高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养评价含解析第三册

单位圆与三角函数线
(20分钟35分）
1。

如图，点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()
A. B.
C。

D.
【解析】选A。

点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=-,
所以Q,
即Q点坐标为。

【补偿训练】
已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P，则cos α=()
A。

— B.C。

D。

—
【解析】选A.由题意知,
解得m=-，所以cos α=—。

2。

如果〈α<,那么下列不等式成立的是（）
A.cos α<sin α〈tan α
B.tan α〈sin α<cos α
C.sin α〈cos α<tan α
D。

cos α〈tan α〈sin α
【解析】选A.方法一：（特值法)令α=,
则cos α=，tan α=，sin α=,
故cos α<sin α〈tan α。

方法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α。

3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（)
A.
B.
C。

D。

【解析】选A.如图所示,
当x=和x=—时,sin x=cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是。

4。

有三个命题：①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.
其中真命题的个数为(）
A。

1 B.2 C。

3 D。

0
【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反。

5。

比较大小:tan 1tan 。

(填“>"或“〈"）
【解析】因为1〈,且都在第一象限，由它们的正切线知tan 1
〈tan .
答案:〈
6.作出-的正弦线、余弦线和正切线。

【解析】如图所示,
所以角-的正弦线为，余弦线为，正切线为。

（30分钟60分）
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(—3a，4a)，那么sin α+2cos α的值等于（）
A。

B.-C。

D。

—
【解析】选A.因为点P在单位圆上,则|OP|=1。

即=1，解得a=±。

因为a〈0,所以a=-.
所以P点的坐标为.
所以sin α=-，cos α=.
所以sin α+2cos α=—+2×=。

2.下列各式正确的是(）
A。

sin 1>sin B.sin 1<sin
C。

sin 1=sin D.sin 1≥sin
【解析】选B.1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，
则sin 1<sin .
3.在内,使sin x〉cos x成立的x的取值范围为（）A.
B.
C.∪
D。

∪
【解析】选B.在内，画出sin x与cos x对应的三角函数线是，，
如图：
满足在内，使sin x>cos x即MT>OM，
所以所求x的范围是：。

【补偿训练】
若点P在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是(）
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【解析】选A.点P在第一象限⇒
⇒如图所示,
在内α的取值范围是∪。

4。

已知sin α〉sin β，那么下列命题成立的是()
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B。

若α,β是第二象限角,则tan α〉tan β
C.若α,β是第三象限角，则cos α〉cos β
D。

若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
【解析】选D.如图（1),α，β的终边分别为OP，OQ,sin α=MP〉NQ=sin β,
此时OM〈ON,所以cos α〈cos β,故A错；
如图(2)，OP，OQ分别为角α，β的终边，MP〉NQ，
所以AC<AB，即tan α〈tan β,故B错;
如图(3）,角α，β的终边分别为OP,OQ,MP>NQ,
即sin α>sin β，所以ON〉OM,即cos β〉cos α,故C错.
二、多选题（每小题5分,共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5。

下列说法正确的是（）
A。

当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点
B.当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在
C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D.余弦线和正切线的始点都是原点
【解析】选ABC.根据三角函数线的概念，A,B，C是正确的，只有D不正确。

因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上。

6.在平面直角坐标系中，,，,是圆x2+y2=1上的四段弧（如图）,点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<cos α〈sin α，则P所在的圆弧不可能是（）
A. B.C。

D.
【解析】选ABD.由图可得：为余弦线,为正弦线,为正切线.
A选项：当点P在上时，cos α=x，sin α=y，
所以cos α〉sin α,故A选项错误,符合题意；
B选项:当点P在上时，cos α=x,sin α=y,tan α=,所以tan α>
sin α〉cos α,故B选项错误,符合题意；C选项:当点P在上时,
cos α=x,sin α=y,tan α=,
所以sin α>cos α>tan α，故C选项正确,不符合题意;
D选项:点P在上且在第三象限,tan α〉0,sin α<0,cos α<0，故D选项错误，符合题意。

【光速解题】第一象限角的正切值恒大于该角的正弦值，第三象限角的正切值恒大于该角的正弦值,故不可能在第一和第三象限.
三、填空题（每小题5分,共10分)
7.已知点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3）,则sin 3—cos 30(填“>”“<”或“=”)，点P（sin 3-cos 3，sin 3+cos 3）所在的象限为第象限.
【解析】因为π<3<π，作出单位圆如图所示。

正弦线是,余弦线是,
考虑方向,所以sin 3—cos 3>0。

因为｜|<｜|即|sin 3|〈｜cos 3|,
所以sin 3+cos 3〈0.
故点P(sin 3—cos 3,sin 3+cos 3）在第四象限.
答案：〉四
8.sin ,cos ，tan 从小到大的顺序是。

【解析】由图可知:cos 〈0，tan >0,sin >0。

因为｜｜〈|｜，所以sin 〈tan .
故cos 〈sin <tan .
答案:cos <sin 〈tan
四、解答题（每小题10分,共20分)
9。

利用三角函数线,确定满足不等式—≤cos θ〈的θ的取值范围。

【解析】作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线x=—，x=，直线x=-与单位圆交于点P1,P2与x轴交于点M1，直线x=
与单位圆交于点P3，P4，与x轴交于点M2,连接OP1,OP2,OP3，OP4.在范围内，cos=cos=-，cos=cos=,则点P1，P2,P3，P4分别在角，-,，—的终边上。

又—≤cos θ<，结合图形可知,当θ∈时,
-≤θ<—或<θ≤，故θ的取值范围为2kπ—≤θ<2kπ—,k∈Z或
2kπ+〈θ≤2kπ+，k∈Z.
10。

利用三角函数线证明:若0〈α<β〈，则β—α〉sin β-sin α.【证明】如图所示,
单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β,α的终边分别交于点P，Q，过P,Q分别作OA的垂线,垂足分别是M,N，则sin α=NQ，sin β=MP.过点Q作QH⊥MP于H，则HP=MP—NQ=sin β—sin α.连接PQ,由图可知HP<=-=β—α,即β—α>sin β-sin α。

1。

利用正弦线求得sin α的最大值为，此时α的集合为。

【解析】如图,α的终边与单位圆交于点P,PM⊥x轴于M，则是
正弦线，由于M始终在x轴上,P点始终在单位圆上,当M与原点O重合时，的长度最大为1,此时P点在y轴正半轴上时，所以sin α的最大值为1，此时α终边与y轴正方向重合,α=2k π+,k∈Z.
答案:1
2.利用余弦线，研究余弦函数y=cos x的单调性、最大值和最小值,并分别求出函数取得最大值和最小值时x的值.
【解析】如图，在直角坐标系中，角x的顶点与原点重合，始边与横轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P.过点P作横轴的垂线,交横轴于点M,则余弦线为。

当角x的终边绕原点从横轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时,余弦线按照1→0→-1→0→1…的规律周而复始地变化着.由余弦线可以看出,余弦函数y=cos x在上，从1减少到-1，是减函数；
在区间上，从-1增大到1,是增函数.
所以,余弦函数y=cos x在区间[2kπ,2kπ+π］(k∈Z)
上递减,在区间上递增.当且仅当x=2kπ时,y max=1；
当且仅当x=π+2kπ时,y min=-1。