转动惯量理论力学

角用α，β，γ表示 （如图14）。
z
刚体对轴OL的转动惯量
式中
J mrL2
rL2 (OA)2 (OB)2
其中OB是矢 r =OA 在轴OL上的投影。 由矢量投影定理得
OB x cos y cos z cos
因 ( OA )2 x2 y2 z2 ，故
L α B rL A
O
β
y
J x mrx2 m( y2 z2 )
J y mry2 m(z2 x2) J z mrz2 m(x2 y2)
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
O
z
rz
y
x
x y
图1
在国际单位制中，转动惯量的常用单位是kg·m2 。
转动惯量
§1 转动惯量的概念
2.回转半径
刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一 个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径。因此，有关系式
z
Jz , m
J z mz2
可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变 这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转 半径。
解：取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是
dm
m πr2
2πd
2m r2
d
对轴z的转动惯量元素是
dJ z
(dm)
2
2m r2
3d
于是，求得圆盘对轴z转动惯量
y
r
ζ
O
x
Jz
r 0
2m r2
3d
m 2r2
4
r 0
1 mr2 2
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
Jx
J
y
1 2
Jz
1 4
mr2
J
z
1 2
图7
得知
2d (
mi y) 2d (
m i
)
yC
转动惯量
§3 转动惯量的平行轴定理
Jz mi (x2 y2) mi x2 ( y d )2
mi (x2 y2) 2( mi y)d ( mi )d 2
2d (
mi y) 2d (
m i
)
yC
在实际应用中，常令轴 z′通过质心C，
10） 。已知杆长l，质量是m1；圆盘半径是r，质量是m2。求摆对通 过杆端O并与圆盘面垂直的轴z的转动惯量。
解： Jz J1 J2
1 12
m1l
2
m1
(
l 2
)2
1 2
m2r
2
m2
(
r
l
)2
1 3
m1l 2
1 2
m2
(3r2
4rl
2l2 )
O
l
C1
A r
C2
图 10
转动惯量
例题5
§3 转动惯量的平行轴定理
刚体对轴z的转动惯量，是刚体内所有各点的质量与其对该轴 的转动半径的平方的乘积的总和（如图1）。
z
可以表示为
J z mrz2
可见，转动惯量永远是正值。
rz A
对于质量连续分布刚体： J z srz2dm
影响转动惯量大小的因素。
● 整个刚体质量的大小。 ● 刚体各部分的质量分布。
O
z
rz
y
x
于是，刚体对轴OL的转动惯量是
J mrL2 m( y2 z2) cos2 m(z2 x2 ) cos2
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos
（a）
2mzx cos cos 2mxy cos cos
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
dx
匀质细长直杆对轴z的转动惯量是
l
Jz
l
2 l
2
m l
x2dx
m l
x3 3
2 l
1 ml2 12
2
z
l/2
x dx
C x
l
图4
Jz
1 12
ml2
转动惯量
例题1
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
例题2 已知匀质矩形薄平板的质量是m，边长为a和b（如图5），求 这薄板对垂直板面中心 C 的轴z转动惯量。
mr2
图6
转动惯量
例题3
转动惯量
§3 转动惯量的平行轴定理
转动惯量
§3 转动惯量的平行轴定理
设刚体的质量为m，对轴 z′的转动惯量是 J。z 轴z与轴z′相平行且相
距d。求此刚体对轴z的转动惯量。取坐标系如图所示，令 OO ，d 轴y重
合于轴 y′ 。
设刚体内任一质点A的质量是mi，则刚体对轴z的转动惯量是
解： 由图可见，矩形板在y方向的尺寸a不影响Jy，故可利用上例的结果。
J
y
1 12
mb2
y
dx
类似地可得
Jx
1 12
ma2
利用
Jz Jx Jy
a
C
x
薄板的极转动惯量为
Jz
Jx
J
y
1 12
(a2
b2 )
转动惯量
b 图5
z
l/2
x dx
C
l
x
例题2
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
例题 3 已知匀质薄圆盘的半径是r，质量是m （如图6） ，求它 对垂直于盘面质心轴Oz的转动惯量。
因而yC′=0。于是得关系式
J z JCz md 2
z′ z
d
A
C
O' O
z
y′
x
y
y
x′ x
图7
即，刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行且通过质心的轴的 转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积。这就是转动 惯量的平行轴定理。
转动惯量
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 4
1. 已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。
解：取圆柱上由两个平行底面的截面所截出的薄圆盘作为单元体。
此薄圆盘对于轴x的转动惯量等于
z
d
Jx
r2
d 4
m
dm
z2
其中薄圆盘的质量
x
dm m dz l
dz
C
z
y
图 13
转动惯量
例题 6
§3 转动惯量的平行轴定理
整个圆柱体对于轴x的转动惯量是
J x
(v) d J x
l
2 l
2
(
r2 4
z2)
γ
x
图 14
rL2 (x2 y2 z2 ) (x cos y cos z cos )2
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 rL2 (x2 y2 z2 ) (x cos y cos z cos )2 考虑到 cos2 cos2 cos2 1 ，有
Jz mi (x2 y2) mi x2 ( y d )2
z′ z
mi (x2 y2) 2( mi y)d ( mi )d 2
d
A
上式右端第一项就是 Jz′ ，第三项是(∑mi)d 2，至
C O' O
z
y′
于第二项，根据质心C坐标公式
x
y
yC
mi yi mi
y x′ x
思考题 1 钟摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆环组成（如图
11） 。已知杆长l，质量是m1；环质量是m2。求摆对通过杆端O并与 圆环面垂直的轴 Oz 的转动惯量。
解： J z J1 JR Jr
J1
1 12
m1l 2
m1
(
l 2
)2
JR
1 2
(
π(
m2 R2
r2)
πR2)
R2
(
π(
m2 R2
分别是刚体对轴 x，y 和 z 的转动惯量。
（a）
(1)
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
J mrL2 m( y2 z2 ) cos2 m(z2 x2 ) cos2
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos
（a）
2mzx cos cos 2mxy cos cos
x
z
L
L′
d
O
A
y
图 15
J J x cos2 J y cos2 J z cos2 2J yz cos cos 2J zx cos cos 2J xy cos cos
再应用转动惯量的平行轴定理，即可求出刚体对任意轴的转动惯量。
转动惯量
刚体对任何轴的转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
转动惯量
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
下面举例说明一些简单形状匀质刚体的转动惯量的积分计算方法。
例题1 已知匀质细长直杆的质量是m，长度是l（如图4），求它 对于过质心C且与杆相垂直的轴 z 的转动惯量。
解：在杆沿轴线x上任一小段dx，其质
量 m dx，对轴z的转动惯量元素是 l
dJ z
x2
m l
解： J z1 JCz md 2
J z1
1 12
ml2
m( l )2 2
1 ml2 3
z1
z
A
l/2
C
l
图8
2. 已知半径r，质量是m。求通过点A并与质心轴z平行的轴z1的转动惯量。
解：
J
z1
1 2
mr2
mr2
3 2
mr2
z1
z
A
C
转动惯量
图9
例题4
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 5 冲击摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆盘组成（如图
式中
J yz myz
惯性积
J zx mzx
(2)
J xy mxy
分别称为刚体对轴y和z、对轴z和x以及对轴x和y惯性积。
惯性积也可用转动惯量的同样单位计算，它的大小也决定于刚体 的质量、质量分布以及坐标轴位置这三个因素。但是，惯性积可正、 可负，也可以等于零（转动惯量永远是正）。
转动惯量
J x my2
z
此时有
J y mx2
Jz m(x2 y2 )
Jz Jx Jy
y
O
rA x
y
x
图3
薄板对与板面垂直的轴的转动惯量，称为薄板的极转动惯量。上式 指出，薄平板的极转动惯量，等于薄板对板面内与极轴z共点并相互正 交的任意两轴的转动惯量之和。
转动惯量
转动惯量
§2 简单形状匀质刚体 的转动惯量
r2)
πR2)(R
l)2
Jr
1 2
(
π(
m2 R2
r2)
πr2 )
r2
(
π(
m2 R2
r2)
πr2 )(R
l)2
Jz
1 3
m1l
2
m2
[(
1 2
(
R
2
r2 ) （r
l）2 ]
O
l
C1
A
r
R C
图 11
转动惯量
思考题 1
§3 转动惯量的平行轴定理
思考题 2 匀质曲杆OAB如图12所示 。已知质量是m，求曲杆对 通过杆端O并与曲杆面垂直的轴 O z 的转动惯量。
mdzБайду номын сангаасl
1 mr2 1 ml2
4
12
x
同理可以求得
Jy
Jz
1 4
mr2
1 12
ml 2
z
dz
C
z
y
图 13
转动惯量
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量· 惯性积和惯性主轴
惯性积 刚体对任意轴的转动惯量 惯性主轴
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标轴x，y，z的交
转动惯量
§1 转动惯量的概念
3.转动惯量的一般表达式
取固连于刚体的坐标Oxyz，设刚体内任一质点A的坐标是（x，y，z），
用rz表示点A到轴z的距离，则
rz2 x2（如y图2 2）。
故得刚体对轴z的转动惯量的计算式
z
J z mrz2 m(x2 y2 )
同理，可得刚体对轴x和轴y的转动惯量 计算式，合并写成
J mrL2 m( y2 z2 ) cos2 m(z2 x2 ) cos2
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos
2mzx cos cos 2mxy cos cos
式中
J x m( y2 z2)
J y m(z2 x2)
Jz m(x2 y2)
rL2 (x2 y2 z2 )(cos2 cos2 cos2 ) (x cos y cos z cos )2
( y2 z2 )cos2 (z2 x2 )cos2 (x2 y2 )cos2
2 yz cos cos 2zx cos cos 2xy cos cos
惯性主轴 J J x cos2 J y cos2 J z cos2 2J yz cos cos 2J zx cos cos 2J xy cos cos
x y
图1
● 转轴的位置。
转动惯量
§1 转动惯量的概念
J z mrz2
J z srz2dm
影响转动惯量大小的因素。 z
● 整个刚体质量的大小。
● 刚体各部分的质量的分布。
● 转轴的位置。
rz A
所以，当谈到刚体的转动惯量时，应指出它 是对哪个轴来说的。
刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量。
动力学
§1 转动惯量的概念
转
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
动
惯
§3 转动惯量的平行轴定理
量
§4 刚体对任意轴的转动惯量
§5 质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定
转动惯量
目录
转动惯量
§1 转动惯量的概念
转动惯量的概念 回转半径 转动惯量的一般表达式 极转动惯量
转动惯量
§1 转动惯量的概念
1.转动惯量的概念
解： J z JOA J AB
J
OA
1 3
(
m a
b
a)a2
J
AB
1 12
(
a
m
b
b)
b2
(
mb ab
)(a2
b2 4
)
O
a
C
B
A
b
图 12
转动惯量
思考题 2
§3 转动惯量的平行轴定理
例题6 求半径为r、高度是l、质量是m的匀质正圆柱对平行于 底面的质心轴Cx的转动惯量 （如图13）。
惯性积
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
J x m( y2 z2)
J y m(z2 x2) (1) Jz m(x2 y2)
J yz myz J zx mzx (2) J xy mxy
刚体对任意轴的转动惯量
把式（1）和式（2）代入（a）式最