条件概率

§1.4 条件概率及其应用一．条件概率的定义及计算1.定义 设B A ,为两事件，且0)(>B P ，则称)()()|(B P AB P B A P = 为在事件B 发生下A 的条件概率.2.条件概率的计算: (1) 在缩减的样本空间中计算; (2)利用定义.例 将一骰子掷两次, 已知两次的点数之和为6,求第一次的点数大于第二次点数的概率. 解:设事件=A “两次的点数之和为6”, 事件=B “第一次的点数大于第二次点数2” 方法一(在缩减的样本空间中计算).在事件A 发生的条件下,样本空间缩减为)}3,3(),2,4(),4,2(),1,5(),5,1{(=ΩA在此样本空间中考虑,事件B 包含2个样本点,所以52)|(=A B P . 方法二.365)(=A P , 362)(=AB P ,所以 5236/536/2)|(==A B P . 例 对于寿险产品设计而言,需关注不同年龄的人能继续存活若干年的概率.假设根据经验或某种寿命分布理论,人的寿命超过60岁的概率为0.9, 超过70岁的概率为0.8.求60岁的人能继续存活10年的概率.3.定理 设),,(P F Ω为概率空间,F A ∈,且0)(>A P ,则)|(A P ⋅是F 上的概率,即满足概率的公理化定义的三条公理:（1）F B A B P ∈∀≥ ,0)|(；（2）1)|(=ΩA P ；（3）若F A A A n ∈ ,,,,21，且j i A A j i ≠φ=,，则)|()|(11A A P A A P n n n n ∑∞=∞==由此可知，条件概率也具有概率的所有性质，比如)|(1)|(A B P A B P -=)|()|()|()|(212121A B B P A B P A B P A B B P -+=思考：1．考虑恰有2个小孩的家庭，从这样的家庭中任选一家，已知这个家有男孩，那么这家两个小孩都是男孩的概率是多少？2．随机地遇到一男孩，并发现他属于两个孩子的家庭，那么他家的另一个小孩也是男孩的概率是多少？3．有3张完全相同的卡片，第一张卡片两面全涂成红色，第二张卡片两面全涂成黑色，第三张卡片一面涂成红色一面涂成黑色.现从3张卡片中随机取1张并放在桌面上,如果朝上的一面是红色,那么另一面是黑色的概率有多大?4.（领奖问题）某人参加了有奖竞答活动,他全过关了,现到领奖阶段,领奖规则是:有三个房间,其中一个房间里放有奖品,而另外二个房间没有奖品,全过关的选手任选一个房间,若房间里有奖品则他获得此奖品,否则没有奖品.现此人选了一房间,在他还没有打开房门时主持人打开了另外二个房门中的一个,结果没有奖品,这时该选手还有重新选择的机会,你认为应该坚持原来的选择还是换一个选择或两者皆可?二.条件概率的应用这里主要介绍涉及条件概率的三个公式: (1)乘法公式;(2)全概率公式;(3)贝叶斯公式.1. 乘法公式由条件概率的定义易知)|()()(A B P A P AB P =上面公式只是条件概率定义的平凡变形,但在具体的概率计算问题中如果)|()(A B P A P ，都可方便地算出,那么利用上式就可方便地算出)(AB P .上面公式可推广至多个事件的情形)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P为保证上面公式中涉及到的条件概率有意义,需要前提:0)(121>-n A A A P .上面公式称为乘法公式.例 一个袋有7个球,其中5个红球,2个白球.从中依次取3次球,每次取一个,取后不放回.试求事件=A “前2次取到红球,最后1次取到白球”的概率。

这个问题可推广至Polya 罐子模型.例(Polya 罐子模型) 设一罐子有b 个黑球,r 个红球,每次随机地取一个球,取出的球放回罐子中,还加进c 个同色球和d 个异色球.记i B 为事件“第i 次取出的球是黑球”, j R 为事件“第j 次取出的球是红球”,求)(321R R R P ,)(321R B R P ,)(321B R B P .Polya 罐子模型包含有多种模型.(1) 如0,1=-=d c ,则为不放回抽样模型;(2) 如0,0==d c ,则为放回抽样模型;(3) 如0,0=>d c ,则称为传染病模型;(4) 如0,0>=d c ,则称为安全生产模型.例 甲袋子里有n 个红球,乙袋子里有n 个黑球,按以下方式操作:从甲袋中随意地取走一个球,然后从乙袋中取出一球放入甲袋中(如果乙袋中还有球的话).一直如此操作直至n 2个球全被取走,求最后取走的是红球的概率,如n 很大,这个概率近似值是多少?解:设想甲袋中的n 个红球分别编号n ，2,1.记=i A “最后取走的是i 号红球”,n i ,,2,1 =,则n A A ,,1 两两互不相容,由对称性知)()()(21n A P A P A P === .又记=A “最后取走的是红球”,则i n i A U A 1==,从而)()()()()(121A nP A P A P A P A P n =+++= ,下面来求)(1A P .设i N 表示事件“在甲袋中的第i 次取球没有取走1号红球”，n i ,,2,1 =，那么 1211A N N N A n =，并且n n n N P 111)(1-=-=，n N N P 11)|(12-=，…，nN N N P n n 11)|(11-=- ， n N N A P n 1)|(11= . 由乘法公式知)|()|()|()()(11111211n n n N N A P N N N P N N P N P A P -= nn n 1)11(-= 从而得 n nA nP A P )11()()(1-== 易见, n 很大时,这个概率近似值为1)(-≈e A P .思考:在配对问题中,恰有k 个配对的概率是多少?2. 全概率公式定义 设n A A A ,,,21 为n 个事件,若满足(1)j i A A j i ≠φ=,;(2)Ω==i n i A 1 ,则称n A A A ,,,21 为样本空间Ω的一个分割.易见对任一事件A ,A 与A 构成一个分割.思考:一个分割n A A A ,,,21 ,用概率的语言该怎么说?定理(全概率公式) 设n A A A ,,,21 为样本空间Ω的一个分割,且n i A P i ,,2,1,0)( =>,则对于任一事件B ,有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(.上面公式叫作全概率公式,该公式表示事件B 的概率等于诸条件概率)|(i A B P 的加权平均,权重为)(i A P .另外也能看出:若n A A A ,,,21 两两互不相容且i ni A B 1=⊂U (可以不要求Ω==i ni A 1U )时,则全概率公式亦成立. 例 续抽签与顺序无关问题例 续Polya 罐子模型,求第2次取到红球的概率.例 保险公司认为某险种的投保人可分为两类:一类为易出事故者,另一类为安全者.统计表明:一个易出事故者在一年内发生事故的概率为4.0,而安全者为1.0.假定第一类人占此险种投保人的%20.现有一个新投保人,问该投保人在一年内将出事故的概率.解:记=A “投保人为易出事故者”, =B “投保人第一年出事故”,则有2.0)(=A P , 8.0)(=A P ,4.0)|(=A B P ,1.0)|(=A B P由全概率公式得 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=16.01.08.04.02.0=⨯+⨯=下面介绍全概率公式的一个应用:敏感性问题调查方案的设计.敏感性问题的调查是社会调查的一类,如一群人中有赌博习惯的比例,吸毒人的比例,偷税漏税的比例等等.这类调查如直接调查,被调查者很少会如实地回答问题,因比需设计调查方案以使被调查者愿意如实地回答问题.下面介绍两种调查方案.沃纳模型（Warner model ）沃纳模型是沃纳1965年提出的,它的提出开创了随机化回答的先河.其设计原则是这样的:根据敏感性特征设计两个相互对立的问题,比如,问题A:你是否吸毒过? 问题B:你是否没吸毒过? 再让被调查者按预定的概率从中任选一个问题回答,比如被调查者先从一袋中任取一球如取到红球则回答问题A,否则回答问题B.调查者无权过问被调查者究竟回答的是哪个问题,比如被调查者独自一人在一房间里操作和回答问题,并且只需在答卷上的“是”和“否”中选其一打钩,然后把答卷放入一密封的投票箱内.假设调查了n 个人即有n 张答卷,其中有k 张回答“是”,袋中的红球所占比例为%100α.如何估计人群中吸过毒的人的比例呢?记事件=A “被调查者回答的问题是A 问题”, =B “被调查者的答案是“是””,假设人群中吸过毒的人的比例为%100p ,p 是未知的,我们需估计p .那么有α=)(A P ,p A B P =)|(,p A B P -=1)|(由全概率公式得)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(1(p p -α-+α= ①从而可得 12)1()(-αα--=B P p 由调查结果可得)(B P 的估计值为n k B P=)(ˆ,因此可得p 的估计值为 12)1(ˆ-αα--=n k p Simmons 模型是1967年由Simmons 提出的,其设计思想仍是基于沃纳的随机化回答思想,只是在设计中,用与问题A 毫无关联的另一个问题代替与A 对立的问题（要求在人群中对此问题的答案为“是”的比例是已知的）,比如在上面的问题中把问题B:“你是否没吸毒过?”改为“你的生日是否在7月1日之前?”，那么5.0)|(=A B P ，①式变为 )(B P )1(5.0α-+α=pp 的估计值为 αα--=)1(5.0ˆn k p 下面介绍全概率公式在遗学中的应用，下面问题作为思考题留给同学们去解决。

对于三种基因型式：AA,Aa,aa,假定亲本总体中的比例为w v u :2:(12,0,0,0=++>>>w v u w v u ),且数量很多,而参与交配的亲本是该总体中随机的两个(比如,菜园中的豌豆是经过充分混和的),对于子一代,这三种基因型式的比例会如何呢?子二代又会如何呢?3. 贝叶斯公式定理 设n A A A ,,,21 为样本空间Ω的一个分割,且n i A P i ,,2,1,0)( =>,B 为一事件,且0)(>B P ,则∑==n j jj i i i A B P A P A B P A P B A P 1)|()()|()()|(.以上公式叫做贝叶斯公式,是概率论中的一个著名的公式.从形式推导来看很平凡,它不过是条件概率的定义和全概率公式的简单推论.之所以著名,是具有哲理意义上的解释:)(1A P , ),(2A P , )(n A P 是在没有进一步的信息 (不知B 是否发生) 情况下,人们对诸事件n A A A ,,,21 的认识。