高考数学十年真题专题解析—定积分及其应用

定积分及其应用
十年大数据年份
题号
考点
考查内容
2011
9
定积分的几何意义
主要考查利用定积分计算曲边梯形的面积
考点34定积分的计算
1.(2013江西)若2
2
221231
1
11
,,,x S x dx S dx S e dx x
=
==⎰
⎰
⎰则123,,S S S 的大小关系为
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321
S S S <<【答案】B 【解析】32
2
11
27
133x S x dx =
==⎰
，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，
2
231
21
x
x
S e dx e
e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．
2.(2011福建)
1
(2)x e x dx +⎰
等于
A ．1
B ．1
e -C ．e
D ．1
e +【答案】C 【解析】
1
(2)x
e
x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．
3.(2015湖南)2
(1)x dx -⎰
=
．
【答案】0
【解析】
2
2
21(1)()002
x dx x x -=-=⎰．4.(2013湖南)若20
9,T
x dx T =⎰
则常数的值为
．
【答案】3【解析】393
3
30
3
2
=⇒===
⎰
T T x dx x T
T
．5.(2012江西)计算定积分1
21
(sin )x x dx -+=⎰
___________．
【答案】
23
【解析】31
2
11111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112
333=+=．6.(2011陕西)设2
lg 0()30
a
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+⎪⎩⎰ ，若((1))1f f =，则a =
．
【答案】8.1
【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230
()3a
f x x t dt x a =+
=+⎰
，
所以3
(0)f a =，所以3
1a =，1a =．
考点35定积分的几何意义
1.(2011全国课标理9)由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为
(A)
103
(B)4(C)
163
(D)6
【答案】C 【解析】解2
y x
y x ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩得(4,2)，由图知，由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为
4
(2)x x dx +⎰=3242
021(2)|32x x x -+=163
，故选C .
2.(2014山东)直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A ．
22B ．2
4C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-(舍去)，直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封
闭图形的面积2
3242
00
1(4)(2)|44
S x x dx x x =
-=-
=⎰
，故选D ．3.(2012福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A ．
1
4
B ．
15
C ．
16
D ．
17
【答案】C
【解析】∵31
2201211)()0326S x x dx x x -=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P =1
6
，故选C ．
4.(2015福建)如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2
f x x =，若在矩形ABCD 内随机
取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
【答案】
5
12
【解析】由已知得阴影部分面积为22
1754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于5
53412
=．
5.(2014福建)如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概
率为______．
【答案】
2
2e 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1
100
=2()22|2x x S e e dx e e -
=-=⎰
阴，由几何概型的概率
计算公式，得所求的概率为
2
2
=S S e 阴正．6.(2012山东)设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=
a ．
【答案】
9
4
【解析】a a x dx x S a a
====
⎰
23
2
3
323
2，解得4
9=a ．。