大学数学_1_1 函数

x
R f 0, ，其图形为抛物线，如图 1-4 所示．
例 5 函 数 y x 2 的 定 义 域 D f (, ) ， 值 域
y
y
yx
2
1 y x
O x
O
x
图1-5
图1-4
1 例 6 函数 y 的定义域 D f (,0) (0, ) ，值域 x R f (,0) (0, ) ，其图形为等轴双曲线，如图 1-5 所
3．函数的图形
设函数 y f ( x) 的定义域为 D f ，取
定一个 x D f ，对应一个函数值 y f ( x) ，这时 ( x, y ) 在
xOy 平面上点集 G： G ( x, y ) | g f ( x), x D f y 点集 G 称为函 数 y f ( x ) 的图形 （或图象） （图 y f ( x) Rf 1-3） 对于常用的函 数应记住其图形， Df O 即式图并记，了解 全貌，利于应用． 图1-3
例 3 自由落体运动的位置函数 h
2．单值函数与多值函数 如果自变量在其定义域内任 一值数值时，对立的函数值只有惟一的一个，称这种函数 为单值函数；否则有多个函数值与之对应，就为多值函数． 本课程以后不加申明所讨论的函数均指单值函数．
例 4 由方程 x 2 y 2 a 2 所确定的函数，在 (a, a ) 内，x 取任一个数值时，对应的函数值就有两个，所以这个函数 是多值函数．
x 1 例 1 求函数 f ( x) 2 的定义域． x 4 解 要使 f ( x) 有意义，必须 x 2 4 0 且 x 1 0 ，即x 1 且 x 2 ．故 D f 1, 2 2, ．
例 2 求函数 g ( x ) x x 2 的定义域与值域.
I Df ） ，如果存在一个正数 M，对于所有的 x I ，对应
1 例 11 f ( x) 在 0,1 内无界， 这是因为对于取定的 x 1 1 (0,1), 故当 x1 正数 M （不妨设 M 1） ， 由于 时， 2M 2M 1 1 f ( x1 ) 2 M M 因此 f ( x) 在 0,1 内无界． x 2M 1 如果取 0 1时， f x 在 ,1 内是有界的， 因 x 1 1 1 为取 M ，对于任意的 x ( ,1) ，有 f ( x) M ． x
( x0 , x0 ) ， （图 1-2(a)） 在U ( x0 , ) 中去掉 x0 ，称为点 x0 的去心 邻域，记作
U ( x0 , ) ，
即U ( x0 , ) x | 0 x x0 或
例如 U (2,0.5) x | x 2 0.5 可以表示为(1.5, 2.5)
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合 A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ． 其中 bi i 1, 2,3, 4,5 分别表示第 i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集 合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法． 例如： 上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数 ；
对于数集几个符号的解释： 数集字母的右上角标上“*”时，表示该数集内排除数 0 的集合 ， N * 1, 2, , n, 是 N 中除去 0 的所得集合． 数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R 为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为 Q ． （4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ． 例如： x x R且x 2 2 0 是空集．
第一章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
函数 极限 连续
函数 极限的概念 极限的运算法则 极限存在准则与两个重要极限 无穷小与无穷大 无穷小的比较 函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
微积分及其应用是高等数学课程的主要内 容．微积分以变量为研究对象，与中学里所学的 初等数学研究的基本上不变的量（即常量）是有 重大区别的．研究变量时，着重考察变量之间的 相依关系（即所谓的函数关系），用极限方法讨 论当某个变量变化时，与其相关的变量的变化趋 势．本章将介绍函数、极限和函数连续性等基本 概念以及它们的一些性质，这些内容都是学习本 课程必需的基础知识．
C 是方程 x 2 4 x 3 0 的解集： 列举法：C 1,3 ；描述法：C x x 2 4 x 3 0 .
3． 有限集与无限集 一个集合中，若只有有限个元素，则称为有限集； 不是有限集的集合称为无限集． 例如：上述讨论的集合 A, B, C 都是有限集． 自然数的集合 N 0,1, 2, , n, ; 全体正整数的集合 N * 1, 2, , n, 都是无限集． 4． 集合的关系 （1）子集 若一个集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，称 A 是 B 的子集．记为 A B 或B A （2） 相等子集 若集合 A 与集合 B 含有相同的元素， 称 A 与 B 相等，记为 A B 或B A （3） 真子集 若 A B 且A B ， 称 A 是 B 的真子集， 记为 A Ö B
解 要使 g ( x) 有意义，必须 x x 2 0 ，则 Dg 0,1 ，由
1 1 2 1 1 x x (x ) ， 显然 x 时， 当x 0 g ( x) 取最大值 ， 4 2 2 2 1 或 1 时， g ( x) 取最小值 0，则 g ( x) 的值域 Rg 0, . 2
示
例 7 函数 y x 3 的定义域 (, ) ，值域 (, ) ，其 图形为立方抛物线，如图 1-6 所示
y
y x3
O
x
图1-6
5.函数的表示法
函数常用解析法，表格法，图象法表示． (1)表格法 自变量所取的值和对应的函数值列成表格， 用以表示函数关系的方法； (2) 图像法 在某坐标系中用一条曲线来表示函数关系 的方法； (3) 解析法 自变量和因变量之间的关系用数学表达 式表示一个函数的方法称为解析法（也称公式法）． 高等数学中所讨论的函数大多是解析法给出的，这 是因为用解析表达式便于进行各种运算和研究函数的性 质. 但要指出一点，用解析法表示函数，不一定总是用 一个式子表示，也可以用几个式子表示一个函数 . 习惯 上，称用多个式子表示的这种函数为分段函数．
三、函数的几种特性
1.函数的有界性
定 义 设 y f ( x) 在 区 间 I 内 有 定 义 （ I D f 或 的函数值 f x 都满足不等式 f ( x) M ，则称 f x 在 I 内 有定义．如果这样的 M 不存在，则 f x 称 I 在内无界．
例１ 例 10 f ( x) sin x 在 (, ) 有界，因为对于任意的 x R 有 sin x 1， 因此 f x ＝ sin x 是在 ( , ) 内的有界 函数． cos x 也是在 ( , ) 内的有界函数．
1．函数定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定 的数集，如果对于每个数 x D ，变量 y 按照一定法则总 有确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f ( x) ． 数集 D 为 f ( x) 的定义域，简记为 D f ，习惯上，x 称 为自变量，y 称为因变量． 对应的函数值的全体组成的数集 R f 称为 f ( x) 的值 域． R f y | y f ( x), x D f ．
[ a, b ] a
b
( a, b ) x O a b x
(a )
(b) ( , b )
[ a, ) O a ( c) 图 1-1 x
O b (d)
x
在不辨明所论区间是否包含端点及是否有限或无限 时，可简单地称为“区间” ，且常用 I 表示．
2．邻域 以点 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 U ( x0 ) ． 以 x0 为中心，以 2 ( 0) 为长度的开区间称为 x0 的 邻 域 ， 记 作 U ( x0 , ) ， 即 U ( x0 , ) x | x x0 或
即
5= (5) (1) ．
例9 10 函数
x2 , x 0 y 1 x, x 0 D f (, ), R f [0, ), 如图 1-8 所示. y
y x 1
y x2
x O 图 1-8 例8，例9都是分段函数，表示的是一个函数，不 是几个函数．
U (2,0.5) x | 0 x 2 0.5 可以表示为(1.5, 2) (2, 2.5)
( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) （图 1-2(b)）
x0 x0 x0 x (a)
x0
x0 x0 x
(b)
图 1-2
二、函数的概念
例8 9 符号函数
1, x 0. y sgn x 0, x 0. 1, x 0. 的定义域是 , ，值域是1,0,1, ，如图 1-7 所示. y
y sgn x
1 O -1 x
如
图1-7 5 sgn(5) 5 1 5 5, 5 (5)sgn(5),
a, b x | a x b
闭区间端点 a a, b ，b a, b （图 1-1(a)）
⑶半开区间 a, b x | a x b ， a, b x | a x b ⑷无限区间 a, x | x a ， , b x | a x b ， 全体实数集 R 可记作 , ．
（二）区间与邻域
1．区间 设 a, b 都是实数，且 a b ． ⑴开区间 数集 x | a x b 称为开区间，记作 (a, b) ，即 （图 1-1(b)） (a, b) x | a x b 开区间端点 a (a, b) ， b ( a, b) ⑵闭区间 数集 x | a x b 称为闭区间，记作 a, b ，即
2
在单纯地讨论用算式表达的函wk.baidu.com时，可以规定函数的 自然定义域，即使算式有意义的一切实数组成的数集，以 上两例所求定义域就是自然定义域． 在实际问题中， 函数的定义域是根据实际意义确定的．
1 2 gt 的自然定义 2 域为 (, ) ，但赋于实际意义后开始下落时刻t 0 ，着陆 时刻t T ，则定义域应为 0, T ．
第一节
一、集合与区间
（一）集合
1．集合 体．
函数
集合是指具有某种共同属性的事物的总
例如：一个教室里的所有课桌；代数方程 x 2 3 x 2 0 所有根；自然数的全体等，分别组成一个集 合，用 A, B, C , ……等大写拉丁字母表示． 组成这个集合的事物或个体称为该集合的元素．用 a,b,c,---等小写拉丁字母表示． 如果 a 是集合 A 的元素，记为 a A ； 如果 b 不是集合 A 的元素，记 b A 为 (或 b A )．