新三第3讲-高斯求和
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高斯求和
德国著名数学家高斯上小学的时候,一天,数学老师在黑板上写下一个算式:1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =? “这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。
不一会儿,小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。
老师一看,顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!
你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?
原来,除第一个数外,每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值,因此,两两搭配(1和100,2和99,3和98,…),可以搭配100 ÷ 2 = 50对,并且它们的和都等于101。
也就是说1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100相当于50个101 ,即5050。
用一个算式表示就是:(1 + 100)×(100 ÷ 2)= 5050。
事实上,像1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100这样除第一个数外,每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列,这个不变的差叫公差,等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项,其中第一个数叫首项,最后一个数叫末项。
利用配对求和的方法,可以总结出等差数列的以下公式:
等差数列的和 =(首项 + 末项)×项数÷ 2
等差数列的项数 =(末项–首项)÷公差 + 1
首项 = 末项–公差×(项数– 1)
末项 = 首项 + 公差×(项数– 1)
有了这些公式,很多数学问题解答起来就很方便了。
【例1】计算:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
分析在这个算式中,共有10个数,将和为11的两个数两两配对,可配成5对(如图)。
因此,求这10个数的和可以看成是求5个(1 + 10)的和。
〖即学即练1〗(1)计算:1 + 3 + 5 + … + 17 + 19
(2)求50以内所有偶数(包括50)的和。
【例2】建筑工地上堆着一些钢管(如左下图),这些钢管一共有多少根?
分析要求这些钢管有多少根,我们可以这样想:假设另外有同样多的钢管,像右上图那样与原来的钢管互相颠倒放置在一个槽内。
这个槽内的钢管共有8层,每层都有3 + 10 = 13(根),这样槽内的钢管总数就能求出。
取它的一半,可知原来钢管的总数。
〖即学即练2〗(1)下图是一垛电线杆的侧面示意图,试计算一下,图中共有多少根电线杆?
(2)有一堆按规律摆放的砖,从上往下数,第一层有1块砖,第2层有5块砖,第3层
有9块砖,……一共有9层。
这堆砖一共有多少块?
【例3】求首项为5,末项为155,公差是3的等差数列的和。
分析已知首项、末项和公差,要求等差数列的和,我们还需要知道项数才行。
项数=(末项–首项)÷公差+ 1。
〖即学即练3〗一个有17项的等差数列,末项为117,公差为7。
这个等差数列的和是多少?
【例4】下面一列数是按照一定规律排列的:3,7,11,15,…,95,99。
请问:
(1)这列数中的第20个是多少?
(2)39是这列数中的第几项?
分析(1)细心观察,这个数列是一个等差数列,第二个数比第一个数大4,第三个数比第一个数大2个4,第四个数比第一个数大3个4,……以此类推,第20个数比第一个数大(20–1)个4。
(2)同样的道理,39比3大多少个4,用这个数加1,就可以得到39是第几个数。
〖即学即练4〗(1)自1开始,每隔三个数数一次,得到数列1,4,7,10,……第100个数是多少?
(2)某饭店的餐桌都是能坐4人的正方形,如图①所示。
当团体客人在10人以上时,饭店允许客人将餐桌拼成一长条,如图②所示,但每张桌子不能有空位。
如果团体客人是22人,那么需要几张桌子?
【例5】计算:11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91
分析任意几个自然数的和都等于平均数乘个数,而本题是一个等差数列,并且等差数列的项数为奇数,因此它们的平均数就是中间数51。
〖即学即练5〗计算:11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
【例6】如图所示,用3根火柴摆成一个等边三角形,用这样的方法,按图中所示铺满一个大的等边三角形。
如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴,那么一共放多少根火柴? 分析观察可知:第一层为1个三角形,共用3根火柴;第二层摆了2个独立的三角形,共用6根火柴。
第三层摆了3个独立的三角形,共用9根火柴;……以此类推,当底边为10根火柴时,说明第10层共摆了10个独立的三角形,共用30根火柴。
〖即学即练6〗如图所示是一个五边形点阵,中心1个点为第一层,第二层每边2个点,第三层每边3个点,第四层每边4个点,……以此类推,如果这个五边形点阵共有100层,那么点阵中一共有多少个点?
能力检测
1.下面数列中,哪些是等差数列? 如果是,请指出公差;如果不是,请说明理由。
(1)7,11,15,19,23,…__________________________________ (2)8,7,6,5,4,3,2,1 __________________________________ (3)1,2,1,2,1,2,1,2,…__________________________________ (4)3,6,12,24,48,…__________________________________ (5)5,5,5,5,5,5,…__________________________________ 2.计算:1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
3.计算:(2 + 4 + 6 + … + 2006 + 2008)–(1 + 3 + 5 + … + 2005 + 2007)
4.有一个等差数列首项为5,末项为97,公差为4,则这个等差数列的和是多少?
5.如果一个等差数列第4项为21,第8项为45,则它的第10项是多少?
6.有一个正方形空心方阵,如图所示,则这个正方形方阵的第10层有多少个点?
7.在5和69之间插入8个数之后,使这些数成为一个等差数列,则这个等差数列的和是多少?
8.下面的算式是按一定规律排列的,那么第10个算式的结果是多少?
(2 + 3),(5 + 5),(8 + 7),(11 + 9),…
9.计算:1 + 2 + 3 + … + 11 + 12 + 11 + … + 3 + 2 + 1
10.有一个老式座钟在1时整响1下,2时整响2下,3时整响3下,……,12时整响12下,而每半点钟也响1下。
这个座钟一昼夜一共响多少下?
11.设自然数按下面的方式排列,则第20行的第一个数是几?
1 3 6 10 15 21 28 …
2 5 9 14 20 27 …
4 8 13 19 26 …
7 12 18 25 …
11 17 24 …
16 23 …
…
12.如下图,用同样大小的正三角形,向下逐次拼接出更大的正三角形。
其中正三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)从小到大依次为:3,6,10,15,21,…。
这列数中的第9位是多少?
13.自1开始,每隔两个数写出一个数来得到数列:1,4,7,10,13,…。
求出这个数列前100项之和。
14.5个连续自然数的和为225,求这5个数的第一个数是多少?
15.小巧读一本课外书,第一天读了15页,以后每天都比前一天多读3页,最后一天读了36页,刚好把书读完。
小巧一共读了多少天? 这本课外书共有多少页?。