(完整)1.2.2 同角三角函数的基本关系(全面例题)

o
x

sin
R
cos
R
tan
{ | k , k Z} 2
▪ 同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin2 cos2 1Fra bibliotek商数关系:
tan sin cos
( k, k Z ) 2
思考:
（1）sin2 2 cos2 2 1 ?
5 解：Q sin2 cos2 1,
cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9 .
5 25
Q 是第二象限角 cos 0cos 3 ,
5
4
tan

sin cos

5 3


4. 3
5
变题：已知sin 4 ,求cos, tan的值.
(2)已知 tan α＝2，求下列各式的值：
①2sin 4sin
α－3cos α－9cos
α α；
②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解：①原式＝2tan 4tan
αα－ －39＝24××22－－39＝－1.
②∵sin2α＋cos2α＝1，
∴4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
▪
利用方程思想求值
▪ 变式 已知sinθ＋cosθ＝ ， ( , )
22
▪ 求 Sinθ-cosθ, tanθ的值．
3.(1)已知 α 是第二象限的角，tan α＝－12， 则 cos α＝____－__2_5_5___．
(2)已知s3icnosαα＋－3csoins
α α＝5，则
商数关系:
tan sin cos
( k, k Z ) 2
思考:
（1）sin2 2 cos2 2 1 ?
(2) sin2 ( ) cos2 ( ) 1?
【数学应用】
例1. 已知sin 4，且是第二象限角，求cos, tan的值.
又 θ∈(0,π)，sin θ＋cos θ＝173>0,sinθcosθ＝－16609<0.
所以 θ∈π2 ，3π4 ，所以 tan θ＝－152.
▪ [点评与警示]
▪ 已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθ·cosθ 三个中的一个，由(sinθ±cosθ)2＝ 1±2sinθ·cosθ可求出另外两个．
α＋cos2α＝1，tan
α＝sin
cos
αα＝－12，所以 cos
α＝－2 55.
(2)依题意得：3ta－n taαn＋α3＝5，∴tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α＝sin2sαin－2αsi＋n cαosc2αos α
＝tant2aαn2－αt＋an1 α＝2222－ ＋21＝25.
sin2 α － sin
α cos
α＝
2
_______5____．
(3)(2015·浙江杭州模拟)若 θ∈π4 ，π2 ，sin 2θ＝116，则
cos θ－sin θ的值是___－___41_5___．
sin gcos 1
32
解析：(1)因为 α 是第二象限的角，所以 cos α<0.又因为 sin2
[解析] 法一：因为 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝14699， 所以 sin θcos θ＝－16609.
由根与系数的关系，知 sin θ，cos θ是方程 x2－173x－16609
＝0 的两根，
所以 x1＝1132，x2＝－153.
因为 θ∈(0，π)，所以 sin θ>0，cos θ<0.
所以 sin θ＝1132，cos θ＝－153.
所以
tan
θ＝sin
cos
θθ＝－152.
法二：同法一，得 sin θcos θ＝－16609， 所以ssinin2θθ＋cocsosθ2θ＝－16609， 弦化切,得tatna2nθθ＋1＝－16609,即 60tan2θ＋169tanθ＋60＝0, 解得 tan θ＝－152或 tan θ＝－152.
5
169
Q tan 0,知是第一或第三象限角.
(1)当是第一象限角时，cos 5 ,sin tan cos 12 ;
13
13
(2)当是第三象限角时，cos 5 ,sin tan cos 12 .
13
13
小结:(1)注意方程思想的运用;(2)分类讨论的数学思想.
(3)(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1165.
ππ ∵ 4 ＜θ＜ 2 ，∴cos
θ＜sin
θ.
∴cos θ－sin θ＝－
（cos
θ－sin
θ）2＝－
15 4.
方法思想——方程思想在三角函数求值中的应用
已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ
＝__－__1_52___．
5
变题：已知sin 4 ,求cos, tan的值.
5
解：Q sin2 cos2 1,
cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9 .
5 25
Q sin 4 0, 为第一或第二象限角.
5
10 当为第一象限角时，cos 3 ,tan 4 ;
＝4sin2α－s3isnin2αα＋ccooss2αα－5cos2α
＝4tan2αta－n2α3ta＋n1α－5＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
▪
利用方程思想求值
▪ 已知sinθ＋cosθ＝ ，θ∈(0，π)，
▪ 求 Sinθ-cosθ, tanθ的值．
▪ 又∵0＜θ＜π ∴sinθ＞0 cosθ＜0 ▪ (sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－2× ▪ ∴sinθ－cosθ＝
【课堂小结】
(一)基本关系式:
平方关系:
sin2 cos2 1
商数关系：
tan sin ( k , k Z)
cos
2
(二)公式的应用:
知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的 两个三角函数值.
(三)数学思想方法:
①分类讨论； ②方程(组)的思想.
课堂练习 P20 1-5 课后作业 P21 10-13
sin2 cos2 1.....................................................(2)
由(1)得 : sin 12 cos............................................(3)
5
代入（2）得：（12）2 cos2 cos2 1 即cos2 25 .
5
3
20 当为第二象限角时，cos 3 ,tan 4 .
5
3
小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已 知角的三角函数值分象限进行讨论.
例2. 已知tan 12 ,求sin, cos的值.
5
解：tan sin 12 ...............................................(1) cos 5
(2) sin2 ( ) cos2 ( ) 1?
【数学建构】
证明 sin2 cos2 1, tan sin . cos
证明 1设终边上任意一点P的坐标是 x, y
Q x2 y2 r2且sin y , cos x ,
r
r
sin2 cos2 y2 x2 x2 y2 1.
r2 r2
r2 y
角的终边
(2)当 k (k Z )时，
2
r • P(x, y)
sin y x y tan . cos r r x
OM
x
▪ 同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin2 cos2 1
1.2.2
同角三角函数的基本关系
【回顾】
▪ 1. 三角函数的计算方法
sin y
r
cos x
r
tan y
x
y
角的终边
其中r x2 y2
• P(x, y)
r
O
Mx
▪ 2. 由定义知正弦函数、余弦函数、正切函数的值 在各象限的符号,如图:
y
y
y



o
x

ox