概率论基础练习

一. 填空
1. 一袋中有白球2个，黑球4个，从中任取2个球，则取到两个黑球的概率
为 ,取到两种球各1个的概率为 。

2.设()()
0.5,0.3,P A P AB ==则()P B A = 0.4 .
3.设A , B 相互独立，6.0)(,3.0)(==B P A P 。

则=-)(B A P ,=+)(B A P 。

4.设随机变量X
则=a ,=≤}1{2X P _______________.
5.设随机变量X 在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为 .
6.设随机变量~(1,4)X N ，则
1
~2
X - .
7.已知=<=<}|{|,2.0}{),,0(~2a X P a X P N X 则且σ 。

8.设二维随机变量),(Y X 服从区域11,20:≤≤-≤≤y x D 上的均匀分布，则),(Y X 的联合密度函数=),(y x f ,X 的边缘概率密度函数=)(x f X 。

9.设二维随机向量(X ,Y )的概率密度函数为
(),0,0(,)0
,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞
=⎨⎩其它
则EX = .
10.~(4)X P ，由切比雪夫不等式有(|4|6)P X -<≥__ ___.
11.设2),(,4,9-===Y X Cov DY DX ,则=-+)32,1(Y X Cov ,
=+-)12(Y X D ,X 与Y 的相关系数=XY ρ .
12.设样本
n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自总体
X ,2~(,)X N μσ,则
~)(1
1
2
2∑=-n
i i X μσ , ~)(1112∑=--n
i i X X n .
13.设总体的样本，是来自X X X X N X n ,,,),,(~212 σμ为样本均值，X 2S 为样本方
差
.
α
μσ-12的，则若已知置信水平的置信区间
为 ;αμσ-12的，则若未知置信水平的置信区间为 。

14.在假设检验中，若拒绝原假设0H ，则可能犯第 类错误;若接受原假设
0H ，则可能犯第 类错误。

15.样本n X X X ,,,21 来自总体),(2σμN ,2σ已知,检验00:μμ=H ,应采用统计量 .
二. 单选 1. 设A B ⊂，则下面正确的等式是 ( ).
A.)(1)(A P AB P -=
B.)()(B P B A P =+
C.)()(A P AB P =
D.)()()(B P A P B A P -=
2.当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是( ).
A.1)()()(-+≤B P A P C P P (C )
B.1)()()(-+≥B P A P C P
C.)()(AB P C P =
D.)()(B A P C P =
3.下列函数可作为概率密度的是 ( ).
A.||(),x f x e x R -=∈
B.2
1
(),(1)
f x x R x π=∈+
C.2
2,0,()0,0;
x
x f x x -⎧≥=<⎩
D.1,||1,
()0,|| 1.
x f x x ≤⎧=⎨>⎩
4.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且满足},2{}1{2===X P X P 则λ的值为 ( ). A .1 B .2 C .4 D .8.
5.设X ~B (10,
31
), 则=)
()(X E X D ( ). A.3
1 B.3
2
C.1
D.
3
10
6.下式中错误的是 ( ).
A . ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+
B . (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅
C . ])([2
1
),(DY DX Y X D Y X Cov --+=
D . ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=-
7.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为2
1的指数
分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n
i i X n 1
1近似服从 ( ).
A.N(2，4)
B.N(2，n 4
) C.N(n
41,21) D.N(2n,4n)
8.设n X X X ，，，...21是来自总体X 的一个样本，μ=EX ,2σ=DX ,X 为样本均值，
且未知，∑=-=n i i n
X X n S 1
22)(1,则=)(2
n S E （ ）
A .2σ
B .
2
1σn
n - C . 21
σ-n n
D .μ
三.计算
1.某厂由甲, 乙, 丙三个车间生产同一种产品, 它们的产量之比为3:2:1, 各车间产品的不合格率依次为8%, 9%, 12%.现从该厂产品中任意抽取一件, 求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品, 求它是由甲厂生产的概率.
2.罐中有2 个红球，3个白球，不放回地每次任取一球，直到取得红球为止。

(1)X 表示抽取的次数，求X 的分布律，并计算{}31≤<X P ; (2)取到的白球个数Y 的概率分布 .
3.设随机变量X 的密度函数为()f x =πcos ,20,a x x ⎧
≤⎪
⎨⎪⎩其他, 求：(1)常数a ；
(2)π0;4P X ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭ (3)X 分布函数()F x .
4.设某顾客在银行窗口等待服务的时间X (单位：分钟)的密度函数为：
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-.0,0,0,51)(5x x e x f x
若若
该顾客在窗口等待服务, 若超过10分钟, 他就离开.
(1)求他离开的概率；
(2)他每月需要去银行4次, 以Y 表示一个月中他未等到服务而离开的次数, 求
DY EY ,.
5..设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为
()240,0(,)0
x y Ce
x y f x y -+⎧>>⎪=⎨
⎪⎩其它
求:(1)C ; (2)}{X Y P ≤; (3)边缘密度)(),(y f x f Y X ，并讨论X 与Y 是否相互独立。

6.已知二维随机变量),(Y X 的联合分布为
求：(1) XY Z =的概率分布；(2)DY DX ,；(3)),(Y X Cov 。

7.设二维随机变量(X , Y )在以(0, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 求Cov (X , Y ), ρXY .
8.以1001,X X 记100袋额定重量为25（kg ）的袋装肥料的真实的净重，
.100,2,1,1)(),(25)( ===i X D kg X E i i 1001,X X 服从同一分布，且相互独立。

∑==100
11001i i X X ，求}25.2575.24{≤≤X P 的近似值。

9.设总体X 概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其他,
010,1x x x f θθ，其中参数0>θ且未知，
设n X X X ,,,21 为总体的一个样本, n x x x ,,,21 是样本值，求θ的极大似然估计值。

10今对某种疾病患者16人测其脉搏，算得平均脉搏为69.5,标准差为6，设患者的脉搏次数X 服从正态分布),(2σμN .试在05.0=α下检验: (1)患者的平均脉搏是否为72次? (2)患者脉搏的标准差是否为5次? 0.0250.0250.05
0.05
((15)
2.1315,(16) 2.1199,(15)
1.7531,(16) 1.
7459;t t t t ==== 20.025(15)27.488χ=；210.025(15) 6.262χ-=；2
0.025(16)28.845χ=；210.025(16) 6.908χ-=）。