三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第二章 函数的概念与基本初等函数5 理-人教版高三全册数学试题

第五节 对数与对数函数
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·某某，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
2.(2015·某某，9)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，
r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜q D.p ＝r ＞q
3.(2014·某某，4)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
4.(2014·某某，4)函数f (x )＝12
log (x 2
－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞)
B.(-∞，0)
C.(2，＋∞)
D.(-∞，－2)
5.(2014·某某，9)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1,1).现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.
其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
6.(2016·某某,12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52,a b ＝b a
,则a ＝______，b ＝______.
7.(2015·某某,12)若a ＝log 43，则2a
＋2－a
＝________.
8.(2015·某某，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2
(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，
则实数a 的取值X 围是________.
9.(2014·某某，12)函数f (x )＝log 2x ·log
2
(2x )的最小值为________.
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·某某某某一中模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝log 2(2x ＋
1)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12等于( ) A.log 23
B.log 25
C.1
D.－1
2.(2016·某某某某模拟)设函数的集合P =211{()log ()|,0,,1;1,0,1},2
2
f x x a b a b =++=-=-
平面上点的集合Q ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x ＝－12，0，12，1；y ＝－1，0，1，则在同一直角坐标系中，
P 中函数f (x )的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是( )
A.4
B.6
C.8
D.10
3.(2016·某某某某模拟)已知实数a >0，且a ≠1，函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，函数g (x )＝a x
＋1a
x ，则下列选项正确的是( )
A.g (－3)<g (2)<g (4)
B.g (－3)<g (4)<g (2)
C.g (4)<g (－3)<g (2)
D.g (2)<g (－3)<g (4) 4.(2016·某某大学附中月考)已知函数y ＝log a (2－ax )在区间[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值X 围是( ) A.(0，1)
B.(1，2)
C.(0，2)
D.(2，＋∞)
解析 由题意可知a >0，故函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0，1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1，2). 答案 B
5.(2015·某某某某模拟)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，
ln x ，x ≥1的值域为R ，那么
a 的取值X
围是( )
A.(－∞，－1]
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
6.(2015·某某威海期末)下列四个数中最大的是( ) A.(ln 2)2
B.ln(ln 2)
C.ln 2
D.ln 2
7.(2015·某某某某模拟)已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，
函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3
（x ≤0），g （x ） （x >0），
若f (2－x 2
)>f (x )，则实数x 的取值X 围是( )
A.(-∞，1)∪(2，＋∞)
B.(-∞，-2)∪(1，＋∞)
C.(1，2)
D.(-2，1)
8.(2015·某某某某二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧3x
（x ≤1），log 13x （x ＞1）则y ＝f (2－x )的大致图象是
( )
9.(2015·东城二模)设a ＝log 4π，b ＝log 14
π，c ＝π4
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A.a ＞c ＞b
B.b ＞c ＞a
C.c ＞b ＞a
D.c ＞a ＞b
10.(2015·某某某某二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12时，
f (x )＝lo
g 2(x ＋1)，则f (x )在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫1，32内是( )
A.减函数且f (x )＞0
B.减函数且f (x )＜0
C.增函数且f (x )＞0
D.增函数且f (x )＜0
11.(2016·某某某某一中模拟)若实数a ，b ，m 满足2a ＝5b
＝m ，且2a ＋1b
＝2，则m 的值为
________.
12.(2016·某某揭阳一模)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0，1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.
13.(2016·某某某某模拟)已知f (x )＝a sin x ＋b 3
x ＋4(a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.
14.(2015·某某模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x
1＋x .
(1)求f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 014的值；
(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由.
答案精析
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.A [易知函数定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数,又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上
是增函数,故选A.] 2.C [∵0＜a ＜b ，∴
a ＋b
2
＞ab ，
又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .
又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋1
2ln b ＝ln(ab )1
2＝f (ab )＝p .
故p ＝r ＜q .选C.]
3.B [因为函数y ＝log a x 过点(3,1),所以1＝log a 3,解得a ＝3,所以y ＝3－x
不可能过点(1，3),排除A ；y ＝(－x )3
＝－x 3
不可能过点(1，1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.]
4.D [函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 1
2
t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12
t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)
上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增.选D.]
5.A [f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x 1－x ，又当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2
∈(－1，1)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝ln 1＋2x 1＋x 2
1－2x 1＋x 2
＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x 1－x 2
＝2ln 1＋x 1－x
＝2f (x )，故②正确；当x ∈[0，1)时，|f (x )|≥2|x |⇔f (x )－2x ≥0，令g (x )＝
f (x )－2x ＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x (x ∈[0，1))，因为
g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x
2
1－x 2>0，
所以g (x )在区间[0，1)上单调递增，g (x )＝f (x )－2x ≥g (0)＝0，即f (x )≥2x ，又f (x )与y ＝2x 都为奇函数，所以|f (x )|≥2|x |成立，故③正确，故选A.]
6. 4 2 [设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2①，因此a b ＝b a ⇒a
2b
＝ab 2
②，解得b ＝2，a ＝4.联立①②结合b ＞1，解得b ＝2，a ＝4.]
7.433[2a ＋2－a
＝2log 43＋2－log 43＝2log23＋2log 233＝3＋33＝43
3.]
8.(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞1，
3＋log a 2≥4，
∴1＜a ≤2.]
9.－14 [依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2
＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－
14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12
时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－1
4.] B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1. D [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×12＋1＝－1，故选D.]
2. B [集合Q 中共有如图所示的12个点.
函数f (x )＝log 2x 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，(1，0)，故a ＝0，b ＝0满足条件，将f (x )＝log 2x 的图象左、右、上、下平移，满足条件的a 、b 共有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝1
2，b ＝0，
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1， ⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1
2，
b ＝1，
6组.故选B.] 3.D [由函数y ＝log a |x |在(－∞，0)上为减函数,可得a >1,故g (－3)－g (2)＝(a －
1)×a 5－1a 3>0,所以g (－3)>g (2)，又g (4)－g (－3)＝(a －1)×a 7－1
a
4>0，所以g (4)>g (－3)，
故有g (4)>g (－3)>g (2).]
4. B [由题意可知a >0，故函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0，1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1，2).]
5.C [由题意知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，
ln x ，x ≥1.在每一段均为增函数,
且满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，
∴－1≤a <1
2，故选C.]
6.D [因为0<ln 2<1，所以ln(ln 2)<0，(ln 2)2
<ln 2，ln 2＝12ln 2<ln 2，故选D.]
7.D [∵函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，
∴当x >0时，g (x )＝ln(1＋x ).∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 3
（x ≤0），
g （x ）（x >0），
∴当x ≤0时，f (x )＝x 3
为单调递增函数,值域(－∞，0]. 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)为单调递增函数，值域(0，＋∞).
∴函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增.f (2－x 2
)>f (x )，2－x 2
>x ，所以－2<x <1.故选D.]
8. A [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x （x ≤1），log 13x （x ＞1），则y ＝f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧32－x
（x ≥1），log 13（2－x ） （x ＜1）.
故函数f (2－x )是以x ＝1为界的分段函数，故选A.]
9. D [∵0＜a ＝log 4π＜1，b ＝log 14
π＝－log 4π＜0，c ＝π4
＞1，∴c ＞a ＞b ，故选
D.
10. B [设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则x －1∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
此时f (x )＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)＝－log 2(x －1＋1)＝－log 2x ，故选B.] 11.20 [因为2a
＝5b
＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，
又2a ＋1b ＝2，所以2log 2m ＋1
log 2m ＝2，即2log m 2＋log m 5＝2，解得m ＝20.] 12. 1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45＝－lg 95＝lg 59，
故f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.]
13. 3 [lg(log 210)＝－lg(lg 2)，f (－x )＝a sin(－x )＋b 3
－x ＋4，
f (－x )＝－(a sin x ＋b 3
x )＋4.∴f (－x )＋f (x )＝8，又f [lg(log 210)]＝5，
∴f [lg(lg 2)]＝8－5＝3.]
14.解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 014＝0.
(2)f (x )的定义域为(－1，1)，∵f (x )＝－x ＋log 2⎝
⎛
⎭
⎪⎫－1＋
2x ＋1， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1，1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0，1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，
∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a
1＋a
.]。