学案4：§13.1 合情推理与演绎推理

§13.1 合情推理与演绎推理

板块一知识梳理·自主学习

必备知识

考点1合情推理

考点2演绎推理

1．定义：从出发，推出下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

2．特点：演绎推理是由的推理．

3．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点自测

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )

2．设n ∈N *，则＝( )

3．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．

4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 5．观察下列等式 1－12＝12

1－12＋13－14＝13＋14

1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …

据此规律，第n 个等式可为________．

6．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．

板块二典例探究·考向突破

考向1归纳推理

命题角度1 数字的归纳

例1“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记a n为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为()

A．528 B．1020

C．1038 D．1040

命题角度2式子的归纳

例2设函数f(x)＝x

x＋2

(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝

x

x＋2，

f2(x)＝f[f1(x)]＝

x

3x＋4，

f3(x)＝f[f2(x)]＝

x

7x＋8，

f4(x)＝f[f3(x)]＝

x

15x＋16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝________.

命题角度3图形的归纳

例3如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，－1)处标b2，点(0，－1)处标b3，点(－1，－1)处标b4，点(－1,0)处标b5，点(－1,1)处标b6，点(0,1)处标b7，…，以此类推，则b963处的格点的坐标为________．

触类旁通

归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与式子有关的归纳推理

①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． ②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

变式训练1 已知如下等式：2＋4＝6；8＋10＋12＝14＋16；18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；…以此类推，则2020会出现在第________个等式中( ) A ．30 B ．31 C ．32

D ．33

考向2 类比推理

例 4 若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫

b n ＝

a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

n

B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n

n

C ．d n ＝n c n

1＋c n 2＋…＋c n n

n

D ．d n ＝n

c 1·c 2·…·c n 触类旁通

类比推理的分类

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解； (2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键； (3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

变式训练2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c 2＝a 2＋b 2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，截面面积为S ，类比平面的结论有________．

考向3 演绎推理

例5 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

n ＋2

n S n

(n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 是等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n . 触类旁通

演绎推理的结构特点

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前