中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案
班级:___________姓名：___________考号：_____________
一、单选题
1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）
A．60m2B．63m2C．64m2D．66m2
2．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）
A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm2
3．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）
A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m2
4．若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（）A．24B．36C．48D．96
5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
6．在Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c
的函数关系式为（）
A．S＝25−c2
4B．S＝25−c
2
2
C．S＝25−c
2D．S＝
25+c2
4
7．如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 √3，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l△AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
8．小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画.于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中AB 和A'B'；上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分.若第一个鸡蛋的高度CD 为8.4 cm，则第二个鸡蛋的高度C'D'为（）
A ．7.29 cm
B ．7.34 cm
C ．7.39 cm
D ．7.44 cm
9．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m ，则池底的最大
面积是（ ） A ．600 m 2
B ．625 m 2
C ．650 m 2
D ．675 m 2
10．如图，从1×2的矩形ABCD 的较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别
是AE 、DE ，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在（ ）
A ．AD 的中点
B ．AE ：ED=（√5﹣1）：2
C ．AE ：ED=√2：1
D ．A
E ：ED=（√2﹣1）：2
11．已知：如图，直线y=﹣√3x+√3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，两动点D 、E 分别以1个单位
长度/秒和√3个单位长度/秒的速度从A 、B 两点同时出发向O 点运动（运动到O 点停止）；过E 点作EG△OA 交抛物线y=a （x ﹣1）2+h （a ＜0）于E 、G 两点，交AB 于点F ，连结DE 、BG ．若抛物线的顶点M 恰好在BG 上且四边形ADEF 是菱形，则a 、h 的值分别为（ ）
A ．-√33、2√
33
B ．-√33、3√
34
C ．-√34、3√
34
D ．-√34、2√
33
12．点 C 为线段 AB 上的一个动点， AB =1 ，分别以 AC 和 CB 为一边作等边三角形，用 S 表
示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（ ） A ．当 C 为 AB 的三等分点时， S 最小 B ．当 C 是 AB 的中点时， S 最大 C ．当 C 为 AB 的三等分点时， S 最大 D ．当 C 是 AB 的中点时， S 最小
二、填空题
13．如图，抛物线y=1
4x
2−1
2x−6
的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P从点A出发
沿射线AB运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，作△BCP的外接圆△M，当圆心M落在该抛物线上时，则t=秒.
14．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．15．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是m2.
16．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为
m2.
17．如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y
2
=14x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE△AC，交y2于点E，则DE＝．
18．已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．
三、综合题
19．如图所示，在△ABC中，△C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）是否存在某一时刻，使△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，并说明理由．
（3）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积达到最大值，并说明利理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B 的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭
曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣3
2），点M是抛物线C2：y=mx
2﹣2mx﹣3m（m＜0）的
顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
21．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，已知墙长a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．
（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a=150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．
22．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱
形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且△NBO=△ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD△△NOB 的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3）、B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，与x轴的另一交点为C，对称轴交x轴于点E，连接BD，求cos△DBE；
（3）在直线BD上是否存在点F，使由B、C、F三点构成的三角形与△BDE相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】A
12．【答案】D
13．【答案】6
14．【答案】3
15．【答案】300
16．【答案】242
17．【答案】2
18．【答案】22
19．【答案】（1）解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米
由题意得：1
2（6﹣x）•2x=8
x=2或x=4
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米
（2）解：不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半
由题意得：1
2（6﹣y）•2y=
1
2×
1
2×6×8
整理，得y2﹣6y+12=0
△=36﹣4×12＜0．
方程无解，所以不存在
（3）解：设△PCQ的面积为w
则w=（6﹣x）×2x× 1
2=﹣x
2+6x=﹣（x﹣3）2+9
∵a=﹣1＜0
∴w有最大值，最大值为9cm2
20．【答案】（1）解：y=mx2−2mx−3m=m(x−3)(x+1)∵m≠0
∴当y=0时
∴A(−1，0)，B(3，0)
（2）解：设C1：y=ax2+bx+c，将A. B. C三点的坐标代入得：{a−b+c=0
9a+3b+c=0
c=−32解得
{
a=12
b=−1
c=−32
故C1：y=1
2x
2−x−3
2.
如图：过点P作PQ△y轴，交BC于Q
由B.C的坐标可得直线BC的解析式为：y=1
2x−
3
2
设P(x，1
2x
2−x−3
2)
，则Q(x，12x−32)
PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+
3
2x)×3=−3
4(x−
3
2)
2+27
16，当x=
3
2时，
S△PBC有最大值
1
2×(
3
2)
2
−
3
2−
3
2=−
15
8
P(
3
2，−
15
8)；
（3）解：y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m
顶点M坐标(1，−4m)
当x=0时，y=−3m
∴D(0，−3m)，B(3，0)
∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1
MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4
BD 2=(3−0)2+(0+3m)2=9m 2+9
当△BDM 为Rt△时有： DM 2+BD 2=MB 2 或 DM 2+MB 2=BD 2. DM 2+BD 2=MB 2 时有： m 2+1+9m 2+9=16m 2+4 解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；
DM 2+MB 2=BD 2. 时有： m 2+1+16m 2+4=9m 2+9
解得 m =−√22 ( m =√
22
舍去).
综上，m=−1或 −√
22
时， △BDM 为直角三角形.
21．【答案】（1）解：设AB =xm ，则BC =(200−2x)m
根据题意得：
x(200−2x)=1800
解得x 1=10
当x =10时，200−2x =180>30，不符合题意舍去 当x =90时
答：AD 的长为20m ；
（2）解：设AB=xm ，矩形的面积为y 则y= x （200-2x ）=-2x 2+200x = -2(x 2−100x) = -2(x −50)2+5000
当x=50时，y 的最大值为5000
答：当AB=50m 时，矩形隔离区面积最大为5000m 2．
22．【答案】（1）解：已知其中一条对角线的长x ，则另一对角线=60-x ．
所以S= 12
x(60-x)
整理得 S =−1
2
x 2+30x ．
（2）解：由（1）知菱形风筝面积S 图像为关于x 的一个二次函数图象，开口向下的抛物线 S 最大值为顶点坐标时．
根据当x=- b 2a 时，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)有最小（大）值
4ac−b 24a
所以 x =−
30
2×(−12
)=30 时
S =4ac−b 2
4a =−9004×(−12)
=450cm 2
． 23．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax 2+bx （a≠0）经过A （3，0）、B （4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：{9a+3b=0
16a+4b=4
解得：{a=1
b=−3
∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x
（2）解：设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4）得：4=4k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为y=x
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m ∵点D在抛物线y=x2﹣3x上
∴可设D（x，x2﹣3x）
又∵点D在直线y=x﹣m上
∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0
∵抛物线与直线只有一个公共点
∴△=16﹣4m=0
解得：m=4
此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2
∴D点的坐标为（2，﹣2）
（3）解：∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0）
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3）
根据轴对称性质和三线合一性质得出△A′BO=△ABO
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4）
∴4k2+3=4，解得：k2= 14
∴直线A′B的解析式是y= 1
4x+3
∵△NBO=△ABO，△A′BO=△ABO ∴BA′和BN重合
即点N在直线A′B上
∴设点N（n，1
4n+3），又点
N在抛物线y=x2﹣3x上
∴1
4n+3
=n2﹣3n
解得：n1=﹣34，n2=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（﹣3
4，
45
16）．
方法一：
如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1
则N1（-34，-4516），B1（4，﹣4）
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．
∵△P1OD△△NOB，△NOB△△N1OB1
∴△P1OD△△N1OB1
∴OP1
ON1=
OD
OB1=
1
2
∴点P1的坐标为（-38，-4532）．
将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（4532，38）
综上所述，点P的坐标是（-3
8，-
45
32）或（
45
32，
3
8）．
方法二：
如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2则N2（4516，34），B2（4，﹣4）
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．
∵△P1OD△△NOB，△NOB△△N2OB2∴△P1OD△△N2OB2
∴OP1
ON2=
OD
OB2=
1
2
∴点P1的坐标为（4532，38）．
将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（-38，-4532）
综上所述，点P的坐标是（-3
8，-
45
32）或（
45
32，
3
8）．
方法三：
∵直线OB：y=x是一三象限平分线
∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3）
∴{y=14x+3
y=x2−3x
得：x1=4（舍），x2=﹣34
∴N（﹣3
4，
45
16）
∵D（2，﹣2），∴l OD：y=﹣x ∵l OD：y=x
∴OD△OB
∵△POD△△NOB
∴N（﹣3
4，
45
16）旋转
90°后N1（45
16，
3
4）或N关于x轴对称点N2（﹣
3
4，﹣
45
16）
∵OB=4 √2，OD=2 √2
∴OD
OB=
OP
ON=
1
2
∵P为ON1或ON2中点
∴P1（4532，38），P2（-38，-4532）．
24．【答案】（1）解：将A（0，3）、B（﹣1，0）代入y=ax2+2x+c可得：c=3，a=﹣1
抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴D（1，4）
∴BE=2，DE=4
∴BD= √BE2+DE2=2 √5
∴cos△DBE= BE
BD=
√5
5
（3）解：∵B（﹣1，0），D（1，4）∴直线BD的解析式为y=2x+2
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3）（x+1）
∴C（3，0）
∴BC=4
①若△BED△△BFC，如图1
则△BED=△BFC=90°
作FG△BC于G
∵cos△CBF= BF
BC=√5 5
∴BF= 4√5
5
∴BG= √5
5BF
= 45
∴OG= 1
5，GF=
8
5
∴F（﹣1
5，
8
5）；
②若△BED△△BCF，如图2
则△BCF=90°
∴F点横坐标为3
将3代入BD解析式得：y=8∴F（3，8）；
综上所述，满足要求的F点的坐标为：（﹣1
5，
8
5）、（3，8）。