平面向量、复数单元测试题

平面向量、数系的扩充与复数的引入单元测试题
一、选择题（本大题共60分，每小题5分）
1、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ B ） A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．-1
解析： 2320a a -+=得1a =或2,且10a -≠，得1a ≠2a ∴=，选B ． 2、设a 是实数，且
1i 1i
2
a +++是实数，则a =（ B ）
Ａ．
12
Ｂ． 1 Ｃ．
32
Ｄ． 2
3、复数a bi +与c di +的积是为实数的充要条件是（ A ）
Ａ．0ad bc += Ｂ．0ac bd += Ｃ．ac bd = Ｄ．ad bc = 4、如果222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为（C ）
A ．1
B ．2
C ．2-
D ．1或2-
5、设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ A ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-
∞,-2
1)
6、设四边形ABCD 中，有DC =2
1AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ C ）
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
7、已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ C ） A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
8、如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（ D ）
A ．0
B ．4ME
C ．4M
D D ．4MF 9、已知ABC ∆的顶点)3,2(A 和重心)1,2(-G ，则BC 边上的中点坐标是（ A ） A ．)3,2(- B ．)9,2(- C ．)5,2(- D ．)0,2( 10、
已
知
32),,(),3,4(),2,5(=+-=--=-=c b a y x c b a 若则c 等于
（ D ）
（A ）81,3⎛⎫
⎪⎝⎭
（B ）138,33⎛⎫
⎪⎝⎭
（C ）134
,33⎛⎫
⎪⎝⎭
（D ）134,3
3⎛⎫-
-
⎪⎝
⎭
11、已知点A （2，3）、B （10，5），直线AB 上一点P 满足|PA|=2|PB|，则P 点坐标是（ C ） （A ）2213,33⎛⎫
⎪⎝⎭
（B ）（18，7）
（C ）2213,33⎛⎫
⎪⎝⎭
或（18，7） （D ）（18，7）或（－6，1）
二、填空题（本大题共16分，每小题4分）
13、已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －2
1b 的坐标是___（2
1，3
2
1）___．
14、已知A （2，3），B （－1，5），且AC ＝3
1AB ，AD ＝－4
1AB ，则CD 中点的坐标是_
（
8
15，
12
37）_．
15、724i +的平方根是 (43)i ±+ ．
解析：设2()724a bi i +=+，其中,a b R ∈，所以
227
224
a b ab ⎧-=⎨
=⎩ 解得43
a b =⎧⎨
=⎩或
43
a b =-=-，故724i +的平方根是(43)i ±+．
16、若z 是实系数方程2
20x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = 4 ．
解析：设z a bi =+（a b ∈R ，），则方程的另一个根为z a bi =-,且
2z =⇒
2=，由韦达定理，得：22,z z a +==-1,a ∴=-2
3,b b ∴==
所以(1)(1) 4.p z z =⋅=-+
--
=
三、解答题（本大题共76分）
17、（12）设关于x 的方程2
(tan )(2)0x i x i θ-+-+=有实根，求锐角θ及这个实根． 解答：设实数根为a ，则 2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=，即
2
tan 2(1)0a a a i θ---+=
∵a ，tan R θ∈，
∴2tan 2010a a a θ⎧--=⎨+=⎩
∴1a =-且tan 1θ=， 又02
π
θ<<
∴4
π
θ=
18、（12分）如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB =a,AD =b,试用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN 。

解答：连结AC
DC =
2
1AB =2
1a,……
AC =AD +DC = b+21a,…… BC =AC -AB = b+
2
1a-a= b-2
1a,……
NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-4
1a,……
MN =-NM =
4
1a-b
19、（本题满分12分）在复数范围内解方程i
i i z z z +-=
++23)(||2
（i 为虚数单位）
解答：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-
由于222
||()2z z z i a b ai ++=++
32i i
-+＝
2
2
(3)(2)21
i i --+＝1i -
所以2
22a b ai ++＝1i -
根据复数的相等得221
21
a b a ⎧+=⎨=-⎩
解得1,2
2
a b =-
=±
因此，12
2
z =-
±
即为所求．
20、（14分）已知△ABC 的顶点坐标为A （1，0），B （5，8），C （7，－4），在边AB 上有一点P ，其横坐标为4，在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分． 解答：设1
1211541,2,λλλλ++=
==则AC QA AB PA 4
31-
=∴λ
又
||
||
AC
AQ AB
AP S S ABC
APQ ⋅=∆∆3
2,02
1||4
3|,|4
3|||
|
2222-
=∴<=
=
=λλλλ又则
AC
QA AB
PA
设点Q 的坐标为（x Q ，y Q ）， 则3
21)4()32(,3217
)3
2(1-
-⨯-
+=
-
⨯-
+=
Q Q y O x ，得)3
8
,5(,3
8,5-∴-==Q y x Q Q
21、（12分）设,C z ∈满足下列条件的复数z 所对应的点z 的集合表示什么图形 .12
14
1log
2
1->--+-z z
为半径的圆的外部。

以）为圆心
，（为半径的圆的内部或以）为圆心，，表示以点（所以或所以或可得：化简得：
可得
解：由8012018
|1|2|1|02|1|08|1|02|1|08|1|0
2
|1|8|1|,22
|1|4|1|12
14
1log
2
1Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z z z >-<-⎩⎨⎧>-->--⎩⎨
⎧<--<-->----<--+-->--+-
22、（14分）设椭圆方程为14
2
2
=+
y
x ，过点)1,0(M 的直线L 交椭圆于A 、B 两点，O 是
坐标原点，点P 满足1()2O P O A O B =+ ，点N 的坐标为)2
1
,21(。

当直线L 绕点M 旋转时，
求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）N P
的最大值与最小值。

解答：（1）设直线L 斜率为k ，则L 方程为y=kx+1,设),(11y x A ，),(22y x B 由题设可得它们是方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=141
22y x kx y 的解，即满足032)4(2
2=-++kx x k
所以2
2142k
k x x +-
=+，2
2121482)(k
x x k y y +=
++=+而
1()2
O P O A O B =+ = )2
,
2
(
2
12
1y y x x ++=)44,
4(2
2
k
k
k ++-。

设P 的坐班为（x,y ），则
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+-=2
244
4k y k k x 消去k 得0422=-+y y x 。

当k 不存在时，A,B 中点O 原点（0，0）也满足上式 所以动点P 的轨迹方程是0422=-+y y x
（2）由0422=-+y y x ，得4
1)2
1(42
2
=
-
+y x ，可得4
14
1≤
≤-
x
2NP ==-+-22)21()21(y x =-+-22)2
1()21(y x 127
)61(22+
+-x 当
41=
x 时
N P
取最小值=41
，当
61-
=x 时
N P
取最大值=6
21。