为0，

而该行元素不全为0时:
s1 s0

2
2 0 2
将此0改为 0，
继续运算。
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
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例4：D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0
t t i 1
充分性： i 0 i 1, 2, , n
g(t ) Ae i
i 1
n
i t
t
0
系统稳定的充要条件：系统的所有闭环极点均具有负的实部， 或所有闭环极点均严格位于左半s平面。
控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即
取决于系统特征方程式根实部的符号，与系统的初始条件和 输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部，则系统 是稳定的；反之，若系统特征方程式的根中有一个或一对以 上实部为正的根，则系统是不稳定的。
解: 依题意有
G( s ) K s 1 9 K ( s 1) 2 s 3 1 s 32
2
D( s) s 3 9K s 1 s 2 9K 6s 91 K 0
9 K 6 0 1 K 0

5
2
10
51010 10 5
s2
s1 s0
33 5 184 33
10
33 5 2 510 184 33 5 33
184 3310 10 184 33
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
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(2) 劳斯判据特殊情况处理 例3：D(s)=s3-3s+2=0，判定在右半s平面的极点数。 解：列劳斯表
g t Aj e
j 1 q p jt
Bk e k nk t cos nk 1 k2 t Ck e k nk t sin nk 1 k2 t
k 1
r


（3-50）
对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系 数全为正数是系统稳定的充分和必要条件。但是对于三阶以 上的系统，特征方程式的各项系数均为正数仅是系统稳定的
§3.6 劳斯稳定判据
控制系统稳定 特征根均需具有负实部。
但是当系统阶次高于3时，在一般情况下，求解其特征方
程将会遇到较大的困难。
能否不用直接求特征根，但能够判别系统的特征根是否全 部具有负实部的间接方法来分析控制系统的稳定性。 劳斯稳定判据就是这样一种勿须求解特征方程，而通过特 征方程的系数分析控制系统稳定性的间接方法。
D( s) s 5 6s 4 9s 3 2s 2 8s 12 0
例1
不稳定 不知道
D( s) s 5 4s 4 6s 2 9s 8 0
D( s) s 4 5s 3 7s 2 2s 10 0
可能稳定
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稳定性的概念
稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的 稳定性，提出确保系统稳定的条件是自控的基本任务之一。
定义：在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消 除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系 统是稳定的；否则，系统不稳定。
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单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为
a4 a5 b3 c3 d3
a6 a7 b4
b1 a1a 2 a 0 a 3 , a1

2 1 0
a1a 4 a 0 a 5 , a1 a1a 6 a 0 a 7 b3 , a1 b2
b1a 3 a1b 2 c1 , b1 b1a 5 a1b3 c2 , b1 b1a 7 a1b 4 c3 , b1
Y ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm nm n n 1 X ( s) a0 s a1s an1s an
系统的特征方程式为： a s a s a s a 0
n n 1 0 1 n 1 n
此方程的根称为特征根。由系统本身的参数和结构决定。 一般来说，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性， 如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，总体稳定
0 替全零行系数，之后继续运算。 53
2 5 s 25 0 列辅助方程：
5 0 10
80 3 25
0 0
580 1625
25
d 5 s 2 25 10s 0 ds


出现全零行时，系统可能出现一对纯虚根；或一对符号相反 的实根；或实部与虚部分别等值且反号的的共轭复根。
例5: -s2-5s-6=0稳定吗？
n An A A1 A2 C ( s ) ( s ) i s 1 s 2 s n i 1 s i
g( t ) A1e
1t
A2e
n
2 t
Ane
n t
Ai e i t
i 1
n
limg(t ) lim Ai ei t 0 i 0 i 1, 2, , n
1 6 5 6
例6: 设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行
劳 斯 表
s4 s3 s2 s1 s0
1 5 1 1 6 0 2 1
7 5 1 1 6
6
②
由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表
第一列全大于零,所以系统稳定
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(1)劳斯（Routh）判据
设系统的特征方程式为
a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
s s s s s s s
n n 1 n2 n 3
a0 a1 b1 c1 d1 e1 f
1
a2 a3 b2 c2 d2 e2
必要条件，而非充分条件。
D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
(1) 必要条件 ai 0
i 0, 1, 2, , n 1
(an 0)
说明： D( s) ( s 1)(s 2)(s 3)
s 3 6s 2 11s 6
解：列劳斯表
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 3
16 3
12 20
35 25
312 20 16 3 35 25 80 出现全零行时： 3 3 3 3 用上一行元素组成辅助方程，将其 16 20 380 5 1625 30 25 16 16 对S求导一次，用新方程的系数代
zdkzcjlueducn123控制系统的时域分析37控制系统的稳定误差31典型的试验信号32一阶系统的时域响应33二阶系统的时域响应34高阶系统的时域响应35线性定常系统的稳定性36劳斯稳定判据自动控制理论网址
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§3 控制系统的时域分析
§3.1 典型的试验信号
s z 1
把虚轴左移 1 。将上式代入系统的特
征方程式，得到z为变量的新特征方程式， 然后再检验新特征方程式有几个根位于新 虚轴（垂直线s=-
1）的右边。如果所有
根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一 列均为正数），则说系统具有稳定裕量 1 。
例7: 检验特征方程式
2 s 3 10 s 2 13s 4 0
劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个 3 41.5s 2 517s 2.3 104 0
试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解： 列劳斯表
s s
3 2
1 41.5
517 2.3 104
§3.2 一阶系统的时域响应
§3.3 二阶系统的时域响应 §3.4 高阶系统的时域响应 §3.5 线性定常系统的稳定性 §3.6 劳斯稳定判据 §3.7 控制系统的稳定误差
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课程回顾
（1）上升时间 （2）峰值时间 （3）超调量 （4）调整时间 （5）稳态误差
1劳斯表出现零行系统不稳定 劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根?
③ 求解辅助方程得: s1,2=±j 由综合除法可得另两个根 为s3,4= -2,-3
错啦!!!
应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性，而且也可检验系
统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可 用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。 令
2z 3 4z 2 z 1 0
因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于垂直
线s=-1的右方。列出以z为变量的劳斯表
z3 z2 z1 z0
2 4 42 4 1
1 1
上表可见，第一列系数的符号变化了一次，表示原方程 有一个根在垂直线s=-1的右方。
例8: 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系 统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。
s s 1
3 2 D( s ) ( s 1) 40 ( s 1) 100( s 1) 100K 0 3 2 s 37 s 23 s (100K 61) 0