《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 课件(第4课时向量的数量积)

ab
角为钝角，对吗？
提示：不对，cos θ= 180°.
a b=-1时，向量a与b的夹角为
ab
5.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【思考】 “若a·b=a·c，则b=c”成立吗？ 提示：不成立.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
【思考】 (1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么 ？ 提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书 写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式.
(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？ 提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数.
3.投影向量的概念
(3)模长公式：a·a=|a|2或|a|=
ab
(4)夹角公式：cos θ=__a__b__. (5)|a·b|≤|a||b|.
a a＝ a2 .
【思考】 (1)对于任意向量a与b，“a⊥b⇔a·b=0”总成立吗？ 提示：当向量a与b中存在零向量时，总有a·b=0，但 是向量a与b不垂直.
(2)当“cos θ= a b ”为负值时，说明向量a与b的夹
6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积
1.向量的夹角
定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一 点，作 OA =a，OB =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做 向量a与b的夹角(如图所示).
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π. (2)当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向. (3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，则
=
BC C(A )
A.20
B.-20
C.20
D.-20
3
3
【解析】选B. =| =-20. BC CA
( 1 ) 2
|| |cos 120°=5×8×
BC CA
3.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角θ为120°，则a·(4b)
的值为 ( )
3,
2,
【思维·引】利用模长公式：a·a=|a|2或|a|=
= 解决.
aa
a2
【=|解a|析2+】2·1.||aa|·2=b||2(2ab+|2·b)c2os 60°+
=22+2×2×2× +22=4+4+4=1（22，|b|）2
所以
1
答案：2
2
|a 2b| 12 2 3.
3
2.由已知有 4a2 4a b b2 75,
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量的数量积是向量. ( ) (2)对于向量a，b，若a·b=0，则a=0或b=0. ( ) (3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. ( )
提示：(1)×.两个向量的数量积没有方向，是实数，不 是向量. (2)×.a·b=0，还可能有a⊥b. (3)√.
， 2
【思考】 (1)等边△ABC中，向量 AB,BC 所成的角是60°吗？ 提示：向量 AB,B所C成的角是120°.
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同 吗？ 提示：向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们 分别是[0，π]和
[0， ]. 2
2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数 量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b=|a||b|cos θ.
2.选D.在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD=60°，所以 =2×2×cos 60°=2，
又AB因A为D
所以
AE AB BE AB 1 AD, EF 1 BD 1（AD AB）,
2
2
2
AE EF （AB 1 AD）1（AD AB） 22
1（ 1 AD2 1 AB AD AB2） 1（ 1 4 1 2 4） 1 .
1 2
）-2×42=88.
(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 120°+ |b|2=100-2×10×4× +42=100+40+16=156.
（ 1） 2
【加练·固】
(2019·烟台高一检测)在△ABC中，已知|
|=
|
|，AB=1，AC=3，M，N分别为BC的A三B 等A分C 点，
(2)拓展公式： (a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2， (a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
【习练·破】
已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|=
()
A.37
B.13
C.
D.
37
13
【解析】选C.|a+b| ＝（a＋b）2＝ a2＋2a b＋b2
＝ 42＋2 4 3cos 60＋32＝ 37.
3
3
3
3
（ 2 AB 1 AC） （1 AB 2 AC）
3
3
3
3
2 AB2 2 AC2 2 2 20 .
9
9
9
9
类型二 与向量模有关的问题 【典例】1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=_____________ .
2.(2019·沂南一中高一检测)已知向量a，b满足|b|= 5，|2a+b|=5 |a-b|=5 则|a|=________.
【类题·通】 求平面向量数量积的方法 (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b =|a||b|cos θ.求解时要注意灵活使用数量积的运算 律.
(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹 角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.
【习练·破】
1.已知等腰△ABC的底边BC长为4，则
A.4
B.3
C.2
D.0
2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
E，F分别为BC，CD的中点，则
=( )
AE EF
A. 1
B. 3
C. 3
2
2
2
D. 1 2
3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，则a在b方向上的 投影为________，b在a方向上的投影为________.
a2 2a b b2 50,
将b2=|b|2=25代入方程组，解得|a|=5 6 .
3
答案：5 6
3
【内化·悟】 根据模长公式，求向量的模的问题应首先做怎样的转 化？ 提示：求模问题一般转化为求模的平方.
【类题·通】 关于向量模的计算 (1)利用数量积求模问题，是数量积的重要应用，解决 此类问题的方法是对向量进行平方，将向量运算转化 为实数运算.
所以|a-b|=5. |2a+b|2=(2a+b)·(2a+b) =4|a|2+|b|2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos 60°=175. 所以|2a+b|=5
7.
类型三 向量的夹角与垂直问题 角度1 求向量的夹角 【典例】(2019·四平高一检测)已知a，b均为非零向 量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a与a+b的夹角为 ________.
22
2
22
2
2
3.设a与b的夹角为θ，则有
a·b=|a|·|b|cos θ=-12，
所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ=
=
向量b在向量a方向上的投影为|b|·
ab
cos θ= = =-4.
|b|
12＝ 12；
5
5
a b 12
|b|
3
答案：- 12 -4
5
【内化·悟】 如何解决几何图形中向量数量积的计算？ 提示：一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基 底表示要求数量积的向量，再计算.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos 120°=10×4× （=1 ）
2
-20.
(2)a在b方向上的射影为|a|cos
120°=10×（=1 ） -5.
2
(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2
=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos 120°-2|b|2
=100-10×4（ ×
又因为|a|=|a+2b|， 所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+ 4|a|·|b|·cos θ=13|b|2+12|b|2cos θ，
即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos θ， 故有cos θ=-
1. 3
角度2 向量垂直的应用
【典例】已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m，n的
a21 a 2
3 a2
3, 2
所以a与a+b的夹角为30°.
答案：30°
【素养·探】 解决向量的夹角与垂直问题时，常常需要结合图形分 析问题，突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养. 若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”，试求a与b夹 角的余弦值.
【解析】设a与b夹角为θ，因为|a|=3|b|， 所以|a|2=9|b|2.
1
3
【类题·通】 1.求向量夹角的基本步骤
=
_______.
BA BC
【解析】如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB=AC，所以BD1= BC=2，
于是| |cos ∠ABC=| 2 |= | |= ×4=2.
所以 BA =| 答案：8
||
|cos∠BADBC=122×4B=C 8.
1 2
BA BC BA BC
2.已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角θ=120°. 求：(1)a·b. (2)a在b方向上的射影. (3)(a-2b)·(a+b). (4)(a-b)2.
如图所示：OA =a，OB =b，过B作BB1垂直于直线OA，
垂足为B1，则
叫做b在向量a上的投影向量，得
| OB1 |=|b||coOsB1θ|.
4.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角. (1)垂直的条件：a⊥b⇔a·b=0. (2)当a与b同向时，a·b=|a||b|； 当a与b反向时，a·b=-|a||b|.
ห้องสมุดไป่ตู้夹角为θ，cos θ= 1 .若n⊥(tm+n)，则实数t的值
3
为 ()
A.4
B.-4
C. 9
D.- 9
4
4
【思维·引】利用向量垂直的充要条件求参数.
【解析】选B.由4|m|=3|n|， 可设|m|=3k，|n|=4k(k>0)， 又因为n⊥(tm+n)，所以n·(tm+n)=n·tm+n·n= t|m|·|n|cos θ+|n|2=t×3k×4k× +(4k)2= 4tk2+16k2=0.所以t=-4.
A.12
B.-12
C.12
D.-12
3
3
【解析】选B.由题意，得a·(4b)=4(a·b)= 4|a||b|cos θ=4×2×3×cos 120°=-12.
类型一 向量数量积的计算及其几何意义
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=
1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )
则
= ()
AB AC
AM AN
A. 10
B. 20
C. 8
D. 8
9
9
9
3
【解析】选B.因为|
|=|
|，所以∠BAC
=90°.又因为M，N分别AB为BACC的三等A分B 点A，C
AM AN （AB 1 BC） （AC 1 CB）
3
3
（AB 1 AC 1 AB） （AC 1 AB 1 AC）
【思维·引】
1.利用向量数量积的定义与运算律计算.
2.先分别用基向量 AB,AD 表示 AE, EF， 再利用向量数
量积的定义与运算律计算.
3.向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos
θ=
a b, |b|
向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
θ=
a b. |b|
【解析】 1.选B.因为|a|=1，a·b=-1， 所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
【思维·引】利用夹角公式：cos θ= a b 计算.
ab
【解析】设a与a+b的夹角为θ，
因为|a|=|b|=|a-b|，
所以a2=b2=(a-b)2=a2+b2-2a·b，
故a·b= |a|2，
所以|a+b|=
|a|，
1
2
（a b）2 a2 b2 2a b 3
cos θ=
a（a b） a2 a b a ab a 3 a
【加练·固】 已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60°， 求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.
【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=(a+b)·(a+b) =|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos 60°
=50+2×5×5× =75.所以|a+b|=5 |a-b|2=(a-b)2=(1a-b)·(a-b)=|a|2+|b|2-2a·b =|a|2+|b|2-2|a|2|b|cos 60°=25， 3.