判断向量组线性相关性的若干方法

判断向量组线性相关性的若干方法
李德琼, 谢小良, 王仲梅
(湖南工商大学 数学与统计学院, 湖南 长沙 410205)
摘 要: 向量组的线性相关性是线性代数理论中一个基本且重要的内容, 它与矩阵、向量空间等概念具有紧密的联系. 向量组线性相关性的判断方法是灵活多变的. 给出判断向量组线性相关性的若干方法, 并从不同的角度, 采用不同的方法判断向量组的线性相关性, 从而提高学生理解和应用知识的能力.
关键词: 向量组; 线性相关; 线性无关; 判定方法
中图分类号: O151.2 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2021)01-0014-03
Several Methods for Linear Correlation Judgment of
Vector Groups
LI Deqiong, XIE Xiaoliang, WANG Zhongmei
(School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Technology and Business, Changsha 410205, China)
Abstract : Linear interrelationship of a vector group is a basic and important context in linear algebra theory, and it is closely linked with matrix and vector space theory. As the methods of linear correlation judgment of a vector group are flexible and variable, several methods to solve linear correlation judgment problems are given. Moreover, based on the comparative analysis of various methods, students are able to promote and enhance comprehensive ability to solve problems.
Key words : vector group; linear dependence; linear independence; judgment methods
向量组的线性相关性[1~3]是线性代数学习的重点和难点, 向量组相关性的判断方法很多, 针对不同的问题可以采用不同的方法判断其线性相关性[4~6]. 本文针对向量组线性相关性的判定方法进行分析, 为广大学生学习线性代数理论提供参考.
1 向量组线性相关性的定义及判断方法
1.1 定义
设n 维向量组为12,,,s ααα , 若存在一组不全为零的数12,,,s k k k 使得1122s 0s k k k ααα+++= , 则称向量组12,,,s ααα 是线性相关的; 若1122s 0s k k k ααα+++= 当且仅当120s k k k ==== , 则称向量组12,,,s ααα 是线性无关的.
1.2 判断方法
判断向量组线性相关性的常见方法有:
(1) 利用定义判断
(2) 利用齐次线性方程组的解判断
若向量组12,,,s ααα 的分量都已知, 则可以12,,,s ααα 为系数建立齐次线性方程组
11220s s x x x ααα+++= , 如果该方程组存在非零解, 则此向量组12,,,s ααα 线性相关; 反之, 若齐次线性方程组只有零解, 则此向量组线性无关.
(3) 利用行列式判断
当向量组中向量的个数和维数相等时, 此向量组可以构成一个方阵. 如果该方阵的行列式不等于零, 则此向量组线性无关; 反之, 线性相关.
收稿日期: 2020-07-12
基金项目: 湖南省教育厅优秀青年项目(19B313); 湖南省学位与研究生教育改革研究重点项目(2019JGZD077); 湖南省普通高校教学改革研究项目(HNJN-2020-0632)
作者简介: 李德琼, 女，博士, 讲师. 主要研究方向: 图论及其应用
第34卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.34 No.1 2021年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2021
第1期 李德琼, 等: 判断向量组线性相关性的若干方法 15
(4) 利用矩阵的秩判断
向量组12,,,s ααα 构成一个矩阵, 对该矩阵进行初等变换, 如果矩阵的秩等于向量组中向量的个数, 则向量组线性无关; 否则, 线性相关.
(5) 一些特殊的简单判断方法
① 包含零向量的向量组一定线性相关.
② 向量组中向量的个数大于维数时, 向量组线性相关.
③ 若向量组中有一个部分组线性相关, 则该向量组线性相关; 反之, 若向量组线性无关, 则其任意的部分组都线性无关.
2 向量组线性相关性判断典型例题
下面举例进行详细说明.
例1 判断向量组1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=, 3(0,0,1)α=, 4(1,0,1)α=的线性相关性. 解 方法一. 易知123400αααα--+=, 利用定义可知1234,,,αααα线性相关.
方法二. 设未知量123,,x x x 和4x , 建立齐次线性组112233440x x x x αααα+++=, 则有12412134
0,0,
0.x x x x x x x x ++=⎧⎪
+=⎨⎪++=⎩显然, 1231,1,1,x x x ==-=-40x =是方程组的一组非零解, 故1234,,,αααα线性相关.
方法三. 向量组1234,,,αααα构成矩阵12
341101(,,,)11001011T T T T
A αααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
. 对A 做初等变换将其化为阶梯形矩阵:
110111011100011010110001A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
所以矩阵A 的秩()3R A =, 矩阵A 的秩小于向量组中向量的个数, 故向量组1234,,,αααα线性相关. 方法四. 向量组中有4个向量, 而向量的维数是3, 向量的个数大于维数, 故向量组1234,,,αααα线性相关.
例2 若4维向量组1234,,,αααα线性无关, 判断向量组112223,βααβαα=+=+, 334,
βαα=+
441βαα=+的线性相关性.
解 方法一. 设存在常数1234,,,k k k k , 使得112233440k k k k ββββ+++=, 则有141122()()k k k k αα++++ 233344()()0.k k k k αα+++= 由1234,,,αααα线性无关, 得141223340,0,
0,0.
k k k k k k k k +=⎧⎪
+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 显然, 12341,1,1,1
k k k k ==-==-是方程组的一组非零解. 因此, 向量组1234,,,ββββ线性相关.
方法二. 由于
1234123410011
100()()01100011B AP ββββαααα⎛⎫
⎪
⎪
=== ⎪
⎪
⎝⎭
,
16 湖南理工学院学报(自然科学版) 第34卷
向量组1234,,,αααα线性无关, 故矩阵A 可逆. 而||0P =, 即矩阵P 不可逆. 于是有矩阵B 不可逆, 即矩阵B 的秩小于4, 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.
从以上两道典型例题的多种解法中可以看出, 在解题过程中, 应注重知识的前后联系, 从不同角度分析比较, 选取最优解题方法.
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(上接第6页)
证明 注意到关于s 的函数2(())(())
a b x s b a b x s s αααααα
+---+-在[,]x a b x +-上单调递减,
2(())(())
s a b x a b x s a s αααααα
-+-+--在[,]a b x x +-上单调递增, 由推论2即可得证．
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