考点1零点的求法及零点的个数

考点 1零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。

[例1]求函数 y x32x2x 2
的零点.
[ 解题思路 ] 求函数y
x 32x 2
x 2
的零点就是求方程 x 32x 2x 2 0的根
[解析]令 x32x2x 2 0，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴x1或x 1或 x 2
即函数y
x32x 2x
2
的零点为 -1 ，1，2。

[ 反思归纳 ]函数的零点不是点，而是函数函数y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型 2：确定函数零点的个数。

[例2]求函数 f(x)=lnx＋2x － 6 的零点个数 .
[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的解的个数
[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx＋ 2x －6 在定义域(0,)
上连续单调递增，
又有 f (1) f (4)0
，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x－6 只有一个零点。

方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x－ 6 的零点个数即是求方程lnx ＋2x－ 6=0 的解的个数
y ln x
即求y
6
2x 的交点的个数。

画图可知只有一个。

[ 反思归纳 ]求函数y f ( x)
的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程f ( x)0
的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方
程，可以将它与函数y f ( x)
的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
[ 例3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数f x
2ax22x 3
a
, 如果函数
y f x
在区间
1,1
上有零点，求 a 的取值范围。

[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数
y f x 在区间1,1 上有零点
寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为x
2的系数，故要对 a 进行
讨论
[ 解析]若a 0
, f ( x)2x 3 ,显然在1,1上没有零点 ,所以
a 0
.
48a 3a8a 2
24a4
, 解得
a
37
令2 a37
y f x1,1
2时,上;
①当恰有一个零点在
②当f
1 f 1a1a50 ，即1 a 5 时，
y
f x在
1,1 上也恰有一
个零点。

③当
y
f x在
1,1
上有两个零点时 ,则
a0a0
8a224a408a224a40 1
1
11
1
1 2a2a
f 10 f 10
f10
或
f10
35
a
解得a 5
或2综上所求实数a的取值范围是
a1
或
35
a
2。

[ 反思归纳 ] ①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也
是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键 .
②二次函数 f (x) ax2bx c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处
理二次函数问题的重要依据。

考点 3根的分布问题
[例 5]已知函数
f ( x)mx 2
(m3)x
的图像与
x
轴的交点至少有一个在原点
1
的右侧，求实数 m的取值范围
[ 解题思路 ] 由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论[ 解析 ] （ 1）若 m=0，则 f （x）=－3x+1，显然满足要求 .
（ 2）若 m≠0，有两种情况：
( m3) 24m 0
x1 x2
1原点的两侧各有一个，则0
m＜0；
m
( m 3) 24m0,
x1
3m
0, x2
2m
x1 x2
1都在原点右侧，则0,
解得 0＜m≤1，综上可得 m∈（－∞， 1］。

m
[ 反思归纳 ]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：
①方程 f （ x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r小a·f（ r ）＜ 0.
b 24ac0,
b
r ,
2a
a f ( r )0.
②二次方程 f （x）=0 的两根都大于 r
b 24ac0,
p
b
q, 2a
a f (q)0,
③二次方程 f （x）=0 在区间（ p，q）内有两根a f ( p)0.
④二次方程 f （x）=0 在区间（ p，q）内只有一根 f （ p）·f（ q）＜0，或 f （p）=0，另一根在（ p，q）内或 f （q）=0，另一根在（ p，q）内 .
a f ( p)0,
⑤方程 f （ x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（ p＜ q）a f (q)0.（二）、强化巩固训练
1、函数f
x mx22x
1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是
（）。

A．,1
；B．,0
1
；C．,00,1 ；D．,1
m0m0
(2) 24m0( 2)24m 0
[ 解析 ] B ；依题意得（ 1）f (0)
0或（ 2）
f (0)
0或
m0
（ 3）( 2)24m 0
显然（ 1）无解；解（ 2）得
m0
；解（ 3）得
m
1
又当m
0 时 f ( x)2x
1
，它显然有一个正实数的零点，所以应选B。

2、方程 2 x x23的实数解的个数为 _______。

1x
[ 解析]2 ；在同一个坐标系中作函数y ( 2)及y
x2
3 的图象，发现它们有
两个交点
故方程 2 x
x 2
3 的实数解的个数为
2。

3、已知二次函数 f ( x)
4x 2 2( p 2) x 2 p 2
p 1, 若在区间［－ 1， 1］内至少
存在一个实数 c, 使 f(c)>0,
则实数 p 的取值范围是 _________。

3
[ 解析 ] ( －3， 2 ） 只需 f (1)
2 p 2 2 p
9 0 或 f ( 1)
2 p 2 p 1 0
3 1
3
即－ 3＜p ＜ 2 或－ 2 ＜p ＜1. ∴ p ∈ ( － 3, 2 ) 。

4、设函数 y x 3
与 y ( 1)
x 2
的图象的交点为 ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0 所在的区间是（
）。

2
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案
B 。

5、若方程 x 2
(k 2)x 2k 1 0的两根中,一根在 0和 1
之间 , 另一根在 1 和 2
之间 , 求实数 k 的取值范围。

1 2
[ 解析]
2 k
3 ；令
f ( x)
x
2
(k 2)x
2k
1
，则依题意得
f (0) 0 2k 1 0
f (1)
1 k 2
2k 1 0
1
2
f (2)
0，即 4
2k
4 2k 1
，解得 2 k
3 。

（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题： 1．利用函数的图象求方程的解的个数； 2．一元二次方程的根的分布； 3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。

（四）作业布置： 限时训练 10 中 12、13、14
课外练习： 限时训练 10 中 1、 3、 4、 6、 7、 9、10、11 补充题： 1、定义域和值域均为 [-a,a] ( 常数 a>0) 的函数 y=f(x) 和 y=g(x) 的图 像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解； (2)
方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个 解；
(3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解； (4) 方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个
解。

那么，其中正确命题的个数是（
) 。

A ．1; B.2; C.3; D.4。

y
y
a
a
y f ( x )
y g(x)
a
O
x
a
O
a x
a
a
a
[ 解析] B ；由图可知，
f ( x)
[ a ， a] ， g (x) [
a ， a]
，由左图及 f[g(x)]=0
得
g( x)
x 1
a
g( x) x 2
[
a ，
g(x)
a
[ a ， ]
0] 2
，由右知方程 f[g(x)]=0
有
2 ，
2
，
且仅有三个解，即 (1) 正确；由右图及 g[f(x)]=0 f ( x) x 0
( a
， a)
，由左图
得
2
知方程 g[f(x)]=0
有且仅有一个解，故
(2) 错误；由左图及
f[f(x)]=0
得
f ( x)
x 1 a f (x)
x 2 [
a ，
a
[ a ， ] 0]
f ( x)
2 ，
2
，
2
，又由左图得到方程
f[f(x)]=0 最多有三个解，故(3)
g( x) x 0
( a
， a)
错误；由右图及 g[g(x)]=0 得
2
，
由右图知方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解，即 (4) 正确，所以应选择 B
2、已知关于 x 的二次方程 x 2
2mx
2m 1 0 。

(1) 若方程有两根 , 其中一根在区间 ( －1，0) 内，另一根在区间 (1 ， 2) 内，求 m 的范围。

(2) 若方程两根均在区间 (0 ， 1) 内，求 m 的范围。

[ 解析 ](1) 条件说明抛物线 f ( x) x 2 2mx 2m 1与 x 轴的交点分别在区间 ( －
1，0) 和(1 ， 2) 内，画出示意图，得
m
1 f (0) 2m 1 0,
2
m
R,
f ( 1) 2 0,
1 ,
f (1) 4m 2 0, m
f (2)
6m
5 0
2
5
m
6 ∴
(2) 据抛物线与 x 轴交点落在区间
5
1 m
6
2 .
(0 ，1) 内，列不等式组
m
1 , f (0)
0, 2
1 , f (1)
m
0, 2
0,
m 1 或
2 m 1 2 , 0 m 1
1 m 0.
( 这里 0<－ m<1是因为对称轴 x=－ m 应在区间 (0 ， 1) 内通过 )
1.函数 y= log1(3x2) 的定义域是（
2
A.［1，+∞）
B.（2,+∞
C.［2，1
D.（2］
333,1
2.设函数 f(x)=x|x|+bx+c, 给出下列四个命题：
①当 b≥0时，函数 y=f(x) 是单调函数
②当 b=0,c＞ 0 时，方程 f(x)=0 只有一个实根
③函数 y=f(x) 的图象关于点（ 0，c）对称
④方程 f(x)=0 至多有 3 个实根，其中正确命题的个数为（）。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4
3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（
1
A.y=x 2(x∈(0,+ ∞ ))
B.y=3x(x∈ R)
1
C.y=x 3 (x∈ R)
D.y=lg|x|(x ≠ 0)
4.已知偶函数 f(x) 满足条件：当 x∈R 时，恒有 f(x+2)=f(x),且 0≤ x≤1时，有f (x)＞
0,则 f（98) ,f（101) ,f（106)的大小关系是（）191715
A.f （98)＞f （106)＞ f（101)
191517
B.f（106)＞ f（98)＞f（101)
151917
C.f（101)＞ f （98)＞ f（106)
171915
D.f（106)＞ f （101)＞ f（98),
151719
5.如图为函数 y=m+log n x 的图象，其中 m，n 为常数，则下列结论正确的是
（）
A.m＜0,n＞1
B.m＞ 0,n＞ 1
C.m＞0,0＜n＜1
D.m＜0,0＜n＜1
6.已知 f(x) 是以 2为周期的偶函数，且当 x∈(0,1)时， f(x)=2 x-1，则 f(log 212)的值
为（ A. 1 B. 4
C.2 33
D.11
7.（2009·重庆理， 4）已知函数 y= 1 x x 3 的最大值为M，最小值为m，则m
M
的值为（）A.1
B. 1
C. 2 422
D.3
2
8.若方程 2ax2-x-1=0
（）
A.a＜ -1在（ 0，1）内恰有一解，则 a 的取值范围是
B.a＞1
C.-1＜ a＜ 1
D.0≤a＜1
9.f(x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是
（）
A.5
B.4
C.3
D.2
10.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应
减少，具体调查结果如下表：
表1
单价（元 /kg）2 2.4 2.8 3.2 3.64
供给量
506070758090
（ 1 000kg）
表 2
单价（元 /kg）4 3.4 2.9 2.6 2.32
供给量
506065707580
（ 1 000kg）
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（
A.（2.3，2.4
B.（ 2.4， 2.6
C.（2.6，2.8
D.（ 2.8， 2.9
11.已知函数 f(x)=log a(x21+bx) (a＞0 且 a≠ 1)，则下列叙述正确的是（）
A.若 a=1则函数
f(x)为
R
2
,b=-1,
B.若 a=1则函数
f （
x)
为
R
2
,b=-1,
C.若函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，则 b=±1
D.若函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，则 b=1
设函数（）( 1 )x7(x0)＜ 1,则实数 a 的取值范围是
=若 f(a)
12.f x2
x(x0) ,
（）
A.（-∞,-3）
B.(1,+ ∞)
C.(-3,1)
D.(-∞,-3) (1,+∞)
二、填空题
2
+1)(x 1
.
13.已知函数 f(x)=log 2(x≤ 0)，则f（2）=
已知函数(1x( x 4)则 f(log
2的值为
f(x)=2)
3).
14.
f (x 1)(x4)
15.用二分法求方程x3-2x-5=0 在区间［ 2，3］内的实根，取区间中点x0=2.5,那么
下一个有实根的区间是
答案（2，2.5
.
16.对于函数 f(x) 定义域中任意的 x1,x2 (x1≠x2),
①f(x 1+x2)=f(x 1)f(x 2);
② f(x 1·x2)=f(x 1)+f(x 2);
③ f ( x1 ) f ( x2 ) ＞0;
x1 x2
④f(x1x2)＜f ( x1) f ( x2 )
22
当 f(x)=2 x时，上述结论中正确结论的序号是.
三、解答题
17．设直线 x=1 是函数 f(x) 的图象的一条对称轴，对于任意x∈R， f(x+2)=-f(x),
当-1≤x≤1时， f(x)=x 3.
（ 1）证明： f(x)
（ 2）当 x∈［ 3，7］时，求函数 f(x) 的解析式 .
18.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AB=10 ，CD=4，两腰 AD=CB=5 ，动点 P 由 B
点沿折线 BCDA 向 A 运动，设 P 点所经过的路程为 x，三角形 ABP 的面积为 S
（1）求函数 S=f(x)
（2）试确定点 P 的位置，使△ ABP 的面积 S 最大 .
19.据调查，某地区 100 万从事传统农业的农民，人均收入 3 000 元，为了增加农
民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为 3 000a 元 (a＞0).
（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企
业建立前的农民的年总收入，试求 x
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即 x 多大时），能使这 100 万农民的人均年收入达到最大 .
20.设 a,b∈R，且 a≠ 2,定义在区间（ -b,b）内的函数 f(x)= lg1 ax是奇函数 .
1 2x
（1）求 b
（2）讨论函数 f(x) 的单调性 .
21.已知定义域为 R 的函数 f(x) 满足 f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x.
(1)若 f(2)=3,求 f(1); 又若 f(0)=a,求 f(a);
(2)设有且仅有一个实数x0,使得 f(x 0)=x0,求函数 f(x) 解析表达式 .
22.已知函数 y=f(x) 是定义在区间［ - 3，3］上的偶函数，且
22
x∈［ 0，3］时， f（x ）=-x 2-x+5.
2
（1）求函数 f(x)
（2）若矩形 ABCD 的顶点 A ，B 在函数 y=f(x) 的图象上，顶点 C，D 在 x 轴上，求矩形 ABCD 面积的最大值 .。