8.4 直线、平面平行的判定与性质

当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点， 故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件； 当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交， ∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件.
3.(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平 面β内且过B点的所有直线中 答案 解析 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线
A中，a可以在过b的平面内； B中，a与α内的直线可能异面； C中，两平面可相交； D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.
2.设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”
的 答案 解析
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面.
2 别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
(1)求证：AP∥平面BEF； 证明
(2)求证：GH∥平面PAD. 证明
连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
4.(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1 的 中 点 ， 则 BD1 与 平 面 AEC 的 位 置 关 系 为 __平__行____. 答案 解析
连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO， 在△BDD1中，O为BD的中点， 所以EO为△BDD1的中位线， 则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE， 所以BD1∥平面ACE.
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异 面.( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
考点自测
1.(教材改编)下列命题中正确的是 答案 解析 A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
命题点2 直线与平面平行的性质 例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边 长为8的正方形，四条侧棱长均为2 17.点G，E，F，H分 别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平 面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF； 证明源自文库因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
图形语言
符号语言
∵ a∥β ， b∥β ， a∩b＝P ， a⊂α ，
b⊂α ，∴α∥β
如果两个平行平面 同时和第三个平面 性质定理 相交 ，那么它们 的 交线 平行
∵ α∥β ，α∩γ＝a ， β∩γ＝b ，∴a∥b
知识拓展
重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
5.过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有__6__条. 答案 解析
各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1 平行，在四边形EFGH中有6条符合题意.
题型分类 深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定 例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝1AD，E，F，H分
跟踪训练1 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行， E ， F ， G ， H 分 别 在 BD ， BC ， AC ， AD 上 ， 且 CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形. 证明
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E， F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点， 求证：(1)B，C，H，G四点共面； 证明
性质定理
一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面 与此平面的 交线与该直线 平行(简记为“线面平行⇒ 线线平行”)
∵ l∥α ， l⊂β ，
α∩β＝b， ∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言
一个平面内的两条 相交直线 与另一个 平面平行，则这两 判定定理 个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面 平行”)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平 面.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直 线.( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平 行.( × )
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积. 解答
思维升华
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
§8.4 直线、平面平行的判定与性质
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言
平面外一条直线与 此平面内 的一条直线平行，则该直线与 判定定理 此平面平行(简记为“线线平行 ⇒线面平行”)
图形语言
符号语言
∵ l∥a ， a⊂α ， l⊄α ， ∴ l∥α