电路分析 第四版第7章 一阶电路

第7章 一阶电路
例1 如图1（a ）所示电路，当t<0时开关S 是断开的,电路已处于稳态;当
t=0时开关S 闭合。

求t ≥0时的电流i （t ）。

[分析]
开关S 闭合后，电路变为两个一阶电路，先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流1i (t)和2i (t)，然后利用KCL 求得12i(t)=i (t)+i (t)。

[解答]
首先根据开关S 闭合前的电路求出c (0-)u 和L i (0-)。

当t=0-时开关S 断开，电路为直流稳态，此时电容开路，电感短路。

L 1212i (0-)=4(A )
21
3=
=+
c L (0-)1i (0-)=4(V)u =⨯
由换路定理有c +c (0)(0-)=4(V)u u = L +i (0)(0-)=4(V)L i = 换路后分解为两个一阶电路，计算两个一阶电路的时常数分别为
212()c c
C s R τ
==⨯=
21()221
22
c
l
L s R τ
==
=⨯++
画出换路后0+的等效电路如图1（b ）所示，可得
1
(0)2A i += 2
(0)1A i
+=
电路达稳态时，电容开路，电感短路，可得
1
()0i ∞= 2
()1.5A i
∞=
（b ）
图1
利用三要素公式得 0
.5
1
2()t A e i
-=
2()(1.50.5)()t
t A i e
-=- 0t ≥
所以 0.5
12()()()(2 1.50.5)t t
t t t i i i e
e --=+=+-（A ）
0t ≥
本题中以()t i 作未知量所列方程是一个二阶微分方程，所以不能对()t i 直接利用三要素公式求解。

若能将电路分解为一阶电路，即可使用三要素法。

例2如图2（a ）所示电路，C=1F ，以()u t 为输出。

（1） 求阶跃响应。

（2） 若输入信号()s t u 如图2（b ）所示，求()c t u 的零状态响应。

[分析]
阶跃响应是将输入看做在0t +=时刻接入的直流单位电源的零状态响应。

求解一
阶电路阶跃响应仍可用三要素公式。

当输出为图2（b ）所示矩形信号时，可将其用阶跃函数表示，然后利用线性时不变特征求出相应的零状态响应。

（1） 用三要素法求解一阶电路的阶跃响应。

由于初始状态为零，故(0)0c u +=。

电路达直流稳态时，电容开路，所以有
212
62()1()36
3
c R V R R u ∞=
⨯=
=
++
时间常数 1212
36
2()36
R R C s R R τ⨯===++
故 2()()(1
0.5)()(
)
3
t
c
g t t t V u
e ε-=
=
- 由图6.2（b ）所示可将输入信号用阶跃函数表示，即
()3[(1)(3)]()s
t t t V u
εε=---
利用电路的线性时不变特征，得()c t u 的零状态响应
()3[(1)(3)]c
t g t g t u
=---
=0.5(1)
0.5(3)
{2[1](1)2[1](3)}()t t t t V e
e
εε---------
对线性时不变电路，其零状态响应满足线性性质和时不变特性。

零状态线性是指零状态响应与激励呈线性关系。

时不变特性是指若输入延迟0t ，则其零状态响应也相应延迟0t 。

例3在图3（a ）所示电路中开关SW 闭合前电路已处于稳态，在t=0时刻SW
闭合，试用时域分析法求t ≥0时的响应()u t ，并指出其中的零输入响应分量和零状态响应分量。

（华南理工大学2000年考研题） [分析]
此题是典型的一阶电路，可用三要素法求解。

要求熟悉求解步骤，同时对零输入
响应和零状态响应的概念。

此题对考生的综合分析能力有一定要求。

[解答] （1）
计算初值
SW 闭合前，即t=0-时，由电路知图3（a ）得(0)0i -=，(0)6c V u -= 换路定理：(0)(0)6c c V u u +-==
t +
=时的电路如图3（b ）所示，有(0)(110.5)2(0)66u i ++++=++
(0)2(0)u i ++= 得(0)8u V
+=
（2）
计算终值
t =∞
时由电路（a ）知：()0c i ∞= ()2()
u i ∞=∞ ()6[()2()]u i i ∞=-∞-∞ 得()12u V
∞=
（3） 求时间常数
_
+
U(t)
从电容两端看进去，当电压源短路时，等效电路如图3（c ）所示，有受控源可在端口加电压1()t u ，求出相应电流1()t i ，得113u i = 则等效电阻为3Ω：3RC s τ==
（4） 代入三要素法公式，求得全响应为
3
()()[(0)()]127.2t
t u t u u u e
e
τ
--
+=∞+-∞=+ 0t >
零输入响应分量为 3
4.8()t V e
-
0t >
零状态响应分量为 3
1212.()
t V e -- 0t >。