8.4 直线、平面平行的判定与性质
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当平面与平面平行时,两个平面内的直线没有交点, 故“l∩m=∅”是“α∥β”的必要条件; 当两个平面内的直线没有交点时,两个平面可以相交, ∴l∩m=∅是α∥β的必要不充分条件.
3.(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平 面β内且过B点的所有直线中 答案 解析 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线
A中,a可以在过b的平面内; B中,a与α内的直线可能异面; C中,两平面可相交; D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.
2.设l,m为直线,α,β为平面,且l⊂α,m⊂β,则“l∩m=∅”是“α∥β”
的 答案 解析
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点, ∴GH是△A1B1C1的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四点共面.
2 别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:AP∥平面BEF; 证明
(2)求证:GH∥平面PAD. 证明
连接FH,OH, ∵F,H分别是PC,CD的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中点,H是CD的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.
4.(教材改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为 DD1 的 中 点 , 则 BD1 与 平 面 AEC 的 位 置 关 系 为 __平__行____. 答案 解析
连接BD,设BD∩AC=O,连接EO, 在△BDD1中,O为BD的中点, 所以EO为△BDD1的中位线, 则BD1∥EO,而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE, 所以BD1∥平面ACE.
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异 面.( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( × ) (6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( × )
考点自测
1.(教材改编)下列命题中正确的是 答案 解析 A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
命题点2 直线与平面平行的性质 例2 (2017·长沙调研)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边 长为8的正方形,四条侧棱长均为2 17.点G,E,F,H分 别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平 面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)证明:GH∥EF; 证明源自文库因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC, 且平面PBC∩平面GEFH=GH, 所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.
图形语言
符号语言
∵ a∥β , b∥β , a∩b=P , a⊂α ,
b⊂α ,∴α∥β
如果两个平行平面 同时和第三个平面 性质定理 相交 ,那么它们 的 交线 平行
∵ α∥β ,α∩γ=a , β∩γ=b ,∴a∥b
知识拓展
重要结论: (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b; (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
5.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1 平行的直线共有__6__条. 答案 解析
各中点连线如图,只有面EFGH与面ABB1A1 平行,在四边形EFGH中有6条符合题意.
题型分类 深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定 例1 如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=1AD,E,F,H分
跟踪训练1 如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行, E , F , G , H 分 别 在 BD , BC , AC , AD 上 , 且 CD⊥AB.求证:四边形EFGH是矩形. 证明
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E, F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点, 求证:(1)B,C,H,G四点共面; 证明
性质定理
一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面 与此平面的 交线与该直线 平行(简记为“线面平行⇒ 线线平行”)
∵ l∥α , l⊂β ,
α∩β=b, ∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言
一个平面内的两条 相交直线 与另一个 平面平行,则这两 判定定理 个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面 平行”)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平 面.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直 线.( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平 行.( × )
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积. 解答
思维升华
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
§8.4 直线、平面平行的判定与性质
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言
平面外一条直线与 此平面内 的一条直线平行,则该直线与 判定定理 此平面平行(简记为“线线平行 ⇒线面平行”)
图形语言
符号语言
∵ l∥a , a⊂α , l⊄α , ∴ l∥α