第一章集合与常用逻辑用语单元检测(附答案)(答案含详解)

第一章集合与常用逻辑用语单元检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（)．
A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
2．已知集合M＝{0,1，2｝,N＝｛x|x＝2a,a∈M｝,则集合M∩N等于()．
A．{0｝B．｛0,1} C．｛1,2} D．｛0，2}
3．（2011福建高考,理2)若a∈R,则“a＝2”是“（a－1)（a－2)＝0”的（)．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．命题“存在x∈R，x2－3x＋4＞0”的否定是(）．
A．存在x∈R，x2－3x＋4＜0 B．任意的x∈R，x2－3x＋4＞0
C．任意的x∈R,x2－3x＋4≥0 D．任意的x∈R，x2－3x＋4≤0
5．集合P＝｛a｜a＝(－1，1)＋m(1，2)，m∈R｝，Q＝{b|b＝(1,－2）＋n(2,3）,n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）．
A．{(1，－2)} B．｛（－13，－23）｝
C．{（1,2)｝D．｛(－23，－13)}
6．对任意两个集合M，N，定义：M－N＝｛x｜x∈M且x∉N｝，M△N＝（M－N）∪（N －M)，设M＝错误!,N＝｛x｜y＝错误!｝，则M△N＝（)．
A．{x|x＞3｝B．{x|1≤x≤2｝
C．｛x|1≤x＜2,或x＞3｝D．｛x|1≤x≤2,或x＞3｝
7．已知全集U为实数集R，集合M＝错误!,N＝｛x|｜x｜≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()．
A．[－1，1] B．(－3,1］
C．（－∞，－3)∪［－1,＋∞) D．(－3，－1）
8．下列判断正确的是（）．
A．命题“负数的平方是正数"不是全称命题
B．命题“任意的x∈N，x3＞x2"的否定是“存在x∈N,x3＜x2”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
9．(2011陕西高考，文8)设集合M＝｛y|y＝|cos2x－sin2x｜，x∈R},N＝错误!，则M∩N 为(）．
A．（0，1) B．(0,1］
C．［0,1) D．[0，1]
10．设命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c）的定义域为R,命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c）的值域为R，若命题p，q有且仅有一个为真，则c的取值范围为()．
A．B．(－∞，－1）
C．[－1,＋∞) D．R
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分）
11．设集合U＝{1,2,3，4，5}，A＝{2,4}，B＝｛3,4,5｝，C＝｛3，4｝，则（A∪B)∩（∁U C)＝__________.
12．（2011浙江温州模拟)已知条件p：a＜0,条件q：a2＞a，则p是q的__________
条件．（填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
13．若命题“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为__________．
14．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真；
⑤“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1）x ＋m ＋3＞0的解集为R ”的逆命题．
其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上）
15．已知命题p ：不等式错误!＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜1｝；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q "为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上）
三、解答题(本大题共6小题，共75分）
16．（12分)(1）设全集I 是实数集，则M ＝{x |错误!≤0}，N ＝2
12{|22}x x x ＋＝，求（∁I M ）∩N .
(2）已知全集U ＝R ,集合A ＝{x ｜（x ＋1）(x －1）＞0}，B ＝｛x |－1≤x ＜0}，求A ∪(∁U B ）．
17．（12分）已知p ：－2≤1－错误!≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0）．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
18．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0。

19．(12分）（2011福建四地六校联合考试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0,x ∈R ｝，B ＝｛x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R ｝．
（1）若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
20．(13分)已知函数f （x )是（－∞,＋∞)上的增函数,a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0,则f （a )＋f (b ）≥f （－a ）＋f (－b )”．
(1)写出逆命题,判断其真假，并证明你的结论;
（2)写出其逆否命题，判断其真假,并证明你的结论．
21．(14分）已知三个不等式：①|2x －4|＜5－x ；②错误!≥1；③2x 2＋mx －1＜0.若同时满足①和②的x 值也满足③,求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C 解析:在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数． 2．D 解析：集合N ＝｛0，2，4}，
所以M ∩N ＝｛0，2｝．
3．A 解析：由（a －1)（a －2）＝0,得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1）（a －2）＝0.而由（a －1）(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1）（a －2）＝0的充分而不必要条件．
4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的",再把结论否定．
5．B 解析：a ＝（m －1，2m ＋1)，b ＝（2n ＋1，3n －2)，令a ＝b ，
得错误!解得错误!
此时a ＝b ＝(－13，－23），故选B 。

6．D 解析：∵M ＝｛x |x ＞3或x ＜1},N ＝{x ｜x ≤2},∴M －N ＝｛x ｜x ＞3｝,
N －M ＝｛x |1≤x ≤2｝,
∴M △N ＝{x ｜1≤x ≤2，或x ＞3｝．
7．D 解析：∵M ＝错误!＝｛x |－3＜x ＜1}，N ＝{x |｜x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝｛x ｜－3＜x ＜－1}，故选D 。

8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A ，B,C 全为假,由b ＝0，可以判断f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，反之亦成立．
9．C 解析：∵y ＝22
|cos sin |x x －
＝|cos 2x ｜，x ∈R ，
∴y ∈［0,1］,∴M ＝[0，1]．
∵错误!＜1，∴|x |＜1。

∴－1＜x ＜1.
∴N ＝(－1，1)．∴M ∩N ＝[0,1）．
10．D 解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．
若函数y ＝lg(x 2＋2x －c ）的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c ＞0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c ＜0,解得c ＜－1；
若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x ）＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.
当p 为真,q 为假时,有c ＜－1；
当p 为假，q 为真时，有c ≥－1。

综上，当命题p ，q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R 。

故选D 。

二、填空题
11．｛2,5｝ 解析：∵A ∪B ＝｛2,3,4,5｝，∁U C ＝｛1，2，5｝，
∴(A ∪B )∩（∁U C )＝｛2，5｝．
12．必要不充分 解析:p 为:a ≥0，q 为a 2≤a ,a 2≤a ⇔a （a －1）≤0⇔0≤a ≤1, ∴p q ,而q ⇒p , ∴p 是q 的必要不充分条件．
13．[－4,0］ 解析:∵“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题,则“对任意的x ∈R ，x 2－ax －a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a ≤0.
14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误,②③正确，又因为不等式mx 2－2（m ＋1）x ＋m ＋3＞0的解集为R ,
由错误!⇒错误!⇒m ＞1。

故⑤正确．
15．①③ 解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B "的充要条件，所以命题q 是假命题，
∴①正确，②错误，③正确,④错误．
三、解答题
16．解：（1)M ＝{x ｜x ＋3＝0}＝{－3},N ＝｛x ｜x 2＝x ＋12｝＝｛－3，4}，
∴（∁I M )∩N ＝{4}．
(2）∵A ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，
B＝｛x｜－1≤x＜0｝，
∴∁U B＝{x|x＜－1,或x≥0}．
∴A∪(∁U B)＝{x｜x＜－1，或x≥0｝．
17．解：由p：－2≤1－错误!≤2，
解得－2≤x≤10，
∴“非p”:A＝{x|x＞10，或x＜－2｝．
由q：x2－2x＋1－m2≤0，
解得1－m≤x≤1＋m（m＞0)．
∴“非q”：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0｝，
由“非p"是“非q”的充分不必要条件得A B。

∴错误!解得0＜m≤3.
∴满足条件的m的取值范围为{m｜0＜m≤3}．
18．证明:必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a,
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋（1－a）3＋a（1－a）－a2－（1－a)2＝0，必要性得证．
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴（a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2）＝0,
∴（a2－ab＋b2）(a＋b－1)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝
2
2
b
a
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋错误!≠0，
∴a＋b＝1，
充分性得证．
综上可知，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．解：由已知得:A＝｛x|－1≤x≤3}，B＝｛x｜m－2≤x≤m＋2}．
(1）∵A∩B＝［0，3],∴错误!
∴｛m＝2，
m≥1。

∴m＝2,即实数m的值为2.
（2）∁R B＝{x｜x＜m－2，或x＞m＋2}．
∵A⊆∁R B,∴m－2＞3或m＋2＜－1.
∴m＞5或m＜－3.
∴实数m的取值范围是（－∞，－3）∪(5,＋∞）．
20．解：(1)逆命题是：若f（a)＋f（b)≥f(－a）＋f（－b），则a＋b≥0，为真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，
则a＜－b，b＜－a。

∵f（x)是(－∞，＋∞）上的增函数,
则f(a）＜f(－b),f（b）＜f（－a)，
∴f(a)＋f(b）＜f(－a）＋f（－b），这与题设相矛盾，∴逆命题为真．
(2）逆否命题：若f(a)＋f(b）＜f(－a）＋f(－b），则a＋b＜0，为真命题．
∵原命题⇔它的逆否命题，
∴证明原命题为真命题即可．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a。

又∵f（x)在(－∞，＋∞)上是增函数,
∴f（a）≥f(－b),f(b)≥f(－a），
∴f(a）＋f（b）≥f(－a）＋f（－b)．
∴逆否命题为真．
21．解：设不等式|2x－4｜＜5－x,错误!≥1，
2x2＋mx－1＜0的解集分别为A，B,C，
则由|2x－4|＜5－x得，
当x≥2时，不等式化为2x－4＜5－x,得x＜3，所以有2≤x＜3。

当x＜2时，不等式化为4－2x＜5－x,
得x＞－1,所以有－1＜x＜2，
故A＝(－1，3)．
x＋2
≥1⇔错误!－1≥0⇔错误!≥0⇔错误!≤0⇔0≤x＜1或2＜x≤4，x2－3x＋2
即B＝［0,1)∪(2,4]．
若同时满足①②的x值也满足③,则有A∩B⊆C.
设f（x）＝2x2＋mx－1，则由于A∩B＝[0，1）∪(2，3），
故结合二次函数的图像，得错误!⇒错误!⇒m≤－错误!.。