第十五章直线相关与直线回归分析
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19
1.根据原始数据做散点图，从图中各点的分 布情况看，血液药物浓度Y随唾液药物浓度 X增加而增加的趋势。 2.计算相关系数 （1）计算基础数据根据原始数据求得
X 43.9
Y＝143.4
XY 568.1
X ＝174.5
2
Y ＝1873.0
2
20
r
[ X
2
XY X Y / n X / n][ Y Y
33
直线回归的定义
分析两个变量X、Y之间确切的定量关系，建 立一个方程式，从而可由X变量的大小推算出 Y变量的估计值。 直线回归就是用来描述一个变量如何依赖于 另一个变量。
34
回归方程
直线回归的任务就是要找出一个变量随另一 个变量变化的直线方程，我们把这个直线方 程叫做直线回归方程。
a bX Y
2
2
LXY L XY .LYY
2
Lxx X X
L yy Y Y
Lxy
X
2
2 2
2
X
n
2
Y
Y
n
X Y X X Y Y XY
n
16
r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程度 （绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
31
为了通过可测或易测的变量对未知或难测或 不可测量的状态进行估计，可以借助回归分 析。 例如：我们可以用身高、体重、肺活量这些 容易测得的指标来估计心室血输出量、体循 环总血量等相对难测的指标；通过对产妇的 尿雌三醇含量的检测来估计腹中胎儿体重， 以便采取必要的措施降低生产过程的难产风 险。
37
a bX 是 最适合的直线， 要使 Y 必须满足下列条件:
(1)直线上方各点离回归线的距离（以平行于Y轴 计算）之和与直线下方各点离回归线的距离之和 绝对值相等，但方向相反，因此：
38
2 为最 y y （2）此直线是使得误差平方和
小值的直线，即因变量的实际观察值y与理 论值 y 之差的平方和取最小值。 对于每一个x值来说，它所对应实际的y值， 与估计的 y 值往往会存在差异，这个差异 就是用估计 y 值来代替实际y值所产生的误 差，即 y y 误差，误差越小越好，由于理 为最 y y 论上 y y 0 ，因此要把 小值的直线当作回归直线是很困难的。一个 最佳且能表达同样目的的方法，那就是将此 直线定义为使得误差平方和为最小值的直线。 这个方法称为最小二乘法。
27
前面我们讨论了12名癫痫病人的唾液药物 浓度和血液药物浓度之间的关系，知道了 二者之间成正相关。那么，如果我们知道 了一位癫痫病人的唾液药物浓度，能推断 出血液药物浓度的大小吗？或血液药物浓 度可能在什么范围内呢？还有，唾液药物 浓度和血液药物浓度。那么，体重每增加1 微克，血液药物浓度增加多少呢？上面的 相关关系分析不能提供给我们需要的答案。 这些要用直线回归的方法来解决。
6
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
7
1.直线相关概念
概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。 协同变化：同增同减，此增彼减
8
2.直线相关的特点：
两变量同时进入数据分析； 两变量不区别为原因变量和结果变量，
关分析方法去研究这种关系。可以 研究两个变量之间的相互关系的密 切程度和变化趋势，并用恰当的统 计指标表达。
4
2.一个变量对另外一个变量有着某 种依存关系
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种
依存关系，可以用回归分析的方法去研 究这种关系，即把两个变量间的数量依 存关系用函数形式表示出来，用一个或 多个变量去推测另一个变量的估计值和 波动范围，这就是回归分析。
是一种互为因果的数量协同变化关系； 变量类型：两变量应同时满足正态分布 的条件（实际工作中近似正态分布）。
9
相关分析
1.图示法：有无相关、相关程度、相关方向
2相关系数：在求相关系数前，最好先做图。
10
相关分析：无自变量、因变量、地位平等。
Hale Waihona Puke Baidu
回归分析：有自变量、因变量，两者从属关 系。
11
绘制散点图
2
39
根据最小二乘法原理，a 和 b的计算公式
a Y bX
Lxy Lxx
b
X X Y Y ＝ X X
2
40
Lxy为离均差积和，Lxx为x的离均差平方和
三、直线回归分析的方法步骤与作图
例15－2 根据例15－1的资料以唾液药物浓度 作自变量X，以血药物浓度作应变量Y，进行 直线回归分析，并作出回归直线。 具体过程见书P269
2 2
2
/ n]
568.19 43.9 143.4 / 12 0.9256 2 2 [174.51 43.9 / 12][1873 .04 143.4 / 12]
21
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾
22
对相关系数的假设检验，常用t检验，选用统计 量t的计算公式如下：
t r 0 r 1 r2 n2
=n-2
sr
n2 r 1 r2
23
(1)建立假设 H0 ： =0 ，即X与Y间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ， 即X与Y间有直线相关关系 （2）确定检验水准：=0.05 （3）确定单双测检验：本例选择双测检验 （4）计算t值： r n2 r=0.9256, n=12, 代入公式 t r 2
值的应变量Y与直线回归方程估计值的差 值服从正态分布 适用于两变量数量协同变化关系密切的 情况，否则回归估计误差过大，无应用 价值。
36
直线回归分析的意义
可以用来较准确描述两变量的定量关系；
可以在一定自变量变化线性范围内由自
变量预报应变量值， 给定应变量的控制限值，利用直线方程 寻找自变量的控制限值。
32
（1） 当我们知道了两个变量之间有直线相关关系， 并且一个变量的变化会引起另一个变量的变化，这 时，如果它们之间存在准确、严格的关系，它们的 变化可用函数方程来表示，叫它们是函数关系，它 们之间的关系式叫函数方程。 （2）但在实际生活当中，由于其它因素的干扰， 许多双变量之间的关系并不是严格的函数关系，不 能用函数方程反映，为了区别于两变量间的函数方 程，我们称这种关系式为直线回归方程，这种关系 为直线回归.
液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12
名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
28
五、直线相关分析的注意点
作直线相关分析时，应结合散点图来判断两 变量的数量协同变化关系是否呈直线关系， 避免将某些曲线关系误判为直线关系； 应该注意假相关情况； 当两变量均明显不呈正态分布时，最好采用 秩相关统计分析方法计算秩相关系数。
29
30
“回归”一词的来由
“回归”一词最早由Golton在一项有关父亲与 儿子身高的研究中提出。儿子的身高（Y）与 父亲的身高（X)自然是相关的，他发现身材 高大的父亲所生儿子的高度不少要比其父亲 矮，而身材矮小的父亲所生的儿子不少要比 其父亲高；也就是说，无论是身材高还是身 材矮的父亲所生儿子的身高有向人群的平均 身高“回归”的趋势，这就是“回归”的生 物学内涵。后来人们借助“回归”一词来描 述通过自变量的数值预测反应变量的平均水 平。
某君喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高 与树高，积累了数据。统计计算发现，子高 与树高具有相关性，难道两者真有内在联系？ 原来子高与树高均与日俱增，时间变量与两 者得潜在联系，造成了子高与树高的虚假联 系。
25
相关关系与因果关系是一回事吗？
相关关系可能是： （1）两个变量之间存在依存因果关系，如由 于遗传的原因，子女的身高数值的大小在很 大程度上取决于父母的身高。
5
为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
1
学 习 目 标
1.说出直线相关与直线回归的概念； 2.说出等级相关的适用范围； 3.能计算直线相关系数与回归系数、
进行假设检验； 4.能从专业角度考虑相关与回归的实 际意义。
2
两个变量之间的关系大致分为两种：
3
1.两个变量共同变化的，是一种 相互依赖的关系
例如身高与体重的关系。可以用相
41
例16-3
某研究人员采用不同剂量山莨菪碱测得小白 鼠的扩瞳指数，试分析山莨菪碱和扩瞳指数 之间的回归关系。
（2）两个变量之间存在相互的伴随关系，如 “蛙鸣而燕至”，虽然年年如此，但蛙鸣永 远也不能成为燕至的原因。
26
直线相关的应用
相关是研究两个变量间的相互关系，而且这种 相互关系是用相关系数反应的。在确实存在相关 关系的前提下，如果r的绝对值越大，说明两个 变量之间的关联程度越强，那么，已知一个变量 对预测另一个变量越有帮助；如果r绝对值越小， 则说明两个变量之间的关系越弱，一个变量的信 息对猜测另一个变量的值无多大帮助。 一般说来，当样本量较大（n>100），并对r 进行假设检验，有统计学意义时，r的绝对值大 于0.7，则表示两个变量高度相关；r的绝对值大 于0.4，小于等于0.7时，则表示两个变量之间中 度相关；r的绝对值大于0.2，小于等于0.4时， 则两个变量低度相关。
12
3、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
13
一、直线相关统计量
14
相 关 系 数 及 意 义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。 总体参数： 样本相关系数：r
15
相关系数的计算公式
r
X－X Y Y X X . Y Y
17
相关系数的特点：
r是无量刚的统计量；-1<r<1 r可正可负（正表正相关，负表负相关）； r＝0 零相关（无线性相关） r 的大小表示相关的程度，越接近1，表相 关性越好，越接近0，表相关性越差。
18
二、直线相关系数的计算
例15－1
某医师研究12名癫痫病人口 服鲁米那后两小时唾液药物浓度与 血液药物浓度之间的数量关系。试 计算两种体液药物浓度间的直线相 关关系。
1 －r
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t 0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按 =0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液 药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
24
相关一定有内在联系吗？
分析研究两个变量x与y之间的关系时，两个 变量的值可视为直角坐标系的一个点。为直 观地判断两个变量间的关系，可把每对（x,y) 变量值在直角坐标系标点出来，此为散点图。 若一个变量x由小到大（或由大变小），则另 一变量相应地由小到大（或由大到小），两 个变量的散点图呈直线趋势，可称这种现象 为共变。
:是由自变量X推算应变量Y的估计值(读作Y hat) Y
a：是回归直线在Y 轴上的截距，即X=0时的Y值； b:为样本的回归系数，即回归直线的斜率，表示当X
变动一个单位时，Y平均变动b个单位。
35
直线回归分析的特点：
两变量同时进入数据分析；
两变量必须区分为自变量X和应变量Y;
要求应变量Y为正态分布，或对应同一X
1.根据原始数据做散点图，从图中各点的分 布情况看，血液药物浓度Y随唾液药物浓度 X增加而增加的趋势。 2.计算相关系数 （1）计算基础数据根据原始数据求得
X 43.9
Y＝143.4
XY 568.1
X ＝174.5
2
Y ＝1873.0
2
20
r
[ X
2
XY X Y / n X / n][ Y Y
33
直线回归的定义
分析两个变量X、Y之间确切的定量关系，建 立一个方程式，从而可由X变量的大小推算出 Y变量的估计值。 直线回归就是用来描述一个变量如何依赖于 另一个变量。
34
回归方程
直线回归的任务就是要找出一个变量随另一 个变量变化的直线方程，我们把这个直线方 程叫做直线回归方程。
a bX Y
2
2
LXY L XY .LYY
2
Lxx X X
L yy Y Y
Lxy
X
2
2 2
2
X
n
2
Y
Y
n
X Y X X Y Y XY
n
16
r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程度 （绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
31
为了通过可测或易测的变量对未知或难测或 不可测量的状态进行估计，可以借助回归分 析。 例如：我们可以用身高、体重、肺活量这些 容易测得的指标来估计心室血输出量、体循 环总血量等相对难测的指标；通过对产妇的 尿雌三醇含量的检测来估计腹中胎儿体重， 以便采取必要的措施降低生产过程的难产风 险。
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a bX 是 最适合的直线， 要使 Y 必须满足下列条件:
(1)直线上方各点离回归线的距离（以平行于Y轴 计算）之和与直线下方各点离回归线的距离之和 绝对值相等，但方向相反，因此：
38
2 为最 y y （2）此直线是使得误差平方和
小值的直线，即因变量的实际观察值y与理 论值 y 之差的平方和取最小值。 对于每一个x值来说，它所对应实际的y值， 与估计的 y 值往往会存在差异，这个差异 就是用估计 y 值来代替实际y值所产生的误 差，即 y y 误差，误差越小越好，由于理 为最 y y 论上 y y 0 ，因此要把 小值的直线当作回归直线是很困难的。一个 最佳且能表达同样目的的方法，那就是将此 直线定义为使得误差平方和为最小值的直线。 这个方法称为最小二乘法。
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前面我们讨论了12名癫痫病人的唾液药物 浓度和血液药物浓度之间的关系，知道了 二者之间成正相关。那么，如果我们知道 了一位癫痫病人的唾液药物浓度，能推断 出血液药物浓度的大小吗？或血液药物浓 度可能在什么范围内呢？还有，唾液药物 浓度和血液药物浓度。那么，体重每增加1 微克，血液药物浓度增加多少呢？上面的 相关关系分析不能提供给我们需要的答案。 这些要用直线回归的方法来解决。
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第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
7
1.直线相关概念
概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。 协同变化：同增同减，此增彼减
8
2.直线相关的特点：
两变量同时进入数据分析； 两变量不区别为原因变量和结果变量，
关分析方法去研究这种关系。可以 研究两个变量之间的相互关系的密 切程度和变化趋势，并用恰当的统 计指标表达。
4
2.一个变量对另外一个变量有着某 种依存关系
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种
依存关系，可以用回归分析的方法去研 究这种关系，即把两个变量间的数量依 存关系用函数形式表示出来，用一个或 多个变量去推测另一个变量的估计值和 波动范围，这就是回归分析。
是一种互为因果的数量协同变化关系； 变量类型：两变量应同时满足正态分布 的条件（实际工作中近似正态分布）。
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相关分析
1.图示法：有无相关、相关程度、相关方向
2相关系数：在求相关系数前，最好先做图。
10
相关分析：无自变量、因变量、地位平等。
Hale Waihona Puke Baidu
回归分析：有自变量、因变量，两者从属关 系。
11
绘制散点图
2
39
根据最小二乘法原理，a 和 b的计算公式
a Y bX
Lxy Lxx
b
X X Y Y ＝ X X
2
40
Lxy为离均差积和，Lxx为x的离均差平方和
三、直线回归分析的方法步骤与作图
例15－2 根据例15－1的资料以唾液药物浓度 作自变量X，以血药物浓度作应变量Y，进行 直线回归分析，并作出回归直线。 具体过程见书P269
2 2
2
/ n]
568.19 43.9 143.4 / 12 0.9256 2 2 [174.51 43.9 / 12][1873 .04 143.4 / 12]
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（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾
22
对相关系数的假设检验，常用t检验，选用统计 量t的计算公式如下：
t r 0 r 1 r2 n2
=n-2
sr
n2 r 1 r2
23
(1)建立假设 H0 ： =0 ，即X与Y间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ， 即X与Y间有直线相关关系 （2）确定检验水准：=0.05 （3）确定单双测检验：本例选择双测检验 （4）计算t值： r n2 r=0.9256, n=12, 代入公式 t r 2
值的应变量Y与直线回归方程估计值的差 值服从正态分布 适用于两变量数量协同变化关系密切的 情况，否则回归估计误差过大，无应用 价值。
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直线回归分析的意义
可以用来较准确描述两变量的定量关系；
可以在一定自变量变化线性范围内由自
变量预报应变量值， 给定应变量的控制限值，利用直线方程 寻找自变量的控制限值。
32
（1） 当我们知道了两个变量之间有直线相关关系， 并且一个变量的变化会引起另一个变量的变化，这 时，如果它们之间存在准确、严格的关系，它们的 变化可用函数方程来表示，叫它们是函数关系，它 们之间的关系式叫函数方程。 （2）但在实际生活当中，由于其它因素的干扰， 许多双变量之间的关系并不是严格的函数关系，不 能用函数方程反映，为了区别于两变量间的函数方 程，我们称这种关系式为直线回归方程，这种关系 为直线回归.
液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12
名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
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五、直线相关分析的注意点
作直线相关分析时，应结合散点图来判断两 变量的数量协同变化关系是否呈直线关系， 避免将某些曲线关系误判为直线关系； 应该注意假相关情况； 当两变量均明显不呈正态分布时，最好采用 秩相关统计分析方法计算秩相关系数。
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30
“回归”一词的来由
“回归”一词最早由Golton在一项有关父亲与 儿子身高的研究中提出。儿子的身高（Y）与 父亲的身高（X)自然是相关的，他发现身材 高大的父亲所生儿子的高度不少要比其父亲 矮，而身材矮小的父亲所生的儿子不少要比 其父亲高；也就是说，无论是身材高还是身 材矮的父亲所生儿子的身高有向人群的平均 身高“回归”的趋势，这就是“回归”的生 物学内涵。后来人们借助“回归”一词来描 述通过自变量的数值预测反应变量的平均水 平。
某君喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高 与树高，积累了数据。统计计算发现，子高 与树高具有相关性，难道两者真有内在联系？ 原来子高与树高均与日俱增，时间变量与两 者得潜在联系，造成了子高与树高的虚假联 系。
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相关关系与因果关系是一回事吗？
相关关系可能是： （1）两个变量之间存在依存因果关系，如由 于遗传的原因，子女的身高数值的大小在很 大程度上取决于父母的身高。
5
为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
1
学 习 目 标
1.说出直线相关与直线回归的概念； 2.说出等级相关的适用范围； 3.能计算直线相关系数与回归系数、
进行假设检验； 4.能从专业角度考虑相关与回归的实 际意义。
2
两个变量之间的关系大致分为两种：
3
1.两个变量共同变化的，是一种 相互依赖的关系
例如身高与体重的关系。可以用相
41
例16-3
某研究人员采用不同剂量山莨菪碱测得小白 鼠的扩瞳指数，试分析山莨菪碱和扩瞳指数 之间的回归关系。
（2）两个变量之间存在相互的伴随关系，如 “蛙鸣而燕至”，虽然年年如此，但蛙鸣永 远也不能成为燕至的原因。
26
直线相关的应用
相关是研究两个变量间的相互关系，而且这种 相互关系是用相关系数反应的。在确实存在相关 关系的前提下，如果r的绝对值越大，说明两个 变量之间的关联程度越强，那么，已知一个变量 对预测另一个变量越有帮助；如果r绝对值越小， 则说明两个变量之间的关系越弱，一个变量的信 息对猜测另一个变量的值无多大帮助。 一般说来，当样本量较大（n>100），并对r 进行假设检验，有统计学意义时，r的绝对值大 于0.7，则表示两个变量高度相关；r的绝对值大 于0.4，小于等于0.7时，则表示两个变量之间中 度相关；r的绝对值大于0.2，小于等于0.4时， 则两个变量低度相关。
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3、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
13
一、直线相关统计量
14
相 关 系 数 及 意 义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。 总体参数： 样本相关系数：r
15
相关系数的计算公式
r
X－X Y Y X X . Y Y
17
相关系数的特点：
r是无量刚的统计量；-1<r<1 r可正可负（正表正相关，负表负相关）； r＝0 零相关（无线性相关） r 的大小表示相关的程度，越接近1，表相 关性越好，越接近0，表相关性越差。
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二、直线相关系数的计算
例15－1
某医师研究12名癫痫病人口 服鲁米那后两小时唾液药物浓度与 血液药物浓度之间的数量关系。试 计算两种体液药物浓度间的直线相 关关系。
1 －r
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t 0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按 =0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液 药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
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相关一定有内在联系吗？
分析研究两个变量x与y之间的关系时，两个 变量的值可视为直角坐标系的一个点。为直 观地判断两个变量间的关系，可把每对（x,y) 变量值在直角坐标系标点出来，此为散点图。 若一个变量x由小到大（或由大变小），则另 一变量相应地由小到大（或由大到小），两 个变量的散点图呈直线趋势，可称这种现象 为共变。
:是由自变量X推算应变量Y的估计值(读作Y hat) Y
a：是回归直线在Y 轴上的截距，即X=0时的Y值； b:为样本的回归系数，即回归直线的斜率，表示当X
变动一个单位时，Y平均变动b个单位。
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直线回归分析的特点：
两变量同时进入数据分析；
两变量必须区分为自变量X和应变量Y;
要求应变量Y为正态分布，或对应同一X