大学物理习题及解答(运动学、动量及能量)

1-1.质点在Oxy 平面内运动，其运动方程为j t i t r )219(22-+=。

求：（1）质点的轨迹方程；（2）s .t 01=时的速度及切向和法向加速度。

1-2.一质点具有恒定加速度j i a 46+=，在0=t 时，其速度为零，位置矢量i r 100=。

求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。

1-3. 一质点在半径为m .r 100=的圆周上运动，其角位置为342t +=θ。

（1）求在s .t 02=时质点的法向加速度和切向加速度。

（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？
题3解： (1)由于342t +=θ，则角速度212t dt d ==θω，在t = 2 s 时，法向加速度和切向
加速度的数值分别为 222s 2t n s m 1030.2-=⋅⨯==ωr a
2
2s t t s m 80.4d d -=⋅==t r a ω
(2)当2t 2n t 212a a a a +==时，有2n 2t 3a a
=，即 22212)24(3)r t (tr = s 29.0s 321
==t
此时刻的角位置为 rad
.t 153423=+=θ (3)要使t n a a =，则有
2212)24()t (r tr =
s .t 550=
3-1如图所示，在水平地面上，
有一横截面2m 20.0=S 的直角弯管，管中有流速为1s m 0.3-⋅=v 的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

解：在t ∆时间内，从管一端流入（或流出）水的质量为t vS m ∆=∆ρ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为
()()A B A B v v t vS v v m p -∆=-∆=∆ρ
依据动量定理p I ∆=，得到管壁对这部分水的平均冲力
()A B v v I F -=∆=Sv t ρ
从而可得水流对管壁作用力的大小为
N 105.2232⨯-=-=-='Sv F F ρ
作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。

3-2一物体在介质中按规律3ct x =作直
线运动，c 为一常量。

设介质对物体的阻力正比于速度的平方。

试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所作的功。

（已知阻力系数为k ）
解：由运动学方程3ct x =，可得物体的
速度
2
3d d ct t x v ==
按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为
3/43/242299x kc t kc kv F ===
则阻力的功为
3/73/203/43/2007
27d 9d 180cos d l kc x x kc x F W l l l -=-==⋅=⎰⎰⎰ x F
3-3一质量为kg 20.0的球，系在长为m 00.2的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。

把小球移至使细绳与竖直方向成 30角的位置，然后由静止放开。

求：（1）在绳索从 30角到 0角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位
置时的张力。

解：（1）如图所示，重力对小球所作
的功只与始末位置有关，即
()J 53.0cos 1=-=∆=θmgl h P W P
在小球摆动过程中，张力F T 的方
向总是与运动方向垂直，所以张力
的功
0d T T =⋅=⎰s F W
（2）根据动能定理，小球摆动过
程中，其动能的增量是由于重力对它作功的结果。

初始时动能为零，因而，在最低位置时的动能为
J 53.0P
k ==W E
小球在最低位置时的速率为 1
P k s m 30.222-⋅===m W m E v
（3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可得 l mv P F 2
T =- N 49.22
T =+=l mv mg F
3-4一质量为m 的质点，系在细绳的一
端，绳的另一端固定在平面上。

此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动。

设质点的最初速率是0v 。

当它运动一周时，其速率为2/0v 。

求：（1）摩擦力作的功；（2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？
解：（1）摩擦力作功为
20202k0k 832121mv mv mv E E W -=-=-= （1）
（2）由于摩擦力是一恒力，且
mg F f μ=，故有
mg r F W μπ2180cos fs -== （2）
由式（1）、（2）可得动摩擦因数为
rg v πμ16320=
（3）由于一周中损失的动能为2083mv ，则在
静止前可运行的圈数为
圈34k0==W E n
3-5如图所示，质量为m 、
速度为v 的钢球，射向质量为
m '的靶，靶中心有一小孔，内
有劲度系数为k 的弹簧，此靶
最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：以小球与靶组成系统，设弹簧的最大压缩量为x 0，小球与靶共同运动的速率为v 1。

由动量守恒定律，有
()1
v m m mv '+= （1）
又由机械能守恒定律，有 ()20212212121kx v m m mv ++'= （2）
由式（1）、（2）可得 ()v m m k m m x '+'=0
3-6以质量为m 的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由v 减少到2/v 。

已知摆锤的质量为m '，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸
的速度的最小值应为多少？
解：取弹丸与摆锤所成系统。

由水平方向的动量守恒定律，有
v m v m mv ''+=2 （1） 为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高时，摆线中的张力0T
=F ，则
l v m g m 2h ''=' （2） 式中h v '为摆锤在圆周最高点的运动速率。

又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中，满足机械能守恒定律，故有
2h 221221v m gl m v m ''+'=''
（3）
解上述三个方程，可得弹丸所需速率的最小值为
gl m m v 52'=
3-7质量为kg .231027-⨯，速率为171006-⋅⨯s m .的粒子A ，与另一个质量为其一半而静止的粒子B 发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A 的速率为1
71005-⋅⨯s m .，求：（1）粒子B 的速率及相对
粒子A 原来速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏转角。

解：取如图所示的坐标，由于粒子系统属于斜碰，在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式，有
αβcos cos 2A B A v m v m mv '+= （1）
αβsin sin 20A B v m v m '-= （2）
又由机械能守恒定律，有
2A 2B 2A 2122121v m v m mv '+⎪⎭⎫ ⎝⎛= （3）
解式（1）、（2）、（3）可得碰撞后B 粒子的速率为 ()
172A 2A B s m 1069.42-⋅⨯='-=v v v
各粒子相对原粒子方向的偏角分别为 65443arccos ,022243arccos A B A A 2A 2A '=='=''+= v v v v v v βα
3-8如图所示，一个质量为m
的小球，从内壁为半球形的容器边
缘点A 滑下。

设容器质量为m
′，
半径为R ，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽
略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。

当小球沿内壁滑到容器底部的点B 时，小球和容器的速度各是多少？
解：根据水平方向动量守恒定律（将小球与容器视为系统）以及小球在下滑过程中机械能守恒定律（将小球、容器与地球视为系统）可分别得
0m m ='-'
v m mv （1） mgR v m mv ='+'2m 2m 2121 （2）
式中v m 、v m '分别表示小球、容器相对桌面的速度。

由式（1）、（2）可得小球到达容器底部时小球、容器的速度大小分别为
m m gR m v m +''=
2 m m gR
m m m v m +'''='2
补充：
练习四 动量 角动量
一.选择题
1. 质量为m 的铁锤竖直落下,打在木桩上并停下,设打击时间为∆t ,打击前铁锤速率为v ,则在打击木桩的时间内,铁锤所受平均合外力的大小为
(A) mv/∆t .
(B) mv/∆ t －mg .
(C) mv/∆ t ＋mg .
(D) 2mv/∆t .
2. 如图4.2所示，摆线长为l 的圆锥摆,摆球质量为m ，速率为
v ,圆半径为R ,设摆球对中心轴的角动量为L z ,摆球所受重力矩在中
心轴上的投影为M z ,摆球在轨道上运动半周过程中，摆球所受重力
冲量的大小为I ;则L z 、M z 、I 分别为
4.2
(A) mvR ,mgR ,2mv .
(B) mvl ,mgl ()()222v R mg mv π+.
(C) mvR , 0, πRmg/ v .
(D) mvl ,mgR , 0.
3.如图
4.3所示，一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上，在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块的冲量
(A) 水平向前.
(B) 只可能沿斜面向上.
(C) 只可能沿斜面向下. (D) 沿斜面向上或沿斜面向下均有可能.
4. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍,开始时粒子A 的速度为(3i +4j ), 粒子B 的速度为(2i －7j ),由于两者的相互作用, 粒子A 的速度变为(7i －4j ),此时粒子B 的速度等于
(A) 2i －7j .
(B) i －5j .
(C) 0.
(D) 5i －3j .
5. 如图4.4所示,一水平刚性轻杆,质量不计，杆长l =20cm ，其上穿有两个小球.初始时,两小球相对杆中心O 对称放置,与O 的距离d =5cm ，二者之间用细线拉紧.现在让细杆绕通过中心O 的竖直固定轴作匀角速的转动,转速为ω 0，在烧断细线让两球向杆的两端滑动.不考虑转轴的摩擦和空气的阻力,当两球都滑至杆端时,杆的角速度为 (A) ω 0. (B) 2ω 0. (C) ω 0/2 .
(D) ω 0/4.
二.填空题
1. 水流流过一个固定的涡轮叶片 ,如图4.5所示. 水流流过
叶片前后的速率都等于v ,每单位时间流向叶片的水的质量保持
不变且等于Q , 则水作用于叶片的力大小为 ,方向
为 .
2. 如图4.6所示，两块并排的木块A 和B,质量分别为m 1
和m 2,静止地放在光滑的水平面上,一子弹水平地穿过两木块,设
子弹穿过两木块所用的时间分别为∆t 1和∆t 2, 木块对子弹的阻力
为恒力F ,则子弹穿出后, 木块A 的速度大小为 , 木
块B 的速度大小为 .
3. 在光滑的水平面上，一根长L =2m 的绳子，一端固定于
O 点，另一端系一质量为m =0.5kg 的物体，开始时，物体位于
位置A ，OA 间距离d =0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以
初速度v A =4m /s 垂直于OA 向右滑动，如图4.7所示，设在以后
的运动中物体到达位置B ，此时物体速度的方向与绳垂直，则此
时刻物体对O 点的角动量的大小L B = ，物
体速度的大小v B = .
图
4.3 图
4.5 4.6
图4.4
图4.7
三.计算题
1. 如图4.7,用传送带A 输送煤粉, 料斗口在A 上方高h =0.5m 处, 煤粉自料斗口自由落在A 上,设料斗口连续卸煤的流量为q m =40kg/s,A 以v =
2.0m/s 的水平速度向右移动,求装煤的过程中, 煤粉对A 的作用
力的大小和方向(不记相
对传送带静止的煤粉质量). 2. 如图 4.8,质量为M =1.5kg 的物体,用一根长为l =1.25m 的细绳悬挂在
天花板上,今有一质量为
m =10g 的子弹以v 0=500
m/s 的水平速度射穿物体,刚穿出物体时子弹的速度大小v =30m/s,设穿透时间极短,求:
(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小；
(2)子弹在穿透过程中所受的冲量.
练习五 功和能 碰撞
一.选择题
1. 对于一个物体系来说,在下列条件中,哪种情况下系统的机械能守恒？
(A) 外力和非保守内力都不作功.
(B) 合外力不作功.
(C) 合外力为零.
(D) 外力和保守内力都不作功.
2. 速度为v 的子弹,打穿一块木板后速度为零,设木板对子弹的阻力是恒定的.那末,当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时,子弹的速度是
(A) v /2.
(B) v /4 .
(C) v /3.
(D) v /2.
3. 一水平放置的轻弹簧, 弹性系数为k ,一端固定,另一端系一质量为m 的滑块A, A 旁又有一质量相同的滑块B, 如图5.1所示, 设两滑块与桌面间无摩擦, 若用外力将A 、B 一起推压使弹簧压缩距离为d 而静止,然后撤消外力,则B 离开A 时
的速度为
(A) d/(2k ). (B) d k/m .
(C) d )(2m k/. (D) d k/m 2.
4. 倔强系数为k 的轻弹簧, 一端与在倾角为α 的斜面上的固定档板A 相接, 另一端与质量为m 的物体相连,O 点为弹簧在没有连物体长度为原长时的端点位置,a 点为物体B 的平衡位置. 现在将物体B 由a 点沿斜面向上移动到b 点(如图
5.2
所示).设a 点与O 点、a 点与b 点之间距离分别为x 1和x 2 ,则
在此过程中,由弹簧、物体B 和地球组成的系统势能的增加为
图4.7
4.8
图5.2
(A) (1/2)k x22+mgx2sinα.
(B) (1/2)k( x2－x1)2－(1/2)k x12+mgx2sinα.
(C) (1/2)k( x2－x1)2+mg(x2－x1)sinα.
(D) (1/2)k( x2－x1)2+mg(x2－x1)cosα..
5. 下列说法中正确的是：
(A) 作用力的功与反作用力的功必须等值异号.
(B) 作用于一个物体的摩擦力只能作负功.
(C) 内力不改变系统的总机械能.
(D) 一对作用力和反作用力作功之和与参照系的选取无关.
二.填空题
1. 一质点在二恒力的作用下, 位移为∆r=3i+8j (SI), 在此过程中,动能增量为24J, 已知其中一恒力F1=12i－3j (SI), 则另一恒力所作的功为.
2. 一长为l, 质量为m的匀质链条,放在光滑的桌面上,若其长
3. 如图5.3所示,倔强系数为k的弹簧, 上端固定, 下端悬挂重
物. 当弹簧伸长x0 , 重物在O处达到平衡, 现取重物在O处时各
种势能均为零, 则当弹簧长度为原长时, 系统的重力势能
为, 系统的弹性势能为,系统的
总势能为.
图5.3。