中国石油大学 华东 大学物理课后习题答案

轴正向）．试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的
运动性质．
[解] （1） 质点的加速度 a d v /dt 4t
又 v d x /dt
所以 d x v d t
对上式两边积分，并考虑到初始条件得
x
t
t
d x v d t 8 2t 2 d t
[解] 物体在 A 点的速度设为 vA ，法向加速度为 anA ，曲率
半径为 A ，由题图显然有
vA v0 cos
anA =g
联立上述三式得
vA2 A
anA
A
v02
cos2 g
（1） （2）
（1） （2） （3）
物体在 B 点的速度设为 vB ，法向加速度为 anB ，曲率半径为 B ，由题图显然有 vB v0
y2
y
2 0
故速度 v 与 y 的函数关系为
v2 v02 k y02 y2
1-12 一艘正以速率 v0 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与
速度的平方成正比，即 a kv2 ， k 为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了 x 距离时 速度的大小．
[解] 根据链式法则
（1）
y r sin t
（2）
z ct
（3）
由（1）、（2）消去参数 t 得
x2 y2 r2
此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圆，即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动． 综上可知，质点绕 z 轴作螺旋线运动． （2） 由式（1）、（2）、（3）两边对时间 t 求导数可得质点的速度
（1）
y t 12
（2）
消去参数 t，可得质点的轨迹方程
2
y x 1
（2） 由（1）、（2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度
vx
dx dt
2t
vy
dy dt
2t
1
所以
v vx i vy j 2ti 2t 1 j
（3）
ax
d2 x dt2
2
ay
d2 y dt2
[解] （1） 由 a d v 得 dt
dv dt g Bv
两边分别积分，得
v d v
t
dt
0 g Bv 0
7-3
所以，物体的速率随时间变化的关系为：
v g 1 eBt B （2） 当 a 0 时 有 a g Bv 0 （或以 t 代入）
由此得收尾速率
v g B
1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速 a ky ，k 为常数，y 是离开平衡
a d2r / dt 2 2 j
将 t 2s 代入上两式，得
v 2i 4 j
a 2 j
1-7 已知质点的运动学方程为 x r cost ，y r sin t ，z ct ，其中 r、 、c 均为常量．试
求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式．
[解] （1） 质点的运动方程 x r c o s t
arctanvy arctan4 5308
vx
3
由式（2）得粒子在 x 2 m 处的加速度为 3
a 2 32 18m s2
加速度方向沿 y 轴的正方向．
1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为 ，初速度为 v0 ，轨迹
为一抛物线（如图所示）．试分别求抛物线顶点 A 及下落点 B 处的曲率半径．
1-9 一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a 2 6x ．物体在 x 0 处的速度为 10m s ，求物体的速度与位置的关系．
[解] 根据链式法则
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
v d v a d x 2 6xd x
对上式两边积分并考虑到初始条件，得
有
t 0.55s
（1） （2）
1-19 河宽为 d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成
正比地增大，到中流处为 v0 ．某人以相对水流不变的速率 v 垂直水流方向驶船渡河，求船
在达到中流之前的轨迹方程． [解] 取图示坐标系
vx ky
已知 代入上式得
y
d 2
时， vx
vx
dx dt
r sin t
vy
dy dt
r cost
vz
dz dt
c
所以
v vx i vy j vzk r sin ti r costj ck
由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度
ax
d2x dt 2
r 2
cost
ay
d2 y dt 2
r 2
si
nt
az 0
v
vdv
x2 6xd x
10
0
故物体的速度与位置的关系为
v 6x2 4x 100 m s
1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为 a g Bv ，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设 t 0 时物体的初速度为零．（1）试求物体的 速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大?
1-17 火车在曲率半径 R＝400m 的圆弧轨道上行驶．已知火车的切向加速度 at 0.2 m s2 ，
求火车的瞬时速率为10m s 时的法向加速度和加速度．
[解] 火车的法向加速度
an
v2
R
102 0.25m
400
s2
方向指向曲率中心
火车的总加速度
a
an2
a
2 t
0.252 0.22 0.32m s2
an 14.4 24 2.3 102 m/s2 at 2.4 2 4.8m/s2
（2）质点的总加速度
a an2 at2 2.4t 36t 6 1
由
at
1 2
a
得
解得
所以
2.4t 0.5 2.4t 36t 6 1
t 0.66s 2 4t 3 3.15rad
（3）当 an at 即14.4t 4 2.4t 时
52
8
8
所以
x 8t 2 t 3 457.3
3
因而质点的运动学方程为 x 457.3 8t 2 t 3 3
（2） 将 t 0 代入速度表达式和运动学方程，得
v0 8 2 02 8m/s
x0
457.3 8 0
2 3
03
457.3m
（3） 质点沿 x 轴正方向作变加速直线运动，初速度为 8m/s，初位置为 457.3m.
7-2
所以
a ax i ay j azk r 2 costi r 2 sin tj
（3） 由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式
r xi yj zk r costi r sintj ctk
1-8 质点沿 x 轴运动，已知 v 8 2t 2 ，当 t 8 s 时，质点在原点左边 52m 处（向右为 x
y x2
7-4
对时间 t 求导数
vy
dy dt
2x
dx dt
2xvx
再对时间 t 求导数，并考虑到 vx 是恒量
a
d vy dt
2v
2 x
把 x 2 m 代入式（1）得 3
2 vy 2 3 3 4m s
所以，粒子在 x 2 m 处的速度为 3
与 x 轴正方向之间的夹角
v vx2 vx2 32 42 5 m s
位置的坐标值．设 y0 处物体的速度为 v0 ，试求速度 v 与 y 的函数关系．
[解] 根据链式法则 对上式两边积分
a dv dv d y v dv dt d y dt d y vdvad y
v
y
y
v d v a d y ky d y
v0
y0
y0
即
1
2
v2
v02
1k 2
dt
（1）
粒子的加速度
a dv 6t 1
dt
（2）
由式（1）可看出 当 t 3s 时， v 0 ，粒子沿 x 轴正向运动；
当 t 3s 时， v 0 ，粒子沿 x 轴负向运动．
由式（2）可看出 当 t 1s 时， a 0 ，粒子的加速度沿 x 轴正方向；
当 t 1s 时， a 0 ，粒子的加速度沿 x 轴负方向．
率半径为，则 g at an
由图知
at g sin 300 0.5g
an g cos300 3g / 2
又
v2
an
所以
v 2 v 2 2 3v 2 an 3g / 2 3g
1-16 在一个转动的齿轮上，一个齿尖 P 沿半径为 R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律
为
s
v0t
1 2
第一章习题解答
1-3 一粒子按规律 x t 3 3t 2 9t 5沿 x 轴运动，试分别求出该粒子沿 x 轴正向运动；沿
x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔．
[解] 由运动方程 x t 3 3t 2 9t 5可得
质点的速度
v d x 3t 2 6t 9 3t 3t 1
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
对上式两边积分
dx v dv a
x
vv
v dv
dx dv
0
v0 a
v0 kv
化简得 x 1 ln v k v0
所以
v v0ekx
l-13
一粒子沿抛物线轨道
y
x 2 运动，且知 vx
3m
s ．试求粒子在
x
2 3
m
处的速度和加
速度．
[解] 由粒子的轨道方程
bt2
，其中
v0
和
b
都是正常量．求
t
时刻齿尖
P
的速度及加速度的大小．
[解] 设时刻 t 齿尖 P 的速率为 v ，切向加速度 at ，法向加速度 an ，则
所以， t 时刻齿尖 P 的加速度为
ds v dt v0 bt
at
dv dt
b
an
v2 R
(v0
bt)Байду номын сангаас R
a
a
2 t
an2
b2 (v0 bt)4 R2
v0
k 2v0 d
7-7
所以 又
积分得 代入（1）式得
积分得 由（2）、（3）消去 t 得
vx
2v0 d
y
vy v
y vt
vx
2v0 d
vt
x v0 vt 2 d
x v0 y2 vd
第二章习题解答
（1） （2） （3）
2-3 质量为 m 的子弹以速率 v0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度
2
所以
a 2i 2 j
把 t 2s 代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度．
v 4i 2 j
a 2i 2 j
（4）
1-5 质点的运动学方程为 x Asin t ， y B cost ，其中 A、B、 为正常数，质点的轨
道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心．
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当 t 3s 或
0 t 1s间隔内粒子加速运动，在1s t 3s 间隔内里粒子减速运动．
1-4 一质点的运动学方程为 x t 2 ， y t 12 （S1）．试求： （1）质点的轨迹方程;（2）
在 t 2 s 时，质点的速度和加速度． [解] （1） 由质点的运动方程 x t 2
1-6 质点的运动学方程为 r 2ti 2 t2 j （SI），试求：（1）质点的轨道方程；（2） t 2s
时质点的速度和加速度． [解] （1） 由质点的运动方程，可得
x 2t
y 2t2
消去参数 t，可得轨道方程
y 2 1 x2 4
（2） 由速度、加速度定义式，有
v dr / dt 2i 2tj
[证明] 由质点的运动方程 x As i nt y B cost
（1） （2）
对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度
ax
d2 x dt2
A 2
sin t
ay
d2 y dt2
B 2
c
o
s t
7-1
所以加速度矢量为 a 2 Asin ti B costj 2r
可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心．
anB g cos
（4） （5）
7-5
联立上述三式得
v
2 B
B
anB
B
g
v02 cos
（6）
1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点 A 处，速度的大小为 v，其方向与水平 线的夹角为 300 ，求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径．
[解] 设 A 点处物体的切向加速度为 at ，法向加速度为 an ，曲
7-6
设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为 ，则
arctanan arctan0.25 51.340 51020
at
0.2
1-18 一质点沿半径为 0.10m的圆周运动，其角位置 2 4t 3 ．（1）在 t 2s 时，它的法 向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时， 值
为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等?
[解] 质点的角速度
d 12t 2 dt
质点的线速度
v R 0.1012t 2 1.2t 2
质点的法向加速度 an ，切向加速度 at 为
an 2 R 12t 2 2 0.10 14.4t 4
at
dv dt
2.4t
（1）把 t 2s 代入（1）式和（2）式，得此时