2.1 离散型随机变量及其分布列(课程教案)
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2.1 离散型随机变量及其分布列(课程教案)
若随机变量X 只可能取有限个或可列个值,称这种随机变量为离散型随机变量(discrete random variable).
定义2.3 设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,…,x n ,且X 取这些值的概率为:P (X k = x k ) = p k (k = 1,2,…,n ,…),则称上述一系列等式为随机变量X 的概率分布(或分布律
由概率的定义知,离散型随机变量X 的概率分布具有以下两个性质:
(1) p k ≥ 0,(k = 1,2,…) (非负性)
(2) 1=∑k k p
(归一性)
这里当X 取有限个值n 时,记号为n k 1=∑,当
X 取无限可列个值时,记号为∞
=∑1k . 例1中X 的分布率为
例2 P54 例2
简介离散型随机变量的线条图和概率直方图.(P28)
下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布(简称分布)。
1.二项分布
设实验E 只有两个可能的结果:成功和失败,或记为A 和A ,则称E 为伯努利(Bernoulli )实验。
将伯努利实验独立重复地进行n 次,称为n 重伯努利实验。
设一次伯努利实验中,A 发生的概率为p (0<p<1),又设X 表示n 重伯努利实验中A 发生的次数,那么,X 所有可能取的值为0,1,2,…,n ,且
k n k k n q p C k X P -==}{,(k = 0,1,2,…,n )。
易知:
(1) 0}{≥=k X P
(2) 1)1()1(}{00=-+=-==∑∑=-=n k n k n k k n n k p p p p C
k X P
所以,k n k k n q p C k X P -==}{,(k = 0,1,2,…,n )是X 的分布律。
定义 2.4 如果随机变量X 所有可能取的值为0,1,2,…,n ,它的分布律为
k n k k n p p C k X P --==)1()(,(k = 0,1,2,…,n ),其中0 < p < 1为常数,则称X 服从
参数为n ,p 的二项分布(the Binomial Distribution),记为X ~B (n ,p )。
二项分布是一种常用的离散型分布,例如,
检查10个产品,不合格产品的个数),10(~p B X ,其中p 为不合格率;
调查50个人,患色盲的人数),50(~p B Y ,其中p 为色盲率;
射击4次,射中的次数),4(~p B Z ,其中p 射中率;等等。
当n = 1时,k n k p p k X P --==)
1()(,k =0,1。
或写成
此时称,X 服从参数为p 的两点分布(伯努利分布)。
例3 P54 例1
2 几何分布(Geometry distribution)(机动)
从一批次品率为p (01p <<)的产品中逐个地随机抽取产品进行检验,验后放回再抽取下一件,直到抽到次品为止。
设检验的次数为X ,则X 可能取的值为1,2,3,…, 其概率分布为:
,....)2,1(,)1()(1=-==-k p p k X P n ,
称这种概率分布为几何分布。
3 超几何分布(Super geometry distribution)
设一批产品共有N 个,其中有M 个次品,现从中任取n 个(n N M ≤-),则这n 个产品中所含的次品数X 是一个离散型随机变量,X 所有可能的取值为0,1,2,…,j , ( 其中{}min ,j M n =),其概率分布为:
n N k n M N k M C C C k X P /)(--== (k =0,1,2,…, j )
, 称之为超几何分布。
作业和思考题: 作业:
思考题:。