2.1 离散型随机变量及其分布列(课程教案)

2.1 离散型随机变量及其分布列（课程教案）
若随机变量X 只可能取有限个或可列个值，称这种随机变量为离散型随机变量(discrete random variable).
定义2.3 设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x n ，且X 取这些值的概率为：P (X k = x k ) = p k (k = 1，2，…，n ，…)，则称上述一系列等式为随机变量X 的概率分布(或分布律
由概率的定义知，离散型随机变量X 的概率分布具有以下两个性质：
(1) p k ≥ 0，(k = 1，2，…) （非负性）
(2) 1=∑k k p
（归一性）
这里当X 取有限个值n 时，记号为n k 1=∑，当
X 取无限可列个值时，记号为∞
=∑1k . 例1中X 的分布率为
例2 P54 例2
简介离散型随机变量的线条图和概率直方图.(P28)
下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布（简称分布）。

1．二项分布
设实验E 只有两个可能的结果：成功和失败，或记为A 和A ，则称E 为伯努利（Bernoulli ）实验。

将伯努利实验独立重复地进行n 次，称为n 重伯努利实验。

设一次伯努利实验中，A 发生的概率为p （0<p<1），又设X 表示n 重伯努利实验中A 发生的次数，那么，X 所有可能取的值为0，1，2，…，n ,且
k n k k n q p C k X P -==}{，(k = 0，1，2，…，n )。

易知：
(1) 0}{≥=k X P
(2) 1)1()1(}{00=-+=-==∑∑=-=n k n k n k k n n k p p p p C
k X P
所以，k n k k n q p C k X P -==}{，(k = 0，1，2，…，n )是X 的分布律。

定义 2.4 如果随机变量X 所有可能取的值为0，1，2，…，n ，它的分布律为
k n k k n p p C k X P --==)1()(，(k = 0，1，2，…，n )，其中0 < p < 1为常数，则称X 服从
参数为n ，p 的二项分布(the Binomial Distribution)，记为X ～B (n ，p )。

二项分布是一种常用的离散型分布，例如，
检查10个产品，不合格产品的个数),10(~p B X ，其中p 为不合格率；
调查50个人，患色盲的人数),50(~p B Y ，其中p 为色盲率；
射击4次，射中的次数),4(~p B Z ，其中p 射中率；等等。

当n = 1时，k n k p p k X P --==)
1()(，k =0,1。

或写成
此时称，X 服从参数为p 的两点分布（伯努利分布）。

例3 P54 例1
2 几何分布(Geometry distribution)（机动）
从一批次品率为p （01p <<）的产品中逐个地随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止。

设检验的次数为X ，则X 可能取的值为1，2，3，…, 其概率分布为：
,....)2,1(,)1()(1=-==-k p p k X P n ，
称这种概率分布为几何分布。

3 超几何分布(Super geometry distribution)
设一批产品共有N 个，其中有M 个次品，现从中任取n 个（n N M ≤-）,则这n 个产品中所含的次品数X 是一个离散型随机变量，X 所有可能的取值为0，1，2，…，j , ( 其中{}min ,j M n =)，其概率分布为：
n N k n M N k M C C C k X P /)(--== （k =0,1,2,…, j ）
， 称之为超几何分布。

作业和思考题： 作业：
思考题：。