2020-2021学年四川成都九年级上数学期中试卷

2020-2021学年四川成都九年级上数学期中试卷
一、选择题
1. 下列说法正确的是( )
A.8的立方根是2
B.−4的平方根是−2
C.16的平方根是4
D.1的立方根是±1
2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是( )
A. B.
C. D.
3. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为( )
A.3.6×103
B.3.6×104
C.3.6×105
D.36×104
4. 二次根式√x−1中，x的取值范围是( )
A.x≥1
B.x>1
C.x≤1
D.x<1
5. 在平面直角坐标系中，点P(−3, −5)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(3, −5)
B.(−3, 5)
C.(3, 5)
D.(−3, −5)
6. 下列计算正确的是( )
A.x2+x2=x4
B.(x−y)2=x2−y2
C.(x2y)3=x6y
D.(−x)2⋅x3=x5
7. 某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是( ) A.42件 B.45件 C.46件 D.50件
8. 如图，直线l1 // l2 // l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为( )
A.2
B.3
C.4
D.10
3
9. 分式方程x+1
x
+1
x−2
=1的解是( )
A.x=1
B.x=−1
C.x=3
D.x=−3
10. 若ab>0，则一次函数y=ax−b与反比例函数y=ab
x
在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于1
2
AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为________．
三、解答题
(1)计算： √9−4|√3−1|+(2014−π)0−2−1；
(2)解不等式组： {3x −1>5，
2(x +2)<x +7.
先化简，再求值：(1−4
x+3)÷x 2−2x+12x+6
，其中x =√2+1.
2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的同学共有________人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为________；
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B 垂直起飞到达点A 处，测得学校1号楼顶部E 的俯角为60∘，测得2号楼顶部F 的俯角为45∘，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且EC 和FD 分别垂直地面于点C 和D ，B 为CD 的中点，求2号楼的高度．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y
=
1
2
x +5和y =−2x 的图象相交于点A ，反比例函数y =k
x
的图
象经过点A ．
(1)求反比例函数的表达式.
(2)设一次函数y =1
2x +5的图象与反比例函数y =k
x 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积．
如图1，以正方形ABCD 的相邻两边AD ，CD 为边向外作等边三角形，得到△ADE ，△DCF ，点G ，H 分别是AE ，CF 的中点，连接AF ，GH ．
(1)问题发现：GH
AF
=________；
(2)猜想论证：如图2，若四边形ABCD是矩形，其他条件不变，则(1)中结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在(2)的条件下，点P，Q分别为AF，GH的中点，连接PQ，DQ，猜想PQ，DQ的位置关系，并加以证明．
四、填空题
如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD，DP，BD 与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≅△DCF；②FP
PH
=
3
5
；③DP2=PH⋅PB；④S△BPD
S
正方形ABCD
=√3−1
4
.
其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
五、解答题
某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是对角线BD上的一个动点(0<DM<1
2
BD)，连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．(1)如图①，求证：MA=MN；
(2)如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当S△AMN
S△BCD
=13
18
时，求AN和PM的长；(3)如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM=2√5时，求△HMN的面积．
如图1，直线y=−x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=k
x
(x<0)于点N，S△OBN=10.
(1)求双曲线的解析式；
(2)已知点H是双曲线上一动点，若S△HON=20
3
，求点H的坐标；
(3)如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=−6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川成都九年级上数学期中试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
平方根
立方根的性质
【解析】
根据立方根的定义即可判定.
【解答】
解：A，23=8，8的立方根是2，故选项正确；
B，负数没有平方根，故选项错误；
C，16的平方根是±4，故选项错误；
D，1的立方根是1，故选项错误．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】
解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，
如图所示：
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
解：36000用科学记数法表示为3.6×104. 故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：x−1≥0，
解得x≥1.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
解答此题的关键在于理解关于原点对称的点的坐标的相关知识，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x, y)关于原点的对称点为P’(−x, −y)．
【解答】
解：P(−3, −5)关于原点对称的点坐标是(3, 5).
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
整式的混合运算
幂的乘方与积的乘方
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A中，x2+x2=2x2，故A错误；
B中，(x−y)2=x2+y2−2xy，故B错误；
C中，(x2y)3=x6y3，故C错误；
D中，(−x)2⋅x3=x5，故D正确.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
中位数
【解析】
将数据按从小到大的顺序排列，根据中位数的定义求解即可．【解答】
解：将数据按从小到大的顺序排列为：42，45，46，50，50，∴中位数为46.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】
解：∵直线l1 // l2 // l3，
∴AB
BC =DE
EF
.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴5
6=DE
4
，
∴DE=10
3
.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
解分式方程——可化为一元一次方程
【解析】
观察可得最简公分母是x(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】
解：x+1
x +1
x−2
=1，
去分母，方程两边同时乘以x(x−2)得：(x+1)(x−2)+x=x(x−2)，
整理得：−2=−2x，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
反比例函数的图象
【解析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【解答】
解：根据题意可得，ab>0，故排除B，D；
A，根据一次函数可判断a>0，b<0，
根据反比例函数可判断ab>0，
与一次函数判断的a，b相矛盾，本选项错误；
C，根据一次函数可判断a<0，b<0，
根据反比例函数可判断ab>0，
与一次函数判断的a，b相符合，本选项正确.
故选C．
二、填空题
【答案】
√30
【考点】
作图—基本作图
矩形的性质
勾股定理
线段垂直平分线的性质
【解析】
连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
【解答】
解：连接AE，如图所示，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD=√32−2
2=√5，
在Rt△ADC中，AC=√(√5)2+52=√30.
故答案为：√30．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=3−4(√3−1)+1−1
2
=15
2
−4√3．
(2)解不等式组：{
3x−1>5，①
2(x+2)<x+7，②
由①得：x >2， 由②得：x <3，
故不等式的解集为2<x <3． 【考点】 绝对值 实数的运算 解一元一次不等式组 【解析】 【解答】
解：(1)原式=3−4(√3−1)+1−1
2 =
152
−4√3．
(2)解不等式组： {3x −1>5，①
2(x +2)<x +7，②
由①得：x >2，
由②得：x <3，
故不等式的解集为2<x <3． 【答案】 解：原式=
x−1x+3
⋅
2(x+3)(x−1)2
=
2
x−1
.
当x =√2+1时， 原式=
√2+1−1
=√2.
【考点】
分式的化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：原式=
x−1x+3
⋅
2(x+3)(x−1)2
=
2
x−1
.
当x =√2+1时， 原式=
√2+1−1
=√2.
【答案】 180 126∘
(3)列表如下：
∴ 恰好选中甲、乙两位同学的概率为2
12=1
6． 【考点】 条形统计图 扇形统计图 列表法与树状图法
【解析】
（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数； （2）用360∘乘以篮球的学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】
解：根据题意得：
54÷30%=180（人）. 故答案为：180. (2)根据题意得：
360∘×(1−20%−15%−30%)=126∘. 故答案为：126∘. (3)列表如下：
∴ 恰好选中甲、乙两位同学的概率为2
12=1
6．
【答案】
解：过点E 作EG ⊥AB 于点G ，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，如图所示，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC=GB=20，HB=FD.
∵B为CD的中点，
∴EG=CB=BD=HF.
由题意得：∠EAG=90∘−60∘=30∘，∠AFH=45∘．在Rt△AEG中，AG=AB−GB=50−20=30(米)，
∴EG=AG⋅tan30∘=30×√3
3
=10√3(米).
在Rt△AHF中，AH=HF=BD=EG=10√3(米)，
∴FD=HB=AB−AH=50−10√3(米)，
∴2号楼的高度为(50−10√3)米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
矩形的性质
【解析】
过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】
解：过点E作EG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，如图所示，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC=GB=20，HB=FD.
∵B为CD的中点，
∴EG=CB=BD=HF.
由题意得：∠EAG=90∘−60∘=30∘，∠AFH=45∘．
在Rt△AEG中，AG=AB−GB=50−20=30(米)，∴EG=AG⋅tan30∘=30×√3
3
=10√3(米).
在Rt△AHF中，AH=HF=BD=EG=10√3(米)，
∴FD=HB=AB−AH=50−10√3(米)，
∴2号楼的高度为(50−10√3)米．
【答案】
解：(1)由{
y=1
2
x+5，
y=−2x，
得{
x=−2，
y=4，
∴A(−2, 4)，
∵反比例函数y=k
x
的图象经过点A，
∴k=−2×4=−8，
∴反比例函数的表达式是y=−8
x
.
(2)解{
y=−8
x
，
y=1
2
x+5，
得{
x=−2，
y=4，
或{
x=−8，
y=1，
∴B(−8, 1)，
由直线AB的解析式为y=1
2
x+5得到直线与x轴的交点为(−10, 0)，
∴S△AOB=1
2
×10×4−1
2
×10×1=15．
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
三角形的面积
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．【解答】
解：(1)由{
y=1
2
x+5，
y=−2x，
得{
x=−2，
y=4，
∴A(−2, 4)，
∵反比例函数y=k
x
的图象经过点A，
∴k=−2×4=−8，
∴反比例函数的表达式是y=−8
x
.
(2)解{
y=−8
x
，
y=1
2
x+5，
得{
x=−2，
y=4，
或{
x=−8，
y=1，
∴B(−8, 1)，
由直线AB的解析式为y=1
2
x+5得到直线与x轴的交点为(−10, 0)，
∴S△AOB=1
2×10×4−1
2
×10×1=15．
【答案】
2√3
3
(2)结论成立．
理由：如图，连结DG，DH，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90∘.
∵ △ADE，△DCF都是等边三角形，
∴ DA=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60∘. ∵ AG=GE，CH=FH，
∴ ∠ADG=∠CDH=30∘，
∴ ∠ADF=∠GDH=150∘.
∵AD
DG =DF
DH
=2√3
3
，∴ △DGH∽△DAF，∴
GH AF =AD
DG
=2√3
3
．
(3)PQ⊥DQ．
理由：如图，连结DG，DH，DP，
由(2)可知：△DGH∽△DAF，
∴ ∠DGQ=∠DAP.
∵ DQ，DP分别是△GDH，△ADF的中线，
∴DP
DQ =DA
DG
=2√3
3
，
∴AD
DP =DG
DQ
.
∵AD
DG
=PA
QG
，
∴ △DGQ∼△DAP，
∴ ∠GDQ=∠ADP，
∴ ∠ADG=∠PDQ，
∴ △ADG∼△PDQ，
∴ ∠DQP=∠DGA.
∵ DA=DE，AG=GE，
∴ DG⊥AE，
∴ ∠DGA=90∘，
∴ ∠DQP=90∘，
∴ DQ⊥PQ．
【考点】
正方形的性质
等边三角形的性质
特殊角的三角函数值
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图，连结DG，DH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD，∠ADC=90∘.
∵ △ADE，△DCF都是等边三角形，
∴ DA=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60∘.
∵ 点G，H分别是AE，CF的中点，
∴ ∠GDA=∠CDH=30∘，
∴ ∠ADF=∠GDH=150∘.
∵AD
DG
=DF
DH
=2√3
3
，
∴ △DGH∼△DAF，
∴GH
AF
=AD
DG
=2√3
3
.
故答案为：2√3
3
．
(2)结论成立．
理由：如图，连结DG，DH，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90∘.
∵ △ADE，△DCF都是等边三角形，
∴ DA=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60∘. ∵ AG=GE，CH=FH，
∴ ∠ADG=∠CDH=30∘，
∴ ∠ADF=∠GDH=150∘.
∵AD
DG =DF
DH
=2√3
3
，
∴ △DGH∽△DAF，
∴GH
AF
=AD
DG
=2√3
3
．
(3)PQ⊥DQ．
理由：如图，连结DG，DH，DP，
由(2)可知：△DGH∽△DAF，
∴ ∠DGQ=∠DAP.
∵ DQ，DP分别是△GDH，△ADF的中线，
∴DP
DQ
=DA
DG
=2√3
3
，
∴AD
DP
=DG
DQ
.
∵AD
DG
=PA
QG
，
∴ △DGQ∼△DAP，
∴ ∠GDQ=∠ADP，
∴ ∠ADG=∠PDQ，
∴ △ADG∼△PDQ，
∴ ∠DQP=∠DGA.
∵ DA=DE，AG=GE，
∴ DG⊥AE，
∴ ∠DGA=90∘，
∴ ∠DQP=90∘，
∴ DQ⊥PQ．
四、填空题
【答案】
①③④
【考点】
全等三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定
正方形的性质
解直角三角形
三角形的面积
【解析】
【解答】
解：∵△BPC等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60∘.
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘，
∴∠ABE=∠DCF=30∘.
在△ABE与△DCF中，
{
∠A=∠CDF，
∠ABE=∠DCF，
AB=DC，
∴△ABE≅△DCF(ASA)，故①正确；
∵PC=BC=CD，∠PCD=30∘，
∴∠PDC=75∘，
∴∠FDP=15∘.
∵∠DBA=45∘，
∴∠PBD=15∘，
∴∠FDP=∠PBD．
∵∠DFP=∠BPC=60∘，
∴△DFP∼△BPH，
∴PF
PH
=DF
PB
=DF
CD
=√3
3
，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30∘．
又∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∼△CPD，
∴PD
CD
=PH
PD
，
∴PD2=PH⋅CD．
∵PB=CD，
∴ PD 2=PH ⋅PB ，故③正确；
如图，过点P 作PM ⊥CD 于M ，PN ⊥BC 于N ，
设正方形ABCD 的边长是4， △BPC 为正三角形，
∴ ∠PBC =∠PCB =60∘，PB =PC =BC =CD =4， ∴ ∠PCD =30∘， ∴ PN =PB ⋅sin 60∘=4×
√
32
=2√3，
PM =PC ⋅sin 30∘=2， S △BPD =S 四边形PBCD −S △BCD =S △PBC +S △PDC −S △BCD
=12×4×2√3+12×2×4−1
2×4×4 =4√3+4−8=4√3−4， ∴ S △BPD
S
正方形ABCD
=
√3−1
4
，故④正确. 故答案为：①③④．
五、解答题
【答案】
解：(1)根据题意得：
y =(30+x −20)(230−10x)=−10x 2+130x +2300， 自变量x 的取值范围是：0<x ≤10.
(2)当y =2520时，得−10x 2+130x +2300=2520， 解得x 1=2，x 2=11（不合题意，舍去）， 当x =2时，30+x =32（元）.
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
(3)根据题意得：
y =−10x 2+130x +2300 =−10(x −6.5)2+2722.5.
∵ a =−10<0，函数开口向下， ∴ 当x =6.5时，y 有最大值为2722.5.
答：每件玩具的售价定为6.5元时可使月销售利润最大，最大的月利润是2722.5. 【考点】
根据实际问题列二次函数关系式 一元二次方程的应用——利润问题 解一元二次方程-因式分解法 二次函数的应用
【解析】
（1）根据题意知一件玩具的利润为(30+x −20)元，月销售量为(230−10x)，然后根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y ＝2520时代入y ＝−10x 2+130x +2300中，求出x 的值即可．
（3）把y ＝−10x 2+130x +2300化成顶点式，求得当x ＝6.5时，y 有最大值，再根据0<x ≤10且x 为正整数，分别计算出当x ＝6和x ＝7时y 的值即可． 【解答】
解：(1)根据题意得：
y =(30+x −20)(230−10x)=−10x 2+130x +2300， 自变量x 的取值范围是：0<x ≤10.
(2)当y =2520时，得−10x 2+130x +2300=2520， 解得x 1=2，x 2=11（不合题意，舍去）， 当x =2时，30+x =32（元）.
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
(3)根据题意得：
y =−10x 2+130x +2300 =−10(x −6.5)2+2722.5.
∵ a =−10<0，函数开口向下， ∴ 当x =6.5时，y 有最大值为2722.5.
答：每件玩具的售价定为6.5元时可使月销售利润最大，最大的月利润是2722.5. 【答案】
(1)证明：过点M 作MF ⊥AB 于点F ，作MG ⊥BC 于点G ，如图所示：
∴ ∠AFM =∠MFB =∠NGM =90∘. ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠ABC =∠DAB =90∘，AD =AB ，∠ABD =∠DBC =45∘. ∵ MF ⊥AB ，MG ⊥BC ， ∴ MF =MG . ∵ ∠ABC =90∘，
∴ 四边形FBGM 是正方形， ∴ ∠FMG =90∘，
∴ ∠FMN +∠NMG =90∘. ∵ MN ⊥AM ，
∴ ∠AMF +∠FMN =90∘， ∴ ∠AMF =∠NMG . 在△AMF 和△NMG 中，
{∠AFM=∠NGM，MF=MG，
∠AMF=∠NMG，
∴△AMF≅△NMG(ASA)，
∴MA=MN.
(2)解：在Rt△AMN中，由(1)知：MA=MN，∴∠MAN=45∘.
∵∠DBC=45∘，
∴∠MAN=∠DBC，
∴Rt△AMN∼Rt△BCD，
∴S△AMN
S△BCD =(AN
BD
)2.
在Rt△ABD中，AB=AD=6，∴BD=6√2，
∴2
(6√2)2=13
18
，
解得：AN=2√13，
∴在Rt△ABN中，
BN=√AN2−AB2=√(2√13)2−62=4.
∵在Rt△AMN中，MA=MN，O是AN的中点，∴OM=OA=ON=1
2
AN=√13，OM⊥AN，∴∠AOP=90∘，
∴∠AOP=∠ABN.
∵∠PAO=∠NAB，
∴△PAO∼△NAB，
∴OP
BN =OA
BA
，即OP
4
=√13
6
，
解得：OP=2√13
3
，
∴PM=OM+OP=√13+2√13
3=5√13
3
.
(3)解：过点A作AF⊥BD于点F，如图所示：∴∠AFM=90∘，
∴∠FAM+∠AMF=90∘.
∵MN⊥AM，
∴∠AMN=90∘，
∴∠AMF+∠HMN=90∘，
∴∠FAM=∠HMN.
∵NH⊥BD，
∴∠AFM=∠MHN=90∘.
在△AFM和△MHN中，
{
∠FAM=∠HMN，
∠AFM=∠MHN，
AM=MN，
∴△AFM≅△MHN(AAS)，
∴AF=MH.
在等腰直角△ABD中，AF⊥BD，
∴AF=1
2
BD=3√2，
∴MH=3√2.
∵AM=2√5，
∴MN=2√5，
∴HN=√MN2−MH2=√2，
∴S△HMN=1
2
MH⋅HN=1
2
×3√2×√2=3，
∴△HMN的面积为3．
【考点】
正方形的判定与性质
全等三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定
勾股定理
三角形的面积
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD＝∠DBC＝45∘，由角平分线的性
质得出MF＝MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG＝90∘，证出∠AMF＝∠NMG，证明△AMF≅△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出S△AMN
S△BCD
=(AN
BD
)2，求出AN＝2√13，由勾股定理得出BN=
√AN2−AB2=4，由直角三角形的性质得出OM＝OA＝ON=1
2
AN=√13，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，
得出OP
BN
=OA
AB
，求出OP=2√13
3
，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≅△MHN得出AF＝MH，求出AF=1
2
BD=1
2
×6
√2=3√2，得出
MH ＝3√2，MN ＝2√5，由勾股定理得出HN =√MN 2−MH 2=√2，由三角形面积公式即可得出结果． 【解答】
(1)证明：过点M 作MF ⊥AB 于点F ，作MG ⊥BC 于点G ，如图所示：
∴ ∠AFM =∠MFB =∠NGM =90∘.
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠ABC =∠DAB =90∘，AD =AB ，∠ABD =∠DBC =45∘. ∵ MF ⊥AB ，MG ⊥BC ， ∴ MF =MG . ∵ ∠ABC =90∘，
∴ 四边形FBGM 是正方形， ∴ ∠FMG =90∘，
∴ ∠FMN +∠NMG =90∘. ∵ MN ⊥AM ，
∴ ∠AMF +∠FMN =90∘， ∴ ∠AMF =∠NMG . 在△AMF 和△NMG 中， {
∠AFM =∠NGM ，MF =MG ，
∠AMF =∠NMG ，
∴ △AMF ≅△NMG(ASA)， ∴ MA =MN .
(2)解：在Rt △AMN 中，由(1)知：MA =MN ， ∴ ∠MAN =45∘.
∵ ∠DBC =45∘， ∴ ∠MAN =∠DBC ，
∴ Rt △AMN ∼Rt △BCD ， ∴
S △AMN S △BCD
=(
AN BD
)2. 在Rt △ABD 中，AB =AD =6， ∴ BD =6√2， ∴ 2(6
√2)2
=13
18，
解得：AN =2√13， ∴ 在Rt △ABN 中，
BN =√AN 2−AB 2=√(2√13)2−62=4. ∵ 在Rt △AMN 中，MA =MN ，O 是AN 的中点，
∴ OM =OA =ON =1
2
AN =√13，OM ⊥AN ，
∴ ∠AOP =90∘， ∴ ∠AOP =∠ABN . ∵ ∠PAO =∠NAB ， ∴ △PAO ∼△NAB ， ∴ OP
BN =OA
BA ，即OP
4=√13
6
， 解得：OP =
2√13
3
， ∴ PM =OM +OP =√13+
2√133
=
5√133
.
(3)解：过点A 作AF ⊥BD 于点F ，如图所示：
∴ ∠AFM =90∘
，
∴ ∠FAM +∠AMF =90∘. ∵ MN ⊥AM ， ∴ ∠AMN =90∘，
∴ ∠AMF +∠HMN =90∘， ∴ ∠FAM =∠HMN . ∵ NH ⊥BD ，
∴ ∠AFM =∠MHN =90∘. 在△AFM 和△MHN 中，
{∠FAM =∠HMN ，∠AFM =∠MHN ，AM =MN ，
∴ △AFM ≅△MHN(AAS)， ∴ AF =MH .
在等腰直角△ABD 中，AF ⊥BD ， ∴ AF =1
2BD =3√2， ∴ MH =3√2. ∵ AM =2√5， ∴ MN =2√5，
∴ HN =√MN 2−
MH
2=√2，
∴ S △HMN =1
2
MH ⋅HN =1
2
×3√2×√2=3，
∴ △HMN 的面积为3． 【答案】
解：(1)如图，作NG ⊥x 轴于点G .
∵ 直线y =−x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，
∴ B(4,0)，C(0,4). ∵ S △NOB =1
2
⋅OB ⋅NG ，
∴ 1
2
×4×NG =10， ∴ NG =5， ∴ N(−1,5).
∵ 反比例函数y =k
x 经过点N(−1,5)，
∴ k =−5， ∴ y =−5
x ．
(2)如图，作NM ⊥x 轴于点M ，HE ⊥x 轴于点E ，
设H(m,−5
m ). ∵ S △HEO =S △NMO ，
又S 四边形HEON =S △HNO +S △HEO =S △NMO +S 梯形MNHE ， ∴ S △OHN =S 梯形NMHE ， ∴ 1
2⋅(5−5
m )⋅|m +1|=
203
.
当m <−1时，整理得3m 2+8m −3=0， 解得m =−3或m =1
3（舍去），
当0>m >−1时，整理得3m 2−8m −3=0， 解得m =−1
3或m =3（舍去），
综上所述，满足条件的点H 的坐标为(−3,5
3)或(−1
3,15)． (3)如图，
∵ GP =GQ ， ∴ ∠GPQ =∠GQP . ∵ BC//PQ ，
∴ ∠GCB =∠GPQ ，∠GBC =∠GQP ， ∴ ∠GCB =∠GBC ， ∴ GC =GB . ∵ OC =OB ，
∴ OG 垂直平分BC ，
∴ P ，Q 关于直线OG 对称. ∵ 点P 在y =−5
x 上，
∴ 点Q 也在y =−5
x 上. 又∵ 点Q 在直线y =−6上，
∴ Q(5
6
,−6).
设直线PQ 的解析式为y =−x +b ， ∴ −6=−5
6+b ，
∴ b =−31
6，
∴ 直线PQ 的解析式为y =−x −
316
．
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式 三角形的面积
一次函数图象上点的坐标特点 反比例函数与一次函数的综合 待定系数法求一次函数解析式 线段垂直平分线的性质
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)如图，作NG ⊥x 轴于点G .
∵ 直线y =−x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，
∴ B(4,0)，C(0,4). ∵ S △NOB =1
2
⋅OB
⋅NG ， ∴
1
2×4×NG =10， ∴ NG =5， ∴ N(−1,5).
∵ 反比例函数y =k
x 经过点N(−1,5)， ∴ k =−5， ∴ y =−5
x ．
(2)如图，作NM ⊥x 轴于点M ，HE ⊥x 轴于点E ，
设H(m,−5
m ). ∵ S △HEO =S △NMO ，
又S 四边形HEON =S △HNO +S △HEO
=S △NMO +S 梯形MNHE ， ∴ S △OHN =S 梯形NMHE ， ∴ 1
2⋅(5−5
m )⋅|m +1|=
203
.
当m <−1时，整理得3m 2+8m −3=0， 解得m =−3或m =13
（舍去），
当0>m >−1时，整理得3m 2−8m −3=0， 解得m =−1
3或m =3（舍去），
综上所述，满足条件的点H 的坐标为(−3,53
)或(−1
3
,15)．
(3)如图，
∵ GP =GQ ， ∴ ∠GPQ =∠GQP .
∵ BC//PQ ，
∴ ∠GCB =∠GPQ ，∠GBC =∠GQP ， ∴ ∠GCB =∠GBC ， ∴ GC =GB . ∵ OC =OB ，
∴ OG 垂直平分BC ，
∴ P ，Q 关于直线OG 对称. ∵ 点P 在y =−5
x 上， ∴ 点Q 也在y =−5x 上.
又∵ 点Q 在直线y =−6上， ∴ Q(5
6,−6).
设直线PQ 的解析式为y =−x +b ， ∴ −6=−5
6+b ， ∴ b =−316，
∴ 直线PQ的解析式为y=−x−31
．
6。