中考动点问题解析

中考动点问题解析
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。

射线或弧线上运动的一类开放性题目。

这类问题一般是中考这类问题一般是中考的重点和难点，由于综合性比较强，题目比较灵活，与其他知识点的关联性比较强，所以一般都是作为压轴题出现的。

所以一般都是作为压轴题出现的。

但是也并不是说这但是也并不是说这类题就放弃不做了，只要掌握这类题目的规律，有针对性的练习，也是可以解决的。

解决这类问题的关键是动中求静，解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学灵活运用有关数学知识解决问题。

解这类问题要综合运用到分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等。

大多题目涉及到二次函数、圆、三角形等重点知识，也很难将他们进行分类，这里也就不分了，但是在解题过程中尽量做到一题多解，侧重讲解题思路。

希望该资料对学生能有所启发。

1.1.（（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，
Rt Rt△△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（的坐标为（33，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA PA＋＋PC 的最小值为【
】
A ．132
B ．312
C C．．319
2+ D D．．27
【答案】【答案】B B
解析：此类题目结果是求两个线段的和的问题，此类题目结果是求两个线段的和的问题，一般的解题思路一般的解题思路是将两条线段变成一条线段，利用两点之间线段最短来解题。

来解题。

此题还涉及到一个重要的知识点：特殊三角形。

这个要熟记在心，主要是直角三角形：①有个角为3030°的直角三角形，三边的比为°的直角三角形，三边的比为1:3:2；②等腰直角三角形，三边的比为1:1:2；③等边三角形，三个角都是6060°。

本题中顶点°。

本题中顶点B 的坐标为（的坐标为（33，3），很容易想到Rt Rt△△OAB 是个特殊三角形。

是个特殊三角形。

解：如图，做点C 关于OB 的对称点'C ，交OB 于点D ，连接'AC ，交OB 于点P ，根据轴对称和两点之间线段最短可知，'AC 即为PA PA＋＋PC 的最小值。

（此后的计算跟动点就没关系了）
x
y
P
D C'
C B
A O
计算方法一：函数法计算方法一：函数法 A 点坐标为（点坐标为（3,03,03,0）），C 点坐标为（12
，0），C 和'C 关于OB 对称，∵B 点坐标为（点坐标为（33，3），∴直线OB 的方程为33
y x = 假设'C 的坐标为（的坐标为（x x ，y ），则D 点坐标为（122x +，2y ），
D 点在直线OB 上，∴可得方程①：2y =33×122
x + 'CC 与OB 垂直，∴可得方程②：311
3
2y x ´=-- 联立两个方程，可得14
34
x y ==ìïíïî （对称点常用的解法）
∴2213
31'(3)()442AC =-+=（两点之间距离公式） 计算方法二：几何法计算方法二：几何法
x
y
H P
D
C'
C
B
A O
过点'C 作'C H ⊥x 轴于点H ，
∵B 的坐标为（的坐标为（33，3），∴，∴tan tan tan∠∠AOB=33，∴∠，∴∠AOB=30AOB=30AOB=30°
° ∵C 的坐标为（12，0），∴，∴OC=OC=12，CD=1sin AOB 4
OC Ð= ∴1
'22CC CD ==
又∵'AOB CC H Ð=Ð=30=30°，∴°，∴3''cos 'H 4HC CC CC =Ð=
， 1'sin 'H 4HC CC CC =Ð=，∴，∴HA=HA=11424-+=114
∴22
A '=HA H 'C C +=2211331()()442+= 分析：分析：
关于函数法和几何法这两种方法，因人而异，但是最好都能掌握，函数法思路比较简单，但是计算量大；几何法需要作图，添加辅助线。

各有利弊。

各有利弊。

2.（2013年江苏连云港3分）点O 在直线AB 上，点A1A1，，A2A2，，A3A3，，……在射线OA 上，点B1B1，，B2B2，，B3B3，……在射线，……在射线OB 上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M 从O 点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O 为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度．按此规律，则动点M 到达A101点处所需时间为 ▲ 秒．▲ 秒．▲ 秒．
【答案】【答案】101+5050101+5050π
解析：解析：此题既是动点问题，同时也是归纳问题。

要用归纳法探索此题既是动点问题，同时也是归纳问题。

要用归纳法探索规律：规律：
A1 1
A2 1+1+π+2π=2+3π
A3 2+3π+1=3+3π
A4 3+3π+1+3π+4π=4+10π
A5 4+10π+1=5+10π
A6 5+10π+1+5π+6π=6+21π
一般的归纳法写3—4项就可以了，但是本题规律是有两个，奇数项遵循一个规律，偶数项遵循一个规律，所以就多写几项。

另外中间的计算过程尽量不要省略，不然不容易发现规律。

间的计算过程尽量不要省略，不然不容易发现规律。

本题中，本题中，偶数项到奇数项只需要偶数项到奇数项只需要偶数项到奇数项只需要+1+1+1，，所以主要规律在偶数项，所以主要规律在偶数项，注注意看偶数项：前面的数字等于偶数项的项数，后面π的系数等于从1到项数的和，如A2的π的系数是1+21+2；；A4的π的系数是1+2+3+41+2+3+4；；A6的π的系数是1+2+3+4+5+61+2+3+4+5+6；；
所以知道为何要把中间过程写出来了吧，如果只写3、1010、、21这个规律是不好找的。

这个规律是不好找的。

∴A100=100+A100=100+（（1+2+3+1+2+3+……+100+100））π=100+5050π
∴A101=101+5050π
分析：本题归纳法的运用中注意把中间计算过程写下来，本题归纳法的运用中注意把中间计算过程写下来，这样容这样容易发现规律。

易发现规律。

3.3.（（2013年江苏泰州3分）如图，⊙分）如图，⊙O O 的半径为4cm 4cm，直线，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，两点，AB=AB=43cm cm，，P 为直线l 上一动点，以1cm 为半径的⊙半径的⊙P P 与⊙与⊙O O 没有公共点．设PO=dcm PO=dcm，则，则d 的范围是的范围是 ▲ ▲ ．
【答案】【答案】2cm 2cm 2cm＜＜d ＜3cm 或d ＞5cm 5cm。

解析：碰到圆的相交时要注意分类讨论，就两种情况，边界值就
是内切和外切。

是内切和外切。

两圆从远到近移动时一般会经历一下几个阶段：相离——外切——相交——内切——内含等。

—相交——内切——内含等。

先看外切：先看外切：
∵⊙∵⊙O O 的半径为4cm 4cm，⊙，⊙，⊙P P 的半径为1cm 1cm，，
∴d ＞5cm 时，两圆外离。

时，两圆外离。

再看内切：再看内切：
OP=4-1=3cm
此题中还需注意一点，此题中还需注意一点，P P 为直线l 上一动点，∴上一动点，∴OP OP 有个最小值，此时OP OP⊥⊥AB AB，∵，∵，∵OA=4cm OA=4cm OA=4cm，，1
232
AP AB ==， l B
A P O
∴OP=2222
4(23)2OA AP -=-= （（△OAP 也是特殊三角形，熟
练了可以直接写出结果）
∴2cm 2cm＜＜d ＜3cm 或d ＞5cm
4.4.（（2012江苏无锡3分）如图，以M （﹣（﹣55，0）为圆心、）为圆心、44为半径的圆与x 轴交于A ．B 两点，两点，P P 是⊙是⊙M M 上异于A ．B 的一动点，直线PA PA．．PB 分别交y 轴于C ．D ，以CD 为直径的⊙为直径的⊙N N 与x 轴交于E 、F ，则
EF 的长【的长【 】】
A A．等于．等于4
B ．等于4
C ．等于6
D ．随P 点
【答案】【答案】C C 。

解析：本题看似很难，而且如果严格按照圆的动点问题去解题的话本题基本很难解。

但是如果对照着题目把图画一下，但是如果对照着题目把图画一下，你就会发现本你就会发现本题其实不难，因为基本都是圆里的特殊情况。

一是AB 是⊙是⊙M M 的直径，且AB 在x 轴上，这样∠轴上，这样∠APB APB 是直角，是直角，A A 、B 点坐标很容易求；二是CD 是⊙是⊙N N 的直径，且CD 在y 轴上，这样∠轴上，这样∠CPD CPD 是直角；最后还有一个特殊情况，本题是选择题，做选择题完全没必要按照大题的思路去做。

所以在此提供两种解法：所以在此提供两种解法：
解法1：
连接NE NE，设圆，设圆N 半径为r ，ON=x ON=x，则，则OD=r OD=r－－x ，OC=r+x OC=r+x，，
∵以M （－（－55，0）为圆心、）为圆心、44为半径的圆与x 轴交于A ．B 两点， ∴OA=4+5=9OA=4+5=9，，0B=50B=5－－4=14=1。

∵AB 是⊙是⊙M M 的直径，∴∠APB=90°。

的直径，∴∠APB=90°。

∵∠BOD=90°，∴∠∵∠BOD=90°，∴∠PAB+PAB+PAB+∠PBA=90°，∠∠PBA=90°，∠∠PBA=90°，∠ODB+ODB+ODB+∠OBD=90°。

∠OBD=90°。

∠OBD=90°。

∵∠∵∠PBA=PBA=PBA=∠∠OBD OBD，∴∠，∴∠，∴∠PAB=PAB=PAB=∠∠ODB ODB。

∵∠∵∠APB=APB=APB=∠BOD=90°，∴△∠BOD=90°，∴△∠BOD=90°，∴△OBD OBD OBD∽△∽△∽△OCA OCA OCA。

∴OB OD OC OA =，即19
r x r x -=+，即22
9r x -=。

由垂径定理得：由垂径定理得：OE=OF OE=OF OE=OF，，
由勾股定理得：22222OE EN ON r x 9===﹣﹣ ∴OE=OF=3OE=OF=3，，
∴EF=2OE=6EF=2OE=6。

解法2：
本题是选择题，而且三个选项都是固定值，所以一般不会选D 。

既然是固定值，且P 是任意一点，那我可以选P 点坐标把值求出来就是了。

是了。

取P 点为（点为（-5,4-5,4-5,4）），∵，∵A A 点坐标为（点坐标为（-9,0-9,0-9,0））
，可得直线AP 的方程为9y x =+，C 点坐标为（点坐标为（0,90,90,9））
； 同理，∵同理，∵B B 点坐标为（点坐标为（-1,0-1,0-1,0））
，可得直线BP 的方程为1y x =--，D 点坐标为（点坐标为（00，-1-1））
； N 为DC 的中点，∴的中点，∴N N 点坐标为（点坐标为（0,40,40,4）），∴，∴NE=NC=5NE=NC=5NE=NC=5，，NO=4NO=4，根据，根据勾股定理，∴勾股定理，∴OE=3OE=3OE=3，，EF=2OE=6
故选C 。

分析：本题看似复杂，但是里面都是特殊情况，所以碰到题目不用怕，自己动手画画图就有思路了。

用怕，自己动手画画图就有思路了。

5. 5. （（2012江苏苏州3分）如图①，在梯形ABCD 中，中，AD AD AD∥∥BC BC，，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止已知△已知△PAD PAD 的面积S （单位：）与点P 移动的时间t （单位：（单位：s s ）的函数关系式如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了从开始移动到停止移动一共用了 ▲ 秒▲ 秒▲ 秒
（结果保留根号）（结果保留根号）. .
【答案】423+。

解析：由图②可知，解析：由图②可知，t t 在2到4秒时，△秒时，△PAD PAD 的面积不发生变化， ∴在AB 上运动的时间是2秒，在BC 上运动的时间是4－2=2秒。

∵动点P 的运动速度是1cm/s 1cm/s，∴，∴，∴AB=2AB=2AB=2，，BC=2BC=2。

过点B 作BE BE⊥⊥AD 于点E ，过点C 作CF CF⊥⊥AD 于点
F ，则四边形BCFE 是矩形。

∴是矩形。

∴BE=CF BE=CF BE=CF，，BC=EF=2BC=EF=2。

∵∠A=60°，∵∠A=60°，
∴3
sin 60232BE AB =°=´=，1
cos60212AE AB =°=´=。

∵由图②中△∵由图②中△ABD ABD 的面积为33，
∴1332AD BE ´´=，即13332
AD ´´=， 解得AD=6AD=6。

∴DF=AD DF=AD－－AE AE－－EF=6EF=6－－1－2=32=3。

在Rt Rt△△CDF 中，2222
(3)323
CD CF DF =+=+=，
∴动点P 运动的总路程为AB AB＋＋BC BC＋＋CD=2223423++=+（cm cm））。

∵动点P 的运动速度是1cm/s 1cm/s，，
∴点P 从开始移动到停止移动一共用了（423+）÷1=423+s 。

评析：评析：本题看似动点，其实还是直角三角形，只是换了一种表述本题看似动点，其实还是直角三角形，只是换了一种表述方法而已。

方法而已。

6．（8分）（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD 中，中，AB AB AB∥∥DC DC，，∠ABC=90°，∠ABC=90°，AB=8cm AB=8cm AB=8cm．．BC=4cm BC=4cm，，CD=5cm CD=5cm．动点．动点P 从点B 开始沿折线BC BC﹣﹣CD CD﹣﹣DA 以1cm/s 的速度运动到点A ．
设点P 运动的时间为t （s ），△PAB 面积为S （cm2cm2））
． （1）当t=2时，求S 的值；的值；
（2）当点P 在边DA 上运动时，求S 关于t 的函数表达式；的函数表达式；
（3）当S=12时，求t 的值．的值．
解析：本题与2012年苏州真题高度相似，只是苏州的是填空题，宿迁的是大题，所以中考题也是互相模仿的。

命题老师也没办法，知识点就那么多，又不敢超范围出题。

识点就那么多，又不敢超范围出题。

解：（1）∵动点P 以1cm/s 的速度运动，的速度运动，
∴当t=2时，时，BP=2cm BP=2cm BP=2cm，，
∴S 的值的值==12AB•BP=1
2
×8×2=82
cm ；
（2）过D 作DH DH⊥⊥AB AB，过，过P'作P'M
⊥AB AB，，
H
M D
C
B
A
∴P'M ∥DH DH，，
∴△AP'M ∽△∽△ADH ADH ADH，∴，∴
AP'P'M
=AD DH
， ∵AB=8cm AB=8cm，，CD=5cm CD=5cm，∴，∴，∴AH=AB AH=AB AH=AB－－DC=3cm DC=3cm，， ∵BC=4cm BC=4cm，∴，∴，∴AD=AD==5cm =5cm，，
∴14t
P'M
=54－，∴4t P'M=
5
（14-），
∴116(14t)S=AB P'M=25
－， 即S 关于t 的函数表达式16(14t)
S=
5
－； （3）由题意可知当P 在CD 上运动时，上运动时，S=S=1
2×8×4=162
cm ， 所以当t=12时，时，P P 在BC 或AD 上，上，
当P 在BC 上时，上时，12=12=12
×8•t，解得：×8•t，解得：t=3t=3t=3；；
当P 在AD 上时，上时，12=12=16(14t)5
－，解得：，解得：t=t=39
4．
∴当S=12时，时，t t 的值为3或394
．
点评：本题其实是点评：本题其实是2012年苏州真题的改变，所以一定要重视真
题，把题目简单变形就有可能成为今年的真题。

另外题目要彻底弄懂，不要小看填空题和选择题，这类题目也可以转变成大题来出。

不要小看填空题和选择题，这类题目也可以转变成大题来出。

7．（2014年江苏南京）如图，在Rt Rt△△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm AC=4cm，，BC=3cm BC=3cm，⊙，⊙，⊙O O 为△为△ABC ABC 的内切圆．的内切圆． （1）求⊙）求⊙O O 的半径；的半径；
（2）点P 从点B 沿边BA 向点A 以1cm/s 的速度匀速运动，以P 为圆心，心，PB PB 长为半径作圆，设点P 运动的时间为t s ，若⊙，若⊙P P 与⊙与⊙O O 相切，求t 的值．的值．
解：（1）解法一（适用于所有求内切圆半径）：
图1
如图1，设⊙，设⊙O O 与AB AB、、BC BC、、CA 的切点分别为D 、E 、F ，连接OD OD、、OE OE、、OF OF，连接，连接OA OA、、OB OB、、OC OC。

∵⊙∵⊙O O 为△为△ABC ABC 的内切圆，的内切圆， ∴OF OF⊥⊥AC AC，，OE OE⊥⊥BC BC，，OD OD⊥⊥AB
△ABC 可以分为三个三角形，即△可以分为三个三角形，即△OAB OAB OAB、△、△、△OAC OAC OAC、△、△、△OBC, OBC,
∴ABC OAB OAB OBC S =S +S +S
设⊙设⊙O O 的半径为r ，则OE=OD=OF=r OE=OD=OF=r
1
111
1
AC BC=AB OD+BC OE+AC OF=AB+BC+AC r 22222（）
∴
AC BC 34r=
==1
AB+BC+AC 3+4+5´
点评：此类求三角形内切圆半径的方法是通用方法，要记住公式，
我们从上面的推导可以看出内切圆半径公式：ABC
2S
r=
AB+BC+AC ，此公式
要熟记，这样做选择题时就可以直接套用公式。

要熟记，这样做选择题时就可以直接套用公式。

解法二：如图2，设⊙，设⊙O O 与AB AB、、BC BC、、CA 的切点分别为D 、E 、F ，连接
OD OD、、OE OE、、OF OF，则，则AD=AF AD=AF，，BD=BE BD=BE，，CE=CF CE=CF．．
图图2
∵⊙∵⊙O O 为△为△ABC ABC 的内切圆，的内切圆，
∴OF OF⊥⊥AC AC，，OE OE⊥⊥BC BC，即∠，即∠，即∠OFC=OFC=OFC=∠OEC=90°．∠OEC=90°．∠OEC=90°． ∵∠C=90°，∵∠C=90°，
∴四边形CEOF 是矩形，是矩形， ∵OE=OF OE=OF，，
∴四边形CEOF 是正方形．是正方形．
设⊙设⊙O O 的半径为rcm rcm，则，则FC=EC=OE=rcm FC=EC=OE=rcm，， 在Rt Rt△△ABC 中，∠ACB=90°，中，∠ACB=90°，AC=4cm AC=4cm AC=4cm，，BC=3cm BC=3cm，， ∴AB=
=5cm =5cm．．
∵AD=AF=AC AD=AF=AC－－FC=4FC=4－－r ，BD=BE=BC BD=BE=BC－－EC=3EC=3－－r ， ∴4－r+3r+3－－r=5r=5，，
解得解得 r=1 r=1 r=1，即⊙，即⊙，即⊙O O 的半径为1cm 1cm．． （2）解法一（几何法）：
若⊙若⊙P P 与⊙与⊙O O 相切，则可分为两种情况，⊙相切，则可分为两种情况，⊙P P 与⊙与⊙O O 外切，⊙外切，⊙P P 与⊙与⊙O O
内切．内切．
①当⊙①当⊙①当⊙P P 与⊙与⊙O O 外切时，外切时，
如图3，过点P 作PG PG⊥⊥BC BC，垂足为，垂足为G ． ∵∠∵∠PGB=PGB=PGB=∠C=90°，∴∠C=90°，∴∠C=90°，∴PG PG PG∥∥AC AC．．
∴△∴△PBG PBG PBG∽△∽△∽△ABC ABC ABC，∴，∴AC PG
BC BG AB PB ==．∵．∵BP=t BP=t BP=t，， ∴PG=t 54，BG=t
53
．
连接OP OP，则，则OP=1+t OP=1+t，过点，过点P 作PH PH⊥⊥OE OE，，垂
足为H ．
∵∠∵∠PHE=PHE=PHE=∠∠HEG=HEG=∠PGE=90°，∠PGE=90°，∠PGE=90°， ∴四边形PHEG 是矩形，是矩形， ∴HE=PG HE=PG，，PH=GE PH=GE，，
∴OH=OE OH=OE－－HE=t 54
1－，PH=GE=BC PH=GE=BC－－EC EC－－BG=t
53
13－－=t 5
32－ 在Rt Rt△△OPH 中，中， 由勾股定理，，
解得解得 t= t=．
②当⊙当⊙P
P 与⊙与⊙O O 内切时，
如图4，连接O P ，则OP=t OP=t﹣﹣1，过点O 作OM OM⊥⊥PG PG，，
垂足为M ．
∵∠∵∠MGE=MGE=MGE=∠∠OEG=OEG=∠OMG=90°，∠OMG=90°，∠OMG=90°， ∴四边形OEGM 是矩形，是矩形， ∴MG=OE MG=OE，，OM=EG OM=EG，
，
∴PM=PG PM=PG﹣
﹣MG=，OM=EG=BC OM=EG=BC﹣﹣EC EC﹣﹣BG=3BG=3﹣﹣
1﹣=2
=2﹣﹣，
在Rt Rt△△OPM 中，中， 由勾股定理，
，解得，解得 t=2 t=2 t=2．．
综上所述，⊙综上所述，⊙P P 与⊙与⊙O O 相切时，
相切时，t=t=s 或t=2s t=2s．． 解法二：平面直角坐标系法解法二：平面直角坐标系法
若⊙若⊙P P 与⊙与⊙O O 相切，则可分为两种情况，⊙相切，则可分为两种情况，⊙P P 与⊙与⊙O O 外切，⊙外切，⊙P P 与⊙与⊙O O 内切．内切．
∵AC AC⊥⊥BC BC，∴以，∴以C 为坐标原点，以BC 为x 轴，轴，AC AC 为y 轴建立直角坐标系，标系，O O 点坐标为（点坐标为（1,11,11,1））
过点P 作PG PG⊥⊥BC BC，垂足为，垂足为G ．PH PH⊥⊥AC AC，垂足为，垂足为H ∵∠∵∠PGB=PGB=PGB=∠C=90°，∴∠C=90°，∴∠C=90°，∴PG PG PG∥∥AC AC．．
∴△∴△PBG PBG PBG∽△∽△∽△ABC ABC ABC，∴，∴AC PG
BC BG AB PB =
=． ∵BP=t BP=t，∴，∴，∴PG=PG=t 54，BG=t
53
． ∴P 点坐标为（t 53
3－，t 5
4
）
①当⊙①当⊙P P 与⊙与⊙O O 外切时，外切时，OP OP 的距离为t+1
2
2
1t 5
4
1t 53
3）－（）－－（+=t+1
解之，得3
2
t =
②当⊙②当⊙P P 与⊙与⊙O O 内切时，内切时，OP OP 的距离为t －1
2
2
1t 5
4
1t 53
3）－（）－－（+=t =t－－1 解之，得t=2
评析：本题可用几何法也可用坐标系法，几何法需要做辅助线，坐标系法相对来说思维比较简单，坐标系法相对来说思维比较简单，但要求对坐标系烂熟于心，但要求对坐标系烂熟于心，对于本题而言，坐标系法相对简单。

题而言，坐标系法相对简单。

8．（9分）（2014•苏州）如图，已知1l ⊥2l ，⊙，⊙O O 与1l ，2l 都相切，⊙切，⊙O O 的半径为2cm 2cm，矩形，矩形ABCD 的边AD AD、、AB 分别与1l ，2l 重合，
AB=4
cm cm，，AD=4cm AD=4cm，若⊙，若⊙，若⊙O O 与矩形ABCD 沿1l 同时向右移动，⊙同时向右移动，⊙O O 的移
动速度为3cm 3cm，矩形，矩形ABCD 的移动速度为4cm/s 4cm/s，设移动时间为，设移动时间为t （s ） （1）如图①，连接OA OA、、AC AC，则∠，则∠，则∠OAC OAC 的度数为的度数为 105 °；°； （2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O O 到达⊙到达⊙O1O1的位置，矩形ABCD 到达A1B1C1D1的位置，此时点O1O1，，A1A1，，C1恰好在同一直线上，求圆心O 移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O 到矩形对角线AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm cm）），当d ＜2时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
解：（1）∵1l ⊥2l ，⊙，⊙O O 与1l ，2l 都相切，都相切， ∴∠OAD=45°，∴∠OAD=45°，
∵AB=4
cm cm，，AD=4cm AD=4cm，，
∴CD=4cm cm，，AD=4cm AD=4cm，，
∴tan tan∠∠DAC=AD
CD =43
4=，
∴∠DAC=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠∴∠OAC OAC 的度数为：∠的度数为：∠OAD+OAD+OAD+∠DAC=105°，∠DAC=105°，∠DAC=105°， 故答案为：故答案为：105105105；；
（2）如图位置二，当1O ，1A ，1C 恰好在同一直线上时，设⊙1O 与1l 的切点为E ，
连接E O 1，可得E O 1=2=2，，E O 1⊥l1l1，，
在Rt Rt△△111C D A 中，∵11D A =4=4，，11D C =4，
∴tan tan∠∠111D A C =
，∴∠111D A C =60°，=60°，
在Rt Rt△△E O A 11中，∠E A O 11=∠111D A C =6=60°，0°，0°， ∴E A 1=
°tan602=3
32， ∵E A 1=1AA －1OO －2=t 2=t－－2， ∴t －2=
3
3
2， ∴t=3
32+2+2，，
∴1OO =3t=2+6+6；；
（3）①当直线AC 与⊙与⊙O O 第一次相切时，设移动时间为1t ， 如图，此时⊙如图，此时⊙O O 移动到⊙2O 的位置，矩形ABCD 移动到2222D C B A 的位置，置，
设⊙2O 与直线1l ，22C A 分别相切于点F ，G ，连接F O 2，G O 2，22A O ， ∴F O 2⊥1l ，G O 2⊥22G A ，
由（由（22）得，∠222D A C =60°，∴∠F GA 2=120°，120°， ∴∠F A O 22=60°，=60°，
在Rt Rt△△F A O 22中，F O 2=2=2，∴，∴F A 2=3
3
2， ∵2OO =3t =3t，，AF=2AA +F A 2=41t +3
3
2， ∴41t +
33
2－31t =2=2，， ∴1t =2=2－－
3
3
2， ②当直线AC 与⊙与⊙O O 第二次相切时，设移动时间为2t ，
记第一次相切时为位置一，点1O ，1A ，1C 共线时位置二，第二次相切时为位置三，切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴
332+2+2－（－（－（22－332）=t2=t2－（－（3
3
2+2+2）），
解得：2t =2+2，
综上所述，当d ＜2时，时，t t 的取值范围是：的取值范围是：22－
3
3
2＜t ＜2+2
9．（14分）（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8AB=8．．
问题思考：问题思考：
如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP AP、、BP 为边在同侧作正方形APDC APDC、、BPEF BPEF．．
（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD AD、、DF DF、、AF AF，，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在△APK APK、△、△、△ADK ADK ADK、△、△、△DFK DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．明理由． 问题拓展：问题拓展：
（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ABCD，动点，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8PQ=8．若点．若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，的运动过程中，PQ PQ 的中点O 所经过的路径的长．径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BN=1AM=BN=1，点，点G 、H 分别是边CD CD、、EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，的运动过程中，GH GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值．值．
解：（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．运动时，这两个正方形的面积之和不是定值． 设AP=x AP=x，则，则PB=8PB=8－－x ，
根据题意得这两个正方形面积之和为22)8(x x －+=641622
+x x － =32422
+）－（x ， 所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32
（2）在三个△）在三个△APK APK APK、△、△、△ADK ADK ADK、△、△、△DFK DFK 中，共存在三种两两组合，分别为△为△APK APK 和△和△ADK ADK ADK，△，△，△ADK ADK 和△和△DFK DFK DFK，△，△，△APK APK 和△和△DFK DFK DFK，，
△APK 和△和△ADK ADK 的高相等，都是AP AP，底分别是，底分别是PK 和DK DK，但是，但是PK 和DK 不一定相等，不符合条件。

不一定相等，不符合条件。

△ADK 和△和△DFK DFK 的底相等，都是DK DK，但是高分别是，但是高分别是AP 和BP BP，，AP 和BP 不一定相等，不符合条件。

不一定相等，不符合条件。

若存在两个面积始终相等的三角形，它们只能是△APK 与△DFK DFK．下面证明：．下面证明：．下面证明：
依题意画出图形，如答图2所示．所示．
设AP=a AP=a，则，则PB=BF=8PB=BF=8－－a ．
∵PE PE∥∥BF BF，，
∴AB AP BF PK
=，即88PK a a =－， ∴PK=8
)a 8(a －， ∴DK=PD DK=PD－－PK=8
a 8)a 8(a 2=－－a ， ∴APK S △=21PK•PA=a 8)a 8(a 21´´－=16
)a 8(2－a ， DFK S △=
21DK•EF=）－（a 88a 212´´=16)a 8(2－a ， ∴APK S △=DFK S △．
（3）当点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上，边上，
若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点；边的中点； 若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ． 此时在Rt Rt△△APQ 中，中，O O 为PQ 的中点，所以AO=21PQ=4PQ=4．
． 所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．90°的圆弧上．
PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：
所示：
所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为：所经过的路径的长为：33×4
1×2π×4=6π．
（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为． 解法一：如答图4﹣1，分别过点G 、O 、H 作AB 的垂线，垂足分别为点R 、S 、T ，则四边形GRTH 为梯形．为梯形．
∵点O 为中点，为中点，
∴OS=21（GR+HT GR+HT））=2
1（AP+PB AP+PB））=4=4，即，即OS 为定值．为定值．
∴点O 的运动路径在与AB 距离为4的平行线上．的平行线上．
∵MN=6MN=6，点，点P 在线段MN 上运动，且点O 为GH 中点，中点，
∴点O 的运动路径为线段XY XY，，XY=21MN=3MN=3，，XY XY∥∥AB 且平行线之间距离为4，点X 与点A 、点Y 与点B 之间的水平距离均为2.52.5．．
解法二：坐标系法解法二：坐标系法
以A 为原点，为原点，AB AB 为x 轴，轴，AC AC 为y 轴建立直角坐标系。

由题意可知下列点的坐标：列点的坐标：M M （1,01,0）），N （7,07,0））， 设P 点坐标为（点坐标为（a a ，0）（1≤a ≤7），则G 点坐标为（2
a ，a ），H 点纵坐标为8－a ，横坐标为8－2a 8－=4+2a ，即H 点坐标为（点坐标为（4+4+2
a ，8－a ） O 为G 、H 中点，∴中点，∴O O 点坐标为（22a 42a ++，2a 8a －+），即（，即（2+2+2a ，4） ∴O 点纵坐标恒定，横坐标变化，是一条平行于x 轴的线段，轴的线段， ∵1≤a ≤7，∴，∴O O 点横坐标取值范围为点横坐标取值范围为[2.5,5.5],[2.5,5.5],[2.5,5.5],点点O 的运动路径长
为5.55.5－－2.5=3
如答图4﹣2，作点M 关于直线XY 的对称点M′，连M′，连 接BM′，与XY 交于点O ．
由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．OM+OB=BM′最小．
在Rt Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′=△BMM′中，由勾股定理得：BM′==． 取最小值时O 点坐标为（点坐标为（4.5,44.5,44.5,4）），点O 的轨迹上。

的轨迹上。

∴OM+OB 的最小值为．
点评：本题是中考压轴题，难度较大．解题难点在于分析动点的点评：本题是中考压轴题，难度较大．解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；需要很好的空间想象能力和作图分析能力；本题要求对直本题要求对直角三角形的性质、二次函数等烂熟于心。

另外第四问一定要把取最小值时的O 点坐标求出来，许多参考书没有求，这是不对的，因为O 的运动轨迹是线段不是直线，是有边界的，不一定取最值时就在取值范围内。

围内。

1010．．
（10分）（2014•无锡）如图1，已知点A （2，0），B （0，4），∠AOB 的平分线交AB 于C ，一动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y 轴向点B 作匀速运动，过点P 且平行于AB 的直线交x 轴于Q ，作P 、Q 关于直线OC 的对称点M 、N ．设P 运动的时间为t
（0＜t ＜2）秒．）秒．
（1）求C 点的坐标，并直接写出点M 、N 的坐标（用含t 的代数式表示）；
（2）设△）设△MNC MNC 与△与△OAB OAB 重叠部分的面积为S ．
①试求S 关于t 的函数关系式；的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S 关于t 的函数图象，并回答：的函数图象，并回答：S S 是否有最大值？若有，写出S 的最大值；若没有，请说明理由．的最大值；若没有，请说明理由．
解：（1）如答图1，过点C 作CF CF⊥⊥x 轴于点F ，CE CE⊥⊥y 轴于点E ， 由题意，易知四边形OECF 为正方形，设正方形边长为x ．
∵CE CE∥∥x 轴，轴，
∴OA CE OB BE =，即2x 4x 4=－，解得x=34．
∴C 点坐标为（34，3
4）；
∵PQ PQ∥∥AB AB，，
∴OA OQ
OB OP =，即2OQ 4OP =， ∴OP=2OQ OP=2OQ．．
∵P （0，2t 2t））
， ∴Q （t ，0）．
∵对称轴OC 为第一象限的角平分线，为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：∴对称点坐标为：M M （2t 2t，，0）
，N （0，t ）． （2）①当0＜t≤1时，如答图2﹣1所示，点M 在线段OA 上，重叠部分面积为CMN S △．
CMN S △=CMON S
四边形－OMN
S △
=（COM S △+CON S △）－OMN S △
=（21•2t×34+21•t×34）－2
1•2t•t •2t•t =－2t +2t +2t；；
当1＜t ＜2时，如答图2﹣2所示，点M 在OA 的延长线上，设MN 与AB 交于点D ，则重叠部分面积为CDM S △．
设直线MN 的解析式为y=kx+b y=kx+b，，将M （2t 2t，，
0）、N （0，t ）代入得{0b kt 2=+=t b ， 解得îíì==21k －t b ，
∴y=y=－－21
x+t x+t；； 同理求得直线AB 的解析式为：的解析式为：y=y=y=－－2x+42x+4．．
联立y=y=－－21x+t 与y=y=－－2x+42x+4，求得点，求得点D 的横坐标为3t
28－． CDN S △=BDN S △－BCN S △
=21（4﹣t ）•
3t 28－－21（4﹣t ）×3
4 =2t 31－2t+38．
综上所述，综上所述，S=S=îíì
£<+<<+)
10(22138t 2t 312
2t t t t －）（－ ②画出函数图象，如答图2﹣3所示：所示：
观察图象，可知当t=1时，时，S S 有最大值，最大值为1
评析：评析：本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（第（22）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键。

另外，对坐标系的灵活运用也是解题的关键。

标系的灵活运用也是解题的关键。