2024届武汉二月调考数学试题答案

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试
数学试卷参考答案及评分标准
填空题：
12. 3
13. 107
14. 1013
解答题：
15.（13分）解：
（1）由题意，122311
1111...12n n n a a a a a a a +++++
=−，
12231122
11111...12n n n n n a a a a a a a a a ++++++++=−.
两式相减得：
1212
1111()2n n n n a a a a ++++=−， 化简得：212n n a a ++−=.
即数列{}n a 是从第2项起公差为2的等差数列.
若数列{}n a 是等差数列，则满足212a a −=.
令1n =，有122
1
112a a a =−，即21112a a =+.
所以111122
a a +=+，解得12a =−或112a =. 由2120a a =+≠，所以112
a =. …………7分
（2）211132
a a =
+=−.
由（1），数列{}n a 是从第2项起公差为2的等差数列.
所以2n ≥时，22(2)27n a a n n =+−=−. 此时，21231(1)()(1)(327)
2(...)272
n n n n a a n n S a a a a a −+−−+−=++++=+
=−+.
整理得：2
3367
n S n n =−+
(2)n ≥.
又1127
S a ==−也满足上式，
所以，2
3367
n S n n =−+
.
…………13分
16.（15分）解：
（1）取PE 中点G ，连接,DG FG .
由DA DB ==2AB =，有DAB ∆是等腰直角三角形. 此时1DE =，又1PD =，所以PE DG ⊥. 因为PA PB =，所以PE AB ⊥. 由FG ∥EB ，所以PE FG ⊥.
此时，CD ∥AB ∥FG ，有,,,C D G F 四点共面，
FG DG G =，直线PE ⊥平面CDGF . 由CF ⊂平面CDGF ，所以CF PE ⊥. …………7分 （2）由AB PE ⊥，AB DE ⊥，且PE DE E =，所以直线AB ⊥平面PDE
由1PE DE PD ===，所以PDE ∆是等边三角形.
以E 为原点，,EB ED 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
1(0,2P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C
, 11(,24F
1(0,2DP =−，(1,1,0)DB =−，设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，
由00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即10
20
y z x y ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量(3,3,1)n =.
又33(,,24FC =.设直线
CF 与平面PBD 所成角的大小为θ，
则||
2sin |cos ,||||
|7n FC n FC n FC θ⋅=<>=
==⋅. 所以直线CF 与平面PBD . …………15分
…………8分
所以预测2024年2月份该公司的直播销售金额为219.4万元. …………15分
18.（17分）解：
（1）设双曲线的半焦距为c ，则右准线的方程为2
:a l x c
=. 由题意，
2232
a b c c c −==. 在方程22221y x a b
−=中，令x c =，解得：2b y a =±，所以226b a =. 联立解得：221,3a b ==.
所以双曲线E 的标准方程为：22
13
y x −=. …………5分
（2）当直线AB 与x 轴不重合时，设其方程为2x my =+.
与双曲线方程联立：2
213
2
y x x my ⎧−
=⎪⎨⎪=+⎩，22(31)1290m y my −++=.
设1122(,),(,)A x y B x y ，有12
21221231
9
31m
y y m y y m −⎧+=⎪−⎨⎪=−⎩
.
直线1AF 的方程为：1
1(2)2
y y x x =++.
令12x =，得到P 点坐标1
151(,)22(2)
y x +.
所以直线PB 的方程为：1
2222151()()()()22(2)
y x y y y x x x −−=−−+.
令0y =，得到直线PB 与x 轴交点的横坐标：
2212212211212211()
52252542(2)
y x x y x y y x x y x y y y y x −−+=−
=−+−
+122121212
(2)5(2)22(2)54my y my y y my y y y +−++=+−+ 121212122121212122
4104410()1425825()13my y y y my y y y y my y y y my y y y y −−+−−++==−+−++
222222
223612014(31)8414(31)1413
186013(31)7813(31)m m m y m m y m m m y m m y −++−+−===++−+−. 所以直线PB 过点14(,0)13
.
当直线AB 与x 轴重合时，直线PB 也与x 轴重合，也过点14(,0)13
. 综上所述，直线PB 过定点14(,0)13
. …………17分
19.（17分）解：
（1）2
(1)1
'()x x e f x x −+=.
'(1)1f =，(1)1f e =−. 故切线方程为：2y x e =+−. …………3分
（2）()f x 定义域为(,0)(0,)−∞+∞.
令()(1)1x g x x e =−+，则'()x g x xe =，令'()0g x =，得0x =.
当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，所以'()0f x >，()f x 单调递增； 当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=，所以'()0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在(,0)−∞和(0,)+∞上都是增函数.
令()1x
x e x ϕ=−−，'()1x x e ϕ=−，令'()0x ϕ=，得0x =.
当0x <时，'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减；当0x >时，'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增.
0x <时，()(0)0x ϕϕ>=，10x
e x −−>，所以1()1x e
f x x −=<.
0x >时，()(0)0x ϕϕ>=，10x
e x −−>，所以1()1x e
f x x
−=>.
综上所述，()f x 是定义域(,0)(0,)−∞+∞上的增函数.
…………8分
（3）由（2）可知，0x <时，()1f x <，所以1x
a <，故1a >. 记k
a e =，其中0k >.
令(1)()k x kx F x e e x −−=−−.
由题意，0x <时，()0F x <；0x >时，()0F x >.
若1k ≥，则当1x >时，(1)()10k x kx kx F x e e x e x −−−=−−≤−−<，不满足条件. 所以01k <<.
(1)'()(1)1k x kx F x k e ke −−=−+−.
令()'()G x F x =，2(1)222'()(1)[(1)]k x kx kx x G x k e k e e k e k −−−=−−=−−. 令'()0G x =，得2ln 1k x k
=−.
'()F x 在(,2ln )1k k
−∞−单调递减，在(2ln ,)1k k +∞−单调递增.
若2ln 01k k
<−，则当2ln 01k x k <<−时，'()'(0)0F x F <=，()F x 单调递减，
此时()(0)0F x F >=，不满足题意；
若2ln
01k k >−，则当02ln 1k x k <<−时，'()'(0)0F x F <=，()F x 单调递减，
此时()(0)0F x F <=，不满足题意；
若2ln
01k k
=−，则0x <时，'()'(0)0F x F >=，()F x 单调增，()(0)0F x F <=，
且0x >时，'()'(0)0F x F >=，()F x 单调增，()(0)0F x F >=，满足题意.
所以2ln
01k k =−，解得：12
k =.
综上所述：a = …………17分。