高中数学第八章 第六节课时提升作业
课时提升作业(八) 1.6
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课时提升作业(八)余弦函数的图像与性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·宣城高一检测)已知函数f(x)=sin(x∈R),则下列结论中,错误的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增加的C.函数f(x)的图像关于y轴对称D.函数f(x)是奇函数【解析】选D.f(x)=sin=-cosx,周期为2π,在区间上是增加的,偶函数,图像关于y轴对称.【补偿训练】(2015·云南师大高一检测)函数y=sin,x∈R是( )A.上是增加的B.[0,π]上是减少的C.[-π,0]上是减少的D.[-π,π]上是减少的【解析】选B.y=sin=cosx,由余弦函数的性质可知应选B.2.(2015·桂林高一检测)已知sin<0,cos(π+θ)>0,则θ为第几象限角( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选C.sin=sinθ<0,cos=-cosθ>0,所以sinθ<0,cosθ<0,故θ为第三象限的角.3.函数f(x)=x2·cosx在区间内的图像大致为( )【解析】选B.因为f(-x)=(-x)2·cos(-x)=x2cosx=f,故函数为偶函数,排除C,D,在区间[-,]内f>0,排除A.【补偿训练】函数y=x|cosx|的大致图像是( )【解析】选A.因为函数为奇函数,当x>0时,f≥0.4.(2015·汕头高一检测)已知0≤x≤2π,若y=sinx和y=cosx都是减少的,则角x的集合是( )A. B.C. D.【解析】选B.作出两个函数在同一坐标系中的图像如图,可知两函数在区间上都是减少的.【补偿训练】满足函数y=sinx和y=cosx都是增加的区间是( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选D.由两个函数的图像可知,两个函数在,k∈Z上都是增加的.5.下列四个函数中,既是上是增加的,又是以π为周期的偶函数的是( ) A.y=sinx B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=|cosx|【解析】选B.函数y=|sinx|,y=|cosx|是以π为周期的偶函数,函数y=|sinx|在上是增加的,函数y=|cosx|在上减少的.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f=1-cosx(x∈R),取最大值时x的值是________.【解析】当cosx=-1,x=π+2kπ,k∈Z时,函数取得最大值.答案:π+2kπ,k∈Z7.(2015·南昌高一检测)已知0≤θ≤,且cosθ=a+1,则a的取值范围为________.【解题指南】先求出cosθ的范围,进而求a的范围.【解析】0≤θ≤,所以cosθ∈.所以a+1∈,所以a∈.答案:8.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图像如图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是________.【解析】因为y=cosx在上大于零,在区间上小于零,结合函数f(x)的图像可知f(x)cosx<0的解集为∪.答案:∪三、解答题(每小题10分,共20分)9.画出函数y=-3cosx+2的简图,根据图像讨论函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性.【解析】按五个关键点列表、描点,画出图像如下函数y=-3cosx+2的性质见下表10.已知函数y=acosx+b的最大值为1,最小值为-3,求函数y=asinbx的最值. 【解析】当a≥0时,解得a=2,b=-1,此时y=asinbx=-2sinx,所以y max=2,y min=-2.当a<0时,解得a=-2,b=-1,此时y=asinbx=2sinx,所以y max=2,y min=-2.综上所述,所求函数的最大值为2,最小值为-2.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数y=lo(cosx)的一个单调减区间为( )A.(-π,0)B.(0,π)C. D.【解析】选D.因为y=cosx在区间上大于零且为增函数,有复合函数的单调性可知y=lo(cosx)的一个单调减区间为.2.(2015·西安高一检测)sinπ,cosπ,π的大小关系是( )A.sinπ<π<cosπB. sinπ<cosπ<πC. cosπ<π<sinπD.cosπ<sinπ<π【解析】选D.由函数的图像可知cos=OM,sin=MP,故cosπ<sinπ<π.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2014·江苏高考)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为的交点,则φ的值是________.【解题指南】关键利用条件“图像有一个横坐标为的交点”即得sin=cos.【解析】由题意得sin=cos=,又0≤φ<π,得+φ=,得φ=.答案:4.函数y=的值域为________.【解析】y==1-,因为-1≤cosx≤1,故-2≤cosx-1≤0,故≤-,故1-≥,即函数y=的值域为.答案:【一题多解】由y=得cosx=,故-1≤≤1,解得y≥.所以值域为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.f(x)是定义在[-2π,2π]上的偶函数,当x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx;当x∈(π,2π]时,f(x)的图像是斜率为,在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.(1)求f(-2π),f的值.(2)求f(x)的解析式,并作出图像,写出其单调区间.【解析】(1)当x∈(π,2π]时,y=f(x)=x-2,又f(x)是偶函数,所以f(-2π)=f(2π)=2.又x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,所以f=f=.(2)y=f(x)=图像如图所示:单调增区间为[-π,0],(π,2π],单调减区间为[-2π,-π),[0,π].6.是否存在实数λ,使函数f(x)=2cos2x-4λcosx-1的最小值是-?若存在,求出所有的λ和对应的x值,若不存在,试说明理由.【解析】假设存在λ满足题意,则f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1,因为0≤x≤,所以0≤cosx≤1,由f(x)的最小值为-,知(1)或(2)或(3)由(1)解得λ=,此时cosx=,x=.(2)无解.(3)无解.综上所述,存在实数λ,当λ=,x=时,f(x)的最小值是-.关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学必修五课时提升作业(八)22第1课时等差数列含解析.doc
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课时提升作业（八）等差数列（25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分）l.x+1与yT 的等差中项为10,则x+y 等于（）【解析】选C.因为x+1与y-1的等差中项为10, 所以（x+l ） + （y-l ）=2X10, 所以 x+y 二20.2. （2015 -长沙高一检测）已知等差数列｛爲｝满足创二0, a 6+a 8=-10,则 &2016二（ ） A. 2014B. 2015C.-2014D. -2015【解析】选C.设等差数列｛&］的公差为d,则由已知条件可得 即裁j 解得&==-£所以数列心的通项公式为 Qn 二-n+2 ,故 32016~—2014. 【补偿训练】（2015 •吉安高二检测）在等差数列｛a 」中，若a 2=-5,&6二81+6,则 810 等于（ ）【解析】选A.由题意，得25分钟基础练＞A. 0B. 10C. 20D.不确定 A. 19B. 18C.-19D.-18严+ d = —5, 严=7 & + 5d = a 】+ 3d + 6, Id = 3,所以 a n =3n-11,所以 a w =19.3. （2015 -大连高二检测）在数列｛务｝中，屮2, 2亦一2箱1,则咖的 值为（）【解析】选A •因为2a n+-2a n =l, 所以 a n+i-a n =^,所以数列｛aj 是首项为2,公差为g 的等差数列， 所以 a ⑹二2+（101T ） X ；二52.4. （2015 •东营高二检测）首项为-24的等羌数列，从第10项起开始【误区警示】解决本题时容易忽视前9项是小于等于零的条件而选A.5•在等差数列-5, -3*, -2, W ，…中，每相邻两项之间插入一个数,使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为（）A. d>|3B. d<3 C ・？Wd 〈338D.E 〈dW33【解析】选 D ・设公差为d, a n =-24+(n-l)d.由题知I®9可得U1Q > E为正数，则公差d 的取值范围为（）得|〈dW3・A. 52B. 51C. 50D. 49—24 + 8d 吒(X —24 + 9d > 0,B. a n=-5-| (n~l)【解题指南】解答本题的关键是确定新等差数列的公差，实际上新数列的公差为原数列公差的一半.【解析】选A.首项为-5,公差为主上」，z 4“宀_匚、(八3_3 23所以a n——5+ (n—1) • —n—•4 4 4二、填空题(每小题5分，共15分)6. (2015 -五指山高二检测)已知等差数列&｝的前三项为a-1, a+1,2a+3,则此数列的通项公式为___________ ・【解析】因为a-1, a+1, 2a+3成等差数列，所以2 (a+1) -a_1 +2a+3,解得a-0.等差数列｛a」的前三项为-1,1, 3,其首项为T,公差为2,所以a n——1+ (n-1) X 2—2n—3.答案:a…=2n-37•若xHy,两个数列：x, a,, a2, a3, y 和x, b】，b2, b3, b4, y 都是等差数列，则—的值为________________________ ・【解析】设两个等差数列的公差分别为d], d2,【补偿训练】在-1和8之间插入两个数3, b(a<b),使这四个数成等即求学，由已知得答案订差数歹!b贝I」a二____ , b二________ .【解析】d二字空二3,所以a二-1+3=2, b二2+3二5・答案：2 58•在数列｛&」中，ai=3,对于任意大于1的正整数n,点(《乔、® 在直线x-y- V3=0上，则a,= __________________ ・【解析】由题意，得V^-vaT7=V3(n^2),又aF3,所以数列｛、：'瓦'｝是以\总为首项，w逗为公差的等差数列，所以、瓦"二\'3+ (n-1) X <3= v^n,所以a“二3nl答案：3n2三、解答题(每小题10分，共20分)9.在等差数列｛a」中,ai+a5=8, a4=7.(1)求数列的第10项.⑵问112是数列｛&｝的第几项?⑶数列｛a n｝从第几项开始大于30?⑷在80到110之间有多少项？【解析】设｛a」公差为d,则｛；：：；壮笄'解得占二厂(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)a n=_2+ (n_1) X 3-3n_5,由112=3n-5,解得n二39.所以门2是数列｛aj的第39项.2(3)令3n-5>30 解得n>11-,所以从第12项开始大于30.(4)由80<3n-5<110,解得1 128-<n<38-,3 3’所以n的取值为29, 30,…，38,共10项.10.一位同学喜欢观察小动物的活动规律，他观察到随着气温的升高, 一种昆虫在相等的时间内发出的碉啾声次数也在逐渐增加•下表是他记录的数据，34上方及40下方的数据变得模糊不清了•但是该同学记得气温每升高rc他观察一次，而且观察到的数据成等差数列•请你为他补好这两个数据.【解析】设昆虫阴啾声次数组成等差数列｛a」，则3i~4, 35~20,温度为34°C时，勺二a〔+6d・又因为d仝厂屯-兰二4,所以a7=4+6 X 4二28.4 4若an二40,则4+(n-1) X4=40.所以n=10,所以温度为37°C.【补偿训练】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元, 按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解析】由题意可知，设第1年获利为a1?第n年获利为a n,则a n-a n_F-20 (n^2,n£N*),每年获利构成等差数列｛a」，且首项3^200, 公差d二-20,所以a n-ai+ (n~1) d =200+ (n-1) X (-20)二-20n+220.若a n<0,则该公司经销这一产品将亏损，由a=-20n+220<0,解得n>11, 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.⑳分钟提升练'(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. (2015 •常德高二检测)已知等差数列｛a n｝的公差dHO,且a：产2a,则◎的值为()A.-B.-6 5【解题指南】由题意可得d和內的关系，可得通项公式，代入要求的式子化简.【解析】选C.因为等差数列｛a」的公差dfO,且a3=2ai,所以a3=ai+2d=2ai,所以aF2d,所以a n=2d+ (n-1)d= (n+1)d,所以比+电_加+理屯+鮎3d4?d 42. (2015 -鹰潭高二检测)如图，按英文字母表A, B, C, D, E, F, G,II,…的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“0”出现的个数为VCCC9A. 27B. 29C. 31D. 33【解析】选B.由题意可得字母A有1个，B有3个，C有5个，D有7个…，它们构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以通项公式为a n-1+2 (n_l) =2n_l,因为字母“0”在第15个，所以字母“0”出现的个数315=2X15-1=29.二、填空题(每小题5分，共10分)3•数列｛a」是等差数列，&1与出的等差中项为1, a?与％的等慕中项为2,则公差d二 __________ .【解析】由题意得81+^2二2, a2+a3=4,所以(a2+a3)-(a〔+a2)二4-2二2,所以a3-ai=2,即2d=2,所以d=1・答案：1【补偿训练】若m和2n的等差中项为4, 2m和n的等差中项为5, 则m与n的等差中项是 _______________ ・【解析】因为m和2n的等差中项为4,所以m+2n=8.因为2m和n的等差中项为5,两式相加，得3m+3n=18,即m+n二6,故m 与n 的等差中项为巴竺二E 二3.答案：34. (2015 •遵义高一检测)已知在数列｛a n ｝中，ai=-l, a n+i • a n =a n+i-a n , 则数列通项a n =【解析】由题意可知a n *0, nWN ；所以由 a n+i • a n =3n +i —3n,1 1 两边同除以a n+1 - a n ,整理得 =-1,a n^i a n 所以数列｛十］是首项为T,公差为T的等差数列，11所以一+ (n-1) X (T)二一n,所以 a n =—• a n n 答案：-丄 n【延伸探究】将木题条件改为屮1, a 24, 结果又如何?2 a 】出a n a 】*2 i 1 【解析】由已知 --- —h --- 可得 1_ 1! _________ 1 an 十』&n+i i i 公差为 ---- =2-1=1的等差数列， 1 1所以一=1 + (n-1) X 1=n,故 a n —. a n n【拓展延伸】构造辅助数列巧求数列通项公式 观察递推公式的特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题. 常用方法有: 平方法、开平方法、倒数法等•例如， 数列｛a 」中，ai-1, a n +i — ,求 3n .a (t+2此题可取倒数，构造辅助数列｛彩｝来求解1是首项为一=1 ,315. 已知数列｛a 」满足：ai=10, a 2=5, a n -a n .2=2 (neN*).求数列｛a 」的通 项公式.【解析】因为 3i —10, 32—5, a n —a n +2~2 (n £ N ),所以数列｛a 」的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列. 当 n 为奇数时，a“二ai+(—T* — 1) X (-2) =11-n, 当 n 为偶数时，a=a 2+(^- 1)X (-2)=7-n,■ 一 4 F ・为奇数* 7 - n. n 为偶数. 6. (2015 •临沂高二检测)已知数列｛a,J 中， Z 数列｛捕满足亦話(心)•(1)求证:数列｛bn ｝是等差数列. 11又 bF^-=-ai-1 所以数列｛bj 是以三为首项，以1为公差的等差数列.7 1⑵由⑴知，b n =n--,则a=1+—2如2 =1+韵，设函数f (x )h+乔7， 所以an 二3 1&i 二二，為二| (n 2 2, n ⑵求数列｛缶｝中的最大值和最小值，并说明理由.【解析】(1)因为务=2 ------ (n^2, nEN*), b n =— a n-i 1 -|i所以当 n $2 时，b n -b n -i= ----- --------1 _ a n.-i 1_d—+ S)内为减函数.易知f (x)在区间当n二4时，令取得最大值3.【补偿训练】数列｛a」满足a n+1=3a…+n(nGN*)，问是否存在适当的使其是等差数列？【解题指南】假设存在，利用等差数列的定义求解确定.【解析】假设存在这样的4满足题目条件.a n+2=3a n+i+n+1 (n G N*).所以a n+2_an+i=2a n+i+n+1,由已知a n+i=3a n+n (n G N*)可得3n+i—3n—2a n+n,所以2a n+i+n+1-2a n+n,所以a n+1-a=4，满足等差数列的定义，故假设是正确的•即存在适当—的內的值使数列｛a」为公差为冷的等差数列.由已知条件a”i二3an+n,令n二1,所以a2=3ai+1,即ai~=3ai+1,解得。
高中数学 课时提升作业 八 1.4.3
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课时提升作业八含有一个量词的命题的否定一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1D.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1【解析】选C.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.【补偿训练】命题p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则( )A.p是假命题,p:∃x 0∈[0,+∞),(log32>1B.p是假命题,p:∀x∈[0,+∞),(log 32)x≥1C.p是真命题,p:∃x 0∈[0,+∞),(log32>1D.p是真命题,p:∀x∈[0,+∞),(log 32)x≥1【解析】选C.由0<log32<1,及指数函数的性质可知:(log32)x≤1在[0,+∞)上恒成立,所以p为真,p:∃x 0∈[0,+∞),(log32>1.2.(2016·榆林高二检测)已知命题p:对∀x∈R,∃m 0∈R,使4x+2x m0+1=0.若命题p是假命题,则实数m0的取值范围是( )A.[-2,2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.[-2,+∞)【解析】选C.因为p为假,故p为真,即求原命题为真时m 0的取值范围.由4x+2x m0+1=0,得-m0==2x+≥2.所以m0≤-2.3.(2016·大同高二检测)已知命题p:∀x 1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p 是( )A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0【解题指南】全称命题的否定是特称命题.【解析】选C.因为命题p:∀x∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,所以p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.二、填空题(每小题4分,共8分)4.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是.【解析】全称命题的否定是特称命题,故原命题的否定是“存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根.”答案:存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根5.(2016·金华高二检测)命题“∃x0∈(1,2),满足不等式+mx0+4≥0”是假命题,则m的取值范围为.【解析】由题意,得不等式x2+mx+4<0在(1,2)上恒成立,于是由m<-x-得m≤-1-4=-5.答案:m≤-5三、解答题6.(10分)(教材P26习题1.4A组T1改编)写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性.(1)末位数是0的整数,可以被5整除.(2)负数的平方是正数.(3)梯形的对角线相等.【解析】(1)命题的否定:有些末位数是0的整数,不可以被5整除;假命题.否命题:末位数不是0的整数,不可以被5整除;假命题.(2)命题的否定:有些负数的平方不是正数;假命题.否命题:非负数的平方不是正数;假命题.(3)命题的否定:有些梯形的对角线不相等;真命题.否命题:如果一个四边形不是梯形,则它的对角线不相等;假命题.【补偿训练】写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性.(1)p:若x>y,则5x>5y.(2)p:若x2+x<2,则x2-x<2.(3)p:正方形的四条边相等.(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0.【解析】(1)p:若x>y,则5x≤5y;假命题.否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题.(2)p:若x2+x<2,则x2-x≥2;假命题.否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2;假命题.(3)p:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题.否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;假命题.(4)p:存在两个实数a0,b0,虽然满足x2+a0x+b0≤0有非空实解集,但是-4b0<0;假命题.否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b<0;真命题. 【拓展延伸】命题的否定与否命题的不同(1)任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅是针对命题“若p则q”提出来的.(2)命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假.(3)原命题是“若p则q”的形式,它的否定为“若p,则q”;而它的否命题为“若p,则q”,既否定条件又否定结论.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·阜阳高二检测)已知命题p:∀x∈R,ln(e x+1)>0,则p为( )A.∃x 0∈R,ln(+1)<0B.∀x∈R,ln(e x+1)<0C.∃x 0∈R,ln(+1)≤0D.∀x∈R,ln(e x+1)≤0【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【解析】选C.p为“∃x 0∈R,ln(+1)≤0”.【补偿训练】命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0B.存在x0∈R,-+1≥0C.存在x0∈R,-+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是:存在x0∈R,-+1>0.2.(2016·常德高二检测)已知命题p:∃x0∈R,+1<2x0;命题q:若mx2-mx-1<0恒成立,则-4<m≤0,那么( )A.“p”是假命题B.“q”是真命题C.“p∧q”为真命题D.“p∨q”为真命题【解析】选D.对于命题p,+1-2x0=(x0-1)2≥0,即对任意的x∈R,都有x2+1≥2x,因此命题p是假命题.对于命题q,若mx2-mx-1<0恒成立,则当m=0时,mx2-mx-1<0恒成立,当m≠0时,由mx2-mx-1<0恒成立得即-4<m<0.因此若mx2-mx-1<0恒成立,则-4<m≤0,故命题q是真命题.因此,“p”是真命题,“q”是假命题,“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题.【补偿训练】设函数f(x)的定义域为R,则“∀x∈R,f(x+1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由增函数定义知:若函数f(x)为增函数,则∀x∈R,f(x+1)>f(x),必要性成立;反之充分性不成立,如非单调函数f(x)=[x](取整函数),满足∀x∈R,f(x+1)>f(x).二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是.【解析】由于命题“任意偶数是2的倍数”是全称命题,故其否定要改写成特称命题.答案:存在偶数不是2的倍数【补偿训练】命题“∀x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.【解析】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任意”改为存在量词“存在”,并把结论否定.答案:∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤34.(2016·运城高二检测)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)命题p的否定是.(2)当a,b满足条件时,命题p的否定为真.【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组的解集为R.通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b<a.答案:(1)对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0 (2)b<a三、解答题5.(10分)(2016·福州高二检测)a,b,c为实数,且a=b+c+1,证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.【解题指南】利用原命题与其否定真假性相反证明.【证明】原命题的否定为:两个方程都没有两个不等的实数根,则Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,所以Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.因为a=b+c+1,所以b+c=a-1.所以1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0.但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.所以原命题的否定是假命题,原命题为真命题,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.关闭Word文档返回原板块。
高三上数学课时提升作业 八 2.2
课时提升作业八圆锥曲线的参数方程一、选择题(每小题6分,共18分)1.参数方程(φ为参数)表示( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【解析】选C.参数方程(φ为参数)的普通方程为+y2=1,表示椭圆.2.曲线(φ为参数)的焦点与原点的距离为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选 D.曲线(φ为参数)的普通方程为-=1,得c==5,所以焦点与原点的距离为5.3.已知曲线的参数方程为它表示的曲线是( )A.直线B.双曲线C.椭圆D.抛物线【解析】选D.将曲线的参数方程消去参数t,得到普通方程为y2=6-2x,它表示的曲线是抛物线.二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知曲线C的参数方程是(θ为参数),当θ=时,曲线上对应点的坐标是________.【解析】当θ=时,故曲线上对应点的坐标是.答案:5.已知椭圆C:+=1和直线l:x-2y+c=0有公共点,则实数c的取值范围是________.【解题指南】利用椭圆的参数方程转化为三角函数求值域.【解析】设M(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)是椭圆和直线的公共点,则有2cosθ-2sinθ+c=0,所以c=2sinθ-2cosθ=4sin∈[-4,4].答案:[-4,4]三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知直线l:x+2y-6=0与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为原点,求∠AOB 的值.【解析】设抛物线y2=2x的参数方程为(t是参数)代入x+2y-6=0,整理得3t2+2t-3=0,①因为A,B对应的参数t1,t2分别是方程①的两根,所以t1t2=-1,因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数,所以·=-1,即k OA·k OB=-1,所以∠AOB=90°.7.如图所示,已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O为原点,求四边形MAOB的面积的最大值.【解题指南】将椭圆的直角坐标方程化为参数方程,表示出点M的坐标,将四边形MAOB的面积表示为椭圆参数的函数,利用三角函数的知识求解.【解析】点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,由于椭圆+=1的参数方程为(φ为参数)故可设M(acosφ,bsinφ),其中0<φ<,因此,S四边形MAOB=S△MAO+S△MOB=OA·y M+OB·x M=ab(sinφ+cos φ)=absin.所以,当φ=时,四边形MAOB的面积有最大值,最大值为ab.8.(2016·株洲高二检测)已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0,),F1,F2是圆锥曲线的左、右焦点.(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程.(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程.【解析】(1)圆锥曲线化为普通方程为+=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率k=-,于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′=,直线l的倾斜角是30°,所以直线l的参数方程是(t为参数),即(t为参数).(2)直线AF2的斜率k=-,倾斜角是120°,设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,则=,ρsin(120°-θ)=sin60°,则ρsinθ+ρcosθ=.一、选择题(每小题5分,共10分)1.方程(t为参数)表示的图形是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线一支【解析】选D.由(t为参数)得x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4且x=e t+e-t≥2,故曲线为双曲线的右支.2.曲线(θ为参数)的一个焦点坐标为( )A.(3,0)B.(4,0)C.(-5,0)D.(0,5)【解析】选C.由于sec2φ-tan2φ=1,所以曲线的普通方程为-=1,所以双曲线的焦点为(±5,0).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·深圳高二检测)在直角坐标系中,已知直线l:(s为参数)与曲线C:(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.【解题指南】将直线和曲线的参数方程化为普通方程联立方程组,求交点的坐标计算距离.【解析】直线l:(s为参数)的普通方程为y=3-x,曲线C:(t为参数)的普通方程为y=(x-3)2,依题意,得(x-3)2=3-x,解得x1=3,y1=0;x2=2,y2=1,所以坐标为A(3,0),B(2,1),则|AB|=.答案:4.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数)则C1与C2交点的直角坐标为____________.【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程,再联立方程组求解.【解析】曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2,曲线C2的普通方程为y2=8x,由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).答案:(2,-4)三、解答题(每小题10分,共20分)5.椭圆+=(a>b>0)与x轴的正方向交于点A,O为原点,若这个椭圆上总存在点P,使OP⊥AP,求椭圆离心率e的取值范围.【解题指南】利用椭圆的参数方程设点的坐标,通过直线垂直,转化为直线的斜率之积互为负倒数解决.【解析】设椭圆的参数方程为(a>b>0),则椭圆上的P(acosθ,bsinθ),A(a,0).因为OP⊥AP,所以·=-1,即(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0,解得cosθ=或cosθ=1(舍去).因为-1<cosθ<1,所以-1<<1.把b2=a2-c2代入得-1<<1,即-1<-1<1,解得<e<1.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线C1上的点M对应的参数φ=,射线θ=与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1,C2的普通方程.(2)若点A(ρ1,θ),B在曲线C1上,求+的值.【解析】(1)方法一:将M及对应的参数φ=代入得得所以曲线C1的方程为(φ为参数)化为普通方程为+y2=1.设圆C2的半径为R,由题意得圆C2的方程为ρ=2Rcosθ,将点D代入ρ=2Rcosθ得1=2Rcos,解得R=1,所以曲线C2的方程为ρ=2cosθ.化为普通方程为(x-1)2+y2=1.方法二:将点M及对应的参数φ=代入得解得故曲线C1的方程为+y2=1.由题意设圆C2的半径为R,则方程为(x-R)2+y2=R2,由D化直角坐标为代入(x-R)2+y2=R2得R=1, 故圆C2的方程为(x-1)2+y2=1.(2)因为点A(ρ1,θ),B在曲线C1上,所以+sin2θ=1,+sin2=1,即+cos2θ=1,所以+=+=.。
【高中数学】课时提升作业 六 1.3(一)
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课时提升作业六三角函数的诱导公式(一)一、选择题(每小题4分，共12分)1.tan300°=( )A. B.- C. D.-【解析】选B.tan 300°=tan(360°-60°)=tan(-60°)=-tan 60°=-.2.(2016·黄冈高一检测)已知sin(π-α)=，则sin(α-2017π)的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选D.sin(α-2017π)=sin(α-π)=-sin(π-α)=-.3.(2016·绵阳高一检测)已知sin=，则sin的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.sin=sin=sin=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2016·重庆高一检测)若sin(7π+α)=，α∈，则tanα=________. 【解析】因为sin(7π+α)=-sinα=，所以sinα=-，又α∈，所以α=-，tanα=tan=-.答案：-5.若P(-4，3)是角α终边上一点，则的值为________.【解析】由已知得sinα=，原式====-.答案：-【拓展延伸】化简三角函数式的策略(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值.(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.【补偿训练】已知cosα=，则的值为________.【解析】==-cosα=-.答案：-三、解答题6.(10分)已知tan(π+α)=-，求下列各式的值：(1).(2)sin(α-7π)·cos(α+5π).【解析】tan(π+α)=-，则tanα=-，(1)原式=====-.(2)原式=sin(-6π+α-π)·cos(4π+α+π)=sin(α-π)·cos(α+π)=-sinα(-cosα)=sinαcosα===-.一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知n为整数，化简所得结果是( )A.tan(nα)B.-tan(nα)C.tanαD.-tanα【解析】选C.若n=2k(k∈Z)，则===tanα；若n=2k+1(k ∈Z)，则====tanα.2.sin(π-α)=l og8，且α∈，则tan(π+α)的值为( )A.-B.C.±D.-【解析】选D.因为sin(π-α)=l og8，所以sinα=-.又因为α∈，所以cosα==，所以tan(π+α)=====-.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2016·嘉兴高一检测)已知cos=-，则cos的值为________. 【解析】cos=cos=-cos=-=.答案：【误区警示】解答本题易忽视-α++α=π，忘记用公式cos(π-α)=-cosα.4.已知a=tan，b=cosπ，c=sin，则a，b，c的大小关系是________.【解析】a=tanπ=-tan=-，b=cosπ=cos=，c=sin=-，所以c<a<b.答案：b>a>c三、解答题5.(10分)已知α是第四象限角，且f(α)=.(1)化简f(α).(2)若sinα=-，求f(α)的值.(3)若α=-，求f(α)的值.【解析】(1)f(α)==cosα.(2)因为sinα=-，且α是第四象限角，所以f(α)=cosα===.(3)f=cos=cos=cos=.关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第八章 第六节椭 圆
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课时提升作业(五十五)一、选择题1.(2013·银川模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1,2且它的长轴长等于圆C:x 2+y 2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )()()()()22222222x y x y A 1 B 1431612x x y C y 1 D 14164+=+=+=+=2.(2013·武汉模拟)已知曲线C 上的动点M(x,y),向量a =(x+2,y)和b =(x-2,y)满足|a |+|b |=6，则曲线C 的离心率是( )()((()21A B C D 333.已知圆(x+2)2+y 2=36的圆心为M,设A 为圆上任一点，N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线4.(2013·烟台模拟)椭圆2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1,F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|AF 2|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )()()()(11A B C D 24525.(2013·重庆模拟)已知F 1,F 2分别是椭圆2222x y 1a b+=(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA OB +=0(O 为坐标原点)，212AF FF 0=，若椭圆的离心率等于2则直线AB 的方程是( ) ()()()()A y x B y x C y x D y x22===-= 6.(能力挑战题)以F 1(-1,0),F 2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )()()()()22222222x y x y A 1B 1201998x y x y C 1D 15432+= +=+= += 二、填空题7.(2013·莱芜模拟)椭圆22x y 125a+=上一点M 到焦点F 1的距离为6，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，则|ON|=_____________.8.(2013·贵阳模拟)设F 1,F 2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________.9.已知F 1,F 2分别是椭圆2222x y 1a b+= (a>b>0)的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A,B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于________. 三、解答题10.(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1: 2222x y 1a b+=(a ＞b＞0)的左焦点为F 1(-1,0),且点P(0,1)在C 1上,(1)求椭圆C 1的方程.(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2=4x 相切，求直线l 的方程.11.已知椭圆C: 2222x y 1a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A(0，b),原点O 到直线FA的距离为b.2(1)求椭圆C 的离心率e.(2)若点F 关于直线l :2x+y=0的对称点P 在圆O ：x 2+y 2=4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标.12.(能力挑战题)已知椭圆C ：2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0).(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为2求椭圆的标准方程. (2)在(1)的条件下，设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.(3)过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0)相交于P ，S ，R ，Q 四点，设原点O 到四边形PQSR 一边的距离为d,试求d=1时a,b 满足的条件.答案解析1.【解析】选A.圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=16. 知其半径r=4, ∴长轴长2a=4,∴a=2. 又c1e ,a2==∴c=1,b 2=a 2-c 2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为22x y 1.43+=2.【解析】选A.因为|a |+|b |=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C 是椭圆，且长轴长2a=6,即a=3， 又c=2,∴e=2.33.【解析】选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|,又AM 是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆的定义知,P 的轨迹是椭圆.4.【解析】选B.由题意知|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|AF 2|=a+c ， ∴a-c,2c,a+c 成等比数列. 故(2c)2=(a-c)(a+c), ∴4c 2=a 2-c 2,∴a 2=5c 2,c e a∴==5.【思路点拨】由OA OB +=0知，A,B 两点关于原点对称，设出A 点坐标,利用向量列方程求解.【解析】选A.设A(x 1,y 1)，因为OA OB +=，0 所以B(-x 1,-y 1),2AF =(c-x 1,-y 1)，12FF =(2c,0)，又因为212AF FF =0，所以(c-x 1,-y 1)·(2c,0)=0，即x 1=c ，代入椭圆方程得21b y a=，因为离心率e =所以，a b c ==，，，所以直线AB 的方程是y = 6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P ，使得|PF 1|+|PF 2|最小时的椭圆方程.【解析】选C.由于c=1，所以离心率最大即为长轴最小. 点F 1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F ′(-3,2)， 设点P 为直线与椭圆的公共点， 则2a=|PF 1|+|PF 2| =|PF ′|+|PF 2|≥|F ′F 2|=取等号时离心率取最大值，此时椭圆方程为22x y 1.54+=7.【解析】如图，|ON|=12|MF 2|.∵a=5,∴2a=10， ∴|MF 2|=10-|MF 1|=10-6=4. ∴|ON|=12·4=2. 答案:28.【解析】因为|OM|=3,数形结合得|PF 2|=6, 又|PF 1|+|PF 2|=10, ∴|PF 1|=4. 答案:49.【解析】因为△F 2AB是等边三角形，所以c A(2-在椭圆2222x y 1a b +=上，所以2222c 3c 14a 4b+=，因为c 2=a 2-b 2， 所以，4a 4-8a 2c 2+c 4=0，即e 4-8e 2+4=0，所以，2e 4e 1e 1()=±或舍．1【误区警示】11的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.10.【解析】(1)由题意得c=1,b=1,a ==∴椭圆C 1的方程为22x y 1.2+=(2)由题意得直线的斜率一定存在且不为0,设直线l 方程为y=kx+m.因为椭圆C 1的方程为22x y 1,2+=∴22y kx m,x y 1,2=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0. 直线l 与椭圆C 1相切，∴Δ=16k 2m 2-4(2k 2+1)(2m 2-2)=0.即2k 2-m 2+1=0. ① 直线l 与抛物线C 2：y 2=4x 相切,则2y kx m y 4x=+⎧⎨=⎩ 消去y 得k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0.∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1. ②由①②解得k22===-=所以直线l的方程y x y x22==-11.【解析】(1)由点F(-ae,0)，点A(0,b)及b得直线FA的方程为x1,ae+=-ey0.-+=∵原点O到直线FA的距离b2=2a ea1=-解得e=(2)方法一:设椭圆C的左焦点F(a,0)2-关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),则有01,22xy220,22=⎪⎨⎪-⎪+=⎪⎩解得00x y105==∵P在圆x2+y2=4上,22(a)(a) 4.105∴+=∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C 的方程为22x y 1,84+=点P 的坐标为68(,).55方法二:∵F (关于直线l 的对称点P 在圆O 上,又直线l :2x+y=0经过圆O:x 2+y 2=4的圆心O(0,0),∴F(也在圆O 上.从而22(04+=，a 2=8,b 2=(1-e 2)a 2=4. 故椭圆C 的方程为22x y 1.84+=∵F(-2，0)与P(x 0,y 0)关于直线l 对称,000y 1,x 22x 2y 20.22⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪+=⎪⎩解得0068x ,y .55== 故点P的坐标为68(,).5512.【解析】(1)由已知2a=4,∴a=2, 又ce c a==∴= 因此,b 2=a 2-c 2=4-3=1,∴椭圆的标准方程为22x y 1.4+=(2)显然直线x=0不满足题设条件， 可设直线l :y=kx+2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由22x y 14y kx 2⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0.∵Δ=(16k)2-4×12(1+4k 2)＞0,12212212121212k (,).16kx x ,14k 12x x ,14k0AOB 90OA OB 0,OA OB x x y y 0,OA OB x x y y ∴∈-∞⋃+∞ -+=+=+︒∠︒⇒∴=+=+①又由＜＜＞＞所以 =x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2) =(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4, ∴-2＜k ＜2. ② 由①②得k∈(2,)(2).22--⋃ (3)由椭圆的对称性可知PQSR 是菱形,原点O 到各边的距离相等. 当P 在y 轴上，Q 在x 轴上时，直线PQ 的方程为22xy 111,d 11,aba b +==+=由得当P 不在y 轴上时，设直线PS 的斜率为k,P(x 1,kx 1),则直线RQ 的斜率为2211,Q(x ,x ),k k-- 112222221112222222222y kx ,11k .x y x ab 1,a b 111.x a k b 11Rt OPQ d PQ OP OQ ,22PQ OPOQ .=⎧⎪=+ ⎨+=⎪⎩=+ ==由得①同理②在中，由即()()22212122222112x x x (kx )kx x kx x (),k-++=++所以［］［］化简得222221k 11k ,x x +=+222222222222111k k ()1k ,a k b a b 111.a b11,1.a b+++=++=+=即综上关闭Word 文档返回原板块。
高中数学复习提升-课时作业 6
4．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为()
A．7 B．8
C．9 D．16
解析：因为点(an，an＋1)在直线y＝2x上，所以an＋1＝2an，
因为a1＝1≠0，所以an≠0，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以a4＝1×23＝8.
答案：B
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项；
(2)试问－ 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解析：(1)证明：∵2an＝3an＋1，
∴ ＝ .
又∵数列{an}的各项均为负数，
∴a1≠0，
∴数列{an}是以 为公比的等比数列，
∴an＝a1·qn－1＝a1· n－1.
∴ ＝ ＝ ＝ .
答案：
8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是________．
解析：依题意a1＋4a1＋42a1＝21，
所以a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝4n－1.
答案：an＝4n－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在等比数列中，
(1)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)由题意可得a2＝ ，a3＝ .
(2)由a －(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以 ＝ .
故{an}是首项为1，公比为 的等比数列，因此an＝ .
14．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝ .
C．既是等差数列，又是等比数列
高三上数学课时提升作业 六 2.1
课时提升作业六比较法一、选择题(每小题6分,共18分)1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列t与s的大小关系中正确的是( )A.t>sB.t≥sC.t<sD.t≤s【解析】选D.s-t=(a+b2+1)-(a+2b)=(b-1)2≥0,所以s≥t.【补偿训练】已知a>2,b>2,则( )A.ab≥a+bB.ab≤a+bC.ab>a+bD.ab<a+b【解析】选C.因为a>2,b>2,所以-1>0,-1>0,则ab-(a+b)=a+b>0.所以ab>a+b.2.(2016·商丘高二检测)给出下列命题:①当b>0时,a>b⇔>1;②当b>0时,a<b⇔<1;③当a>0,b>0时,>1⇔a>b;④当ab>0时,>1⇔a>b.其中真命题是( )A.①②③B.①②④C.④D.①②③④【解析】选A.①当b>0时,>1⇔-1>0⇔>0,即a>b⇔>1,故①正确;②当b>0时,<1⇔-1<0⇔<0,即a<b⇔<1,故②正确;结合①知③正确;由>1⇔-1>0⇔>0,知b>0时,>1⇔a>b,b<0时,>1⇔a<b,即④不正确.3.已知a>b>-1,则与的大小关系为( )A.>B.<C.≥D.≤【解析】选 B.因为a>b>-1,所以a+1>0,b+1>0,a-b>0,则-=<0,所以<.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·大同高二检测)设P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,则实数a,b满足的条件为________.【解析】P-Q=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2,所以,若P>Q,则实数a,b满足的条件为ab≠1或a≠-2.答案:ab≠1或a≠-25.若x<y<0,M=(x2+y2)(x-y),N=(x2-y2)(x+y),则M,N的大小关系为________. 【解析】M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). 因为x<y<0,所以xy>0,x-y<0.所以-2xy(x-y)>0,所以M-N>0,即M>N.答案:M>N三、解答题(每小题10分,共30分)6.设A=+,B=(a>0,b>0),试比较A,B的大小.【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.【解析】因为==×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立).又因为B>0,所以A≥B.7.(2016·菏泽高二检测)已知a>0,b>0,求证:+≥+.【证明】-(+)=+=+=(a-b)·=≥0,所以+≥+.8.已知a,b均为实数,用比较法证明:≥(当且仅当a=b时等号成立).【证明】-=-==≥0,当且仅当a=b时等号成立,所以≥(当且仅当a=b时等号成立).一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·温州高二检测)已知a>b>0且ab=1,设c=,P=log c a,N=log c b,M=log c(ab),则( )A.P<M<NB.M<P<NC.N<P<MD.P<N<M【解析】选A.因为a>b>0且ab=1,所以a>1,0<b<1,a+b>2,所以0<c<1,得P<0,N>0,M=0,即P<M<N.2.已知a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是( ) A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n【解析】选B.因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bd>0,>,所以m>0,n>0.又因为m2=ac+bd-2,n2=ac+bd-(ad+bc),又由ad+bc>2,所以-2>-ad-bc,所以m2>n2,所以m>n.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知0<x<1,a=2,b=1+x,c=,则a,b,c中最大的是________.【解析】因为0<x<1,所以a>0,b>0,c>0,又a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0,所以a2-b2<0,所以a<b.又c-b=-(1+x)=>0,所以c>b,所以c>b>a. 答案:c4.比较大小:log34______log67.【解题指南】令log34=a,log67=b,利用对数运算性质,比较a-b与0的大小. 【解析】设log34=a,log67=b,则3a=4,6b=7,得7·3a=4·6b=4·2b·3b,即3a-b=,显然b>1,2b>2,则3a-b=>1⇒a-b>0⇒a>b.答案:>三、解答题(每小题10分,共20分)5.若实数x,y,m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a,b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab.【证明】因为a>0,b>0,且a≠b,所以a2b+ab2>2ab,a3+b3>2ab.所以a2b+ab2-2ab>0,a3+b3-2ab>0.所以|a2b+ab2-2ab|-|a3+b3-2ab|=a2b+ab2-2ab-a3-b3+2ab=a2b+ab2-a3-b3=a2(b-a)+b2(a-b)=(a-b)(b2-a2)=-(a-b)2(a+b)<0所以|a2b+ab2-2ab|<|a3+b3-2ab|,所以a2b+ab2比a3+b3接近2ab.6.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走.如果m≠n,问甲、乙二人谁先到达指定地点?【解析】设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,依题意有:m+n=s,+=t2.所以t1=,t2=,所以t1-t2=-==-.其中s,m,n都是正数,且m≠n,所以t1-t2<0,即t1<t2,从而知甲比乙先到达指定地点.【方法技巧】应用不等式解决实际问题的策略(1)应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决,也即建立数学模型是解应用题的关键.(2)在实际应用题中解决不等式问题时,常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断.。
高中数学人教A版【精品习题】课时提升作业 八 2.3
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课时提升作业 八反证法与放缩法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)证明命题“a,b ∈N,如果ab 可被5整除,那么a,b 至少有一个能被5整除”,则假设的内容是 ( ) A.a,b 都能被5整除 B.a,b 都不能被5整除 C.a 不能被5整除 D.a,b 有一个不能被5整除【解析】选B.“a,b 至少有一个能被5整除”包括“a,b 中有且只有一个能被5整除或a,b 都能被5整除”,其反面为“a,b 都不能被5整除”.【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是()- 1 -A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】选B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”.2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为( )A.a<0,b<0,c<0B.a ≤0,b>0,c>0C.a,b,c 不全是正数D.abc<0【解析】选C.a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c 不全是正数. 3.已知a>0,b>0,设P=a 1+a +b1+b,Q=a +b1+a +b,则P 与Q 的大小关系是 ( )A.P>QB.P<QC.P=QD.无法确定【解析】选A.因为a>0,b>0,所以P=a 1+a+b 1+b>a 1+a +b+b 1+a +b=a +b 1+a +b=Q,所以P>Q.【补偿训练】已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q ≠1,设。
高三上数学课时提升作业 六 2.1.1
课时提升作业六参数方程的概念、圆的参数方程一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·太原高二检测)下列点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的是( )A.(2,7)B.C. D.(1,-1)【解析】选D.由方程(θ为参数),令x=sin2θ=1,得θ=+kπ,k∈Z,y=cos2θ=-1.2.若P(2,-1)为圆O′:(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线l的方程是( )A.x-y-3=0B.x+2y=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解题指南】根据圆O′的参数方程求出点O′的坐标,则k l=-.【解析】选A.因为圆心为O′(1,0),所以k PO′=-1,所以k l=1.所以直线l的方程为x-y-3=0.3.(2016·衡水高二检测)设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为3x-4y=0,则曲线C上到直线l距离为1的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.曲线C:(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,圆心(2,-1)到直线l:3x-4y=0的距离为d=2,则曲线C上到直线l距离为1的点的个数为3.二、填空题(每小题6分,共12分)4.圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程为________.【解析】圆心在点C(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))答案:(θ∈[0,2π))5.若点(-3,-3)在参数方程(θ为参数)的曲线上,则θ=________. 【解析】将点(-3,-3)的坐标代入参数方程(θ为参数)得解得θ=+2kπ,k∈Z.答案:θ=+2kπ,k∈Z三、解答题(每小题10分,共30分)6.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求|AB|.【解析】极坐标方程为ρcosθ=4的直线为x=4,所以x=t2=4,解得t=±2,又y=t3,所以直线与曲线(t为参数)的两个交点A,B的坐标分别为(4,-8),(4,8),故|AB|=16.7.将参数方程(t为参数,0≤t≤π)化为普通方程,并说明方程表示的曲线形状.【解析】因为0≤t≤π,所以-3≤x≤5,-2≤y≤2.所以(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,所以曲线的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2).它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,4为半径的上半圆.【误区警示】本题若忽略了参数t的取值范围,在参数方程化为普通方程时,容易错误判断曲线表示以(1,-2)为圆心,4为半径的圆.8.已知两点P(-2,2),Q(0,2)及一条直线l:y=x,设长为的线段AB在l上运动(A 在B的左下方),求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.【解题指南】作为求轨迹方程的问题,由于直接求普通方程较为困难,故用参数方程求解.【解析】设A(t,t),B(t+1,t+1),PA与QB的斜率为k1,k2,则k1=,k2=,从而t==,所以1+3k1-3k2-k1k2=0,设点M(x,y),则k1=,k2=,代入整理有x2-y2+2x-2y+8=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·福州高二检测)圆心在点(-1,2),半径为3的圆的参数方程为( )A.(0≤θ<2π)B.(0≤θ<2π)C.(0≤θ<π)D.(0≤θ<2π)【解析】选D.圆心在点C(-1,2),半径为3的圆的参数方程为(θ∈[0,2π)).2.以下参数方程表示y轴的是( )A.(t为参数)B.(t为参数)C.(θ为参数)D.(t为参数)【解析】选B.参数方程(t为参数)满足表示y轴.二、填空题(每小题5分,共10分)3.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为________.【解题指南】注意参数的取值范围,进行等价转化,即两种方程必须是同解方程.【解析】由得所以y=x-2,又0≤sin2θ≤1,所以2≤x≤3.答案:y=x-2(2≤x≤3)4.已知圆C:(θ∈[0,2π)为参数)与x轴交于A,B两点,则|AB|=______.【解题指南】利用圆C与x轴交点的纵坐标为0可求出参数θ的值,再代入x=-3+2sinθ求A,B两点的横坐标,从而求|AB|.【解析】令y=2cosθ=0,则cosθ=0,因为θ∈[0,2π),故θ=或,当θ=时,x=-3+2sin=-1,当θ=时,x=-3+2sin=-5,故|AB|=|-1+5|=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)5.一架飞机以100m/s的速度作水平直线飞行,在离指定目标的水平距离还有1000m时投放物资,求此时飞机的飞行高度约是多少米?(不计空气阻力,重力加速度g=10m/s2)【解析】设飞机在点H将物资投出机舱,记此时刻为0s,设在时刻t s时的坐标为M(x,y),飞机的飞行高度为hm.如图,建立平面直角坐标系,由于物资做平抛运动,依题意,得即令x=100t=1000,得t=10(s),由y=h-5t2=h-500=0,得h=500m.答:此时飞机的飞行高度约为500m.6.已知动点P,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程.(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意得P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π). 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.。
高考数学(人教版)总复习“提高分”课时作业：8.6抛物线(含答案解析)
第8章 第6节学科王 课时作业1．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10 ，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1 C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1 【解析】 设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的半焦距为c ，则2c ＝10，c ＝5.又∵C 的渐近线为y ＝±ba x ，点P (2,1)在C 的渐近线上，∴1＝ba ·2，即a ＝2b.又c2＝a2＋b2，∴a ＝25，b ＝5，∴C的方程为x220－y25＝1.【答案】 A2．(2012·南宁五校联考)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率e 为( ) A ．4＋2 3 B .3－1 C.3＋12D.3＋1【解析】 (数形结合法)因为MF1的中点P 在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a ，△MF1F2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.【答案】 D3．(2013·杭州模拟)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3【解析】 设H(x ，y)如图，OH ：y ＝bax ，HF2：y ＝－ab(x －c)，由⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab x －c ，学科王解得H a2c ，ab c，所以HF2的中点为M a2＋c22c ，ab2c ，代入双曲线方程整理得：c2＝2a2，所以e ＝ 2.【答案】 A4．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 【答案】 A5．(2013·青岛模拟)设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF →1·PF2→＝0，则|PF →1＋PF2→|＝( ) A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5【解析】 如图，由PF →1·PF →2＝0可得PF →1⊥PF →2,又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF →1＋PF →2|＝|PQ →|＝2c ＝210.【答案】 B6．如下图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以F1，F2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e1，e2，则( )A ．e1＞e2B ．e1＜e2学科王C ．e1＝e2D ．以上皆非【解析】 (数形结合法)由题意|F1F2|为双曲线的焦距，由正三角形、正方形的性质，探求|PF1|，|PF2|与|F1F2|的关系，再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率e1，e2.2a ＝|F2M|－|F1M|，由图1，知e1＝2c 2a ＝|F1F2|32－12|F1F2|＝3＋1，由图2，知e2＝2c 2a ＝|F1F2|104－24|F1F2|＝10＋22，所以e1＞e2，故选A.【答案】 A 二、填空题7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2m －y2m2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 由x2m －y2m2＋4＝1得a ＝m ，b ＝m2＋4，c ＝m ＋m2＋4∴e ＝ca ＝m ＋m2＋4m＝5，即m2－4m ＋4＝0，解得m ＝2. 【答案】 28．(2012·山东济南三模)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F ，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PE 的中点，则双曲线的离心率为________．【解析】 如图：∵O 为FF2的中点，E 为PF 的中点， ∴OE 綊12PF2，∴|PF2|＝2OE ＝a ，∵|PF|－|PF2|＝2a ，∴|PF|＝3a. 又OE ⊥FP ，∴FP ⊥PF2，学科王 ∴(3a)2＋a2＝4c2，故e ＝102. 【答案】1029．(2012·天津高考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：x24－y216＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 双曲线的x24－y216＝1渐近线为y ＝±2x ，而x2a2－y2b2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以有b a ＝2，b ＝2a ，又双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点为(5，0)，所以c ＝5，又c2＝a2＋b2，即5＝a2＋4a2＝5a2，所以a2＝1，a ＝1，b ＝2. 【答案】 1,2 三、解答题10．(2013·济宁模拟)设A ，B 分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 【解】 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc|b2＋12＝3， ∴b2＝3，∴双曲线的方程为x212－y23＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0， 将直线方程代入双曲线方程得x2－163x ＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12，学科王 ∴⎩⎨⎧x0y0＝433，x2012－y203＝1，⎩⎨⎧x0＝43，y0＝3， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．11．(2013·南昌模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(b>a>0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0. 求1|OP|2＋1|OQ|2的值． 【解】 (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b2＝c2－a2＝3a2， 双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(5，3)在双曲线上， ∴15－3＝3a2. ∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx(k≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x24－y212＝1，得⎩⎨⎧x2＝123－k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝12 k2＋13－k2.则OQ 的方程为y ＝－1k x ，有|OQ|2＝121＋1k23－1k2＝12 k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋ 3k2－1 12 k2＋1 学科王 ＝2＋2k212 k2＋1 ＝16.12．(文)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A ，B 两点，且|AB|＝3，又l 关于直线l1：y ＝ba x 对称的直线l2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．【解】 (1)设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1过一、三象限的渐近线l1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x 轴平行，记l2与y 轴交点为Q 点，l与x 轴交点为M 点．依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e2＝c2a2＝1＋b2a2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x23k2－y2k2＝1，即x2－3y2＝3k2.将y ＝3(x －2)代入x2－3y2＝3k2中 得x2－3·3(x －2)2＝3k2.化简得到8x2－36x ＋36＋3k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋3|x1－x2|＝2 x1＋x2 2－4x1x2 ＝2362－4·8· 36＋3k28＝9－6k2＝3，求得k2＝1.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.学科王(理)(2013·大理模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF →1·MF →2＝0； (3)在条件(2)下求△F1MF2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点， ∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m 3＋23，kMF2＝m3－23，∴kMF1·kMF2＝m29－12＝m2－3，又点(3，m)在双曲线上， ∴m2＝3， ∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2， MF →1·MF →2＝0.法二：∵MF →1＝(－3－23，－m)， MF →2＝(23－3，－m)，∴MF →1·MF →2＝(3＋23)(3－23)＋m2＝－3＋m2.学科王∵M 在双曲线上，∴9－m2＝6， ∴m2＝3，∴MF →1·MF →2＝0.(3)∵△F1MF2中|F1F2|＝43，且|m|＝3， ∴S △F1MF2＝12·|F1F2|·|m|＝12×43×3＝6.四、选做题13．已知以原点O 为中心，F(5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52. (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图，已知过点M(x1，y1)的直线l1：x1x ＋4y1y ＝4与过点N(x2，y2)(其中x2≠x1)的直线l2：x2x ＋4y2y ＝4的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点． 求O G →·O H →的值．【解】 (1)设C 的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ，b ＞0)，则由题意c ＝5，又e ＝c a ＝52，因此a ＝2，b ＝c2－a2＝1，C 的标准方程为x24－y2＝1.C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0. (2)如图，由题意点E(xE ，yE)在直线l1：x1x ＋4y1y ＝4和l2：x2x ＋4y2y ＝4上，因此有x1xE ＋4y1yE ＝4，x2xE ＋4y2yE ＝4.故点M 、N 均在直线xEx ＋4yEy ＝4上，因此直线MN 的方程为xEx ＋4yEy ＝4.学科王 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线x －2y ＝0及x ＋2y ＝0的交点，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ xEx ＋4yEy ＝4，x －2y ＝0，及⎩⎪⎨⎪⎧xEx ＋4yEy ＝4，x ＋2y ＝0，解得⎩⎨⎧xG ＝4xE ＋2yE，yG ＝2xE ＋2yE ，⎩⎪⎨⎪⎧xH ＝4xE －2yE ，yH ＝－2xE －2yE .故O G →·O H →＝4xE ＋2yE ·4xE －2yE －2xE ＋2yE ·2xE －2yE ＝12x2E －4y2E .因为点E 在双曲线x24－y2＝1上，有x2E －4y2E ＝4. 所以O G →·O H →＝12x2E －4y2E＝3。
新教材高中数学第8章立体几何初步章末综合提升学案含解析新人教A版必修第二册
第八章立体几何初步类型1空间几何体的结构特征、表面积和体积1．本考点多为基础题，一般出现在选择题的中间位置．主要考查空间几何体的结构，直观图的转化，几何体表面积、体积公式的应用．考查数形结合思想、空间想象能力、运算求解能力，意在让多数学生得分．2．空间几何体的表面积与体积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．〖例1〗(1)(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．图1图2(2)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．(1)262－1(2)118.8〖(1)依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1．(2)由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O-EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．〗 [跟进训练] 1．如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积．〖解〗 连接A ′B ，A ′C ，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V ，显然三棱锥A ′ABC 的体积是13V ． 而四棱锥A ′BCC ′B ′的体积为13Sa ， 故有13V ＋13Sa ＝V ， 即V ＝12Sa ． 类型2 与球有关的切、接问题1．本考点中的题目多为基础题，一般出现在选择题的后面位置或填空题中，分值为5分．主要考查空间几何体的结构，外接球和内切球问题，几何体表面积、体积公式的应用，球的表面积和体积计算．考查数形结合思想，空间想象能力，运算求解能力，意在让多数学生得分．2．与球相关问题的解题策略(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决．〖例2〗 (1)(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．243D ．543(2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2．∠BAD ＝60°，以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． (1)B (2)2π2 〖(1)设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6．设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－(23)2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V ma x ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝183． (2)如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2．分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝3．由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝D 1M 2＋MP 2＝(3)2＋(2)2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH 的长为14×2π×2＝2π2．〗[跟进训练]2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为________． 4πRr 〖法一：如图，作DE ⊥BC 于点E ．设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r ．由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr ．法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr ．〗类型3空间点、线、面位置关系的判断与证明1．空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是空间想象能力，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．2．平行、垂直关系的相互转化〖例3〗如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形)中，BC ＝CC1，M，N，P分别是CC1，AB，BB1的中点．(1)求证：平面NPC∥平面AB1M；(2)求证：AB1⊥平面A1MB．〖证明〗(1)在△ABB1中，N，P分别是AB，BB1的中点，即PN∥AB1，∵平面ABB1∩平面AB1M＝AB1，PN⊄平面AB1M，PN⊂平面ABB1，∴PN∥平面AB1M．又∵底面是正三角形且BC＝CC1，M是CC1的中点，即在正方形BCC1B1中有CMB1P为平行四边形，有PC∥MB1，∴PC∥平面AB1M，而PN∩PC＝P，∴平面NPC∥平面AB1M．(2)在正方形ABB1A1中有AB1⊥A1B，若AB1，A1B的交点为D，连接MD，DN，∴四边形MCND为矩形，∴CN∥MD，CN⊥DN，而CN⊥AB，则CN⊥平面ABB1A1，∴MD⊥平面ABB1A1，而AB1⊂平面ABB1A1，即MD⊥AB1．又MD∩A1B＝D，MD⊂平面A1MB，A1B⊂平面A1MB，∴AB1⊥平面A1MB．[跟进训练]3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE．〖证明〗(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1．又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1．因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F．又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1．由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD．又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE．类型4空间角的计算问题1．考查空间中线面位置关系的证明、直线与平面所成角、线线角及二面角等基础知识，考查空间想象能力及推理论证能力．2．求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．〖例4〗 (2020·浙江高考)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC ．(1)证明：EF ⊥DB ；(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．〖解〗 (1)证明：如图，过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB ．由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC ，得CD ＝2CO ．由平面ACFD ⊥平面ABC ，得DO ⊥平面ABC ，所以DO ⊥BC ．由∠ACB ＝45°，BC ＝12CD ＝22CO ，得BO ⊥BC ． 所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB ．由三棱台ABC -DEF 得BC ∥EF ，所以EF ⊥DB ．(2)如图，过点O 作OH ⊥BD ，交直线BD 于点H ，连接CH ．由三棱台ABC -DEF 得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角．由BC ⊥平面BDO 得OH ⊥BC ，故OH ⊥平面BCD ，所以∠OCH 为直线CO 与平面DBC 所成角．设CD ＝22．由DO ＝OC ＝2，BO ＝BC ＝2，得BD ＝6，OH ＝233，所以sin ∠OCH ＝OH OC ＝33， 因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33．[跟进训练] 4．如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值；(3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数．〖解〗 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC ． ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′，∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO ．又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA ．在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， ∴∠OAC ＝30°，即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°．(2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE ．∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55． (3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ，∴OC ⊥平面AOB ．又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°．类型5 点到平面的距离问题高考对立体几何的考查主要有两个方面，一是探究空间直线、平面的平行与垂直关系；二是与计算有关的综合性问题，主要是几何体的三积与三角．其中点到平面的距离的计算非常有利于几何体体积的计算．一般出现在解答题的第二问中，偶尔出现在选择填空题中，有一定的难度．〖例5〗 (2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A ． 3B ．32C ．1D ．32C 〖由等边三角形ABC 的面积为934，得34×AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝3．设球的半径为R ，则由球的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C ．〗[跟进训练]5．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．2 〖如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC ．又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°．在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝2．〗1．(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12C 〖设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为2a ，斜高为m ，依题意得h 2＝12×2a ×m ，即h 2＝am ①，易知h 2＋a 2＝m 2②，由①②得m ＝1＋52a ，所以m 2a ＝1＋52a 2a ＝1＋54．故选C ．〗 2．(2020·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32πA 〖因为⊙O 1的面积为4π，所以⊙O 1的半径r ＝2．因为AB ＝BC ＝AC ，所以△ABC 为正三角形，又⊙O 1是△ABC 的外接圆，所以由正弦定理得AB sin 60°＝2r ＝4，得AB ＝4sin 60°＝23．因为OO 1＝AB ＝BC ＝AC ，所以OO 1＝23，由题易知OO 1⊥平面ABC ，则球心O 到平面ABC 的距离为23．设球O 的半径为R ，则R 2＝OO 21＋r 2＝12＋4＝16，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π，故选A ．〗3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°B 〖过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GF A＝∠CAO＝∠AOB＝40°．故选B．〗4．(2020·全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4；②p1∧p2；③p2∨p3；④p3∨p4．①③④〖法一：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则由l1∩l2＝A，知l1，l2共面，设此平面为α，则由B∈l2，l2⊂α，知B∈α，由C∈l1，l1⊂α，知C∈α，所以l3⊂α，所以l1，l2，l3共面于α，所以p1是真命题；对于p2，当A，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面，当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以p2是假命题，p2是真命题；对于p3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，p3是真命题；对于p4，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l，所以p4是真命题，p4是假命题．故p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，p2∨p3为真命题，p3∨p4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④．法二：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A∈α，B∈α，C∈α，所以直线AB⊂α，BC⊂α，CA⊂α，即l1⊂α，l2⊂α，l3⊂α，所以p1是真命题；以下同解法一．〗5．(2020·全国卷Ⅲ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1，证明：(1)当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ；(2)点C 1在平面AEF 内．〖解〗 (1)如图，连接BD ，B 1D 1．因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 为正方形，故AC ⊥BD ．又因为BB 1⊥平面ABCD ，于是AC ⊥BB 1．所以AC ⊥平面BB 1D 1D ．由于EF ⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ⊥AC ．(2)如图，在棱AA 1上取点G ，使得AG ＝2GA 1，连接GD 1，FC 1，FG ．因为D 1E ＝23DD 1，AG ＝23AA 1， DD 1AA 1，所以ED 1AG ，于是四边形ED 1GA 为平行四边形，故AE ∥GD 1．因为B 1F ＝13BB 1，A 1G ＝13AA 1，BB 1AA 1，所以FG A 1B 1，FG C 1D 1，四边形FGD 1C 1为平行四边形，故GD 1∥FC 1．于是AE ∥FC 1．所以A ，E ，F ，C 1四点共面，即点C 1在平面AEF 内．6．(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ＝AB ＝6，AO ∥平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积． 〖解〗 (1)因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．(2)因为AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN ．又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP ＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2． 因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．如图，作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3．底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )×PN ＝12(6＋2)×6＝24． 所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24．。
高中数学课时提升作业(六)1.2.1 函数的概念 第1课时 函数的概念1
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课时提升作业(六)函数的概念(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南充高一检测)函数y=+的定义域为( )A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0}D.{x|0≤x≤1}【解析】选D.由得0≤x≤1,故选D.【变式训练】(2014·德州高一检测)函数y=的定义域是( )A.[2,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,2]D.(-∞,0]【解析】选C.由2-x≥0得x≤2,故函数y=的定义域为(-∞,2].2.(2014·三明高一检测)下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是( )A.y=()2B.y=C.y=D.y=【解析】选C.对于A,定义域不同,B值域不同,D定义域不同,y==x,故选C.3.(2014·台州高一检测)若f(x)=,则f(1)的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.由f(x)=,所以f(1)==.【举一反三】本题条件不变,若f(a)=,则a的值为多少?【解析】由f(a)=,得=,整理得:a2-2a+2=0,即(a-)2=0,所以a=.4.(2014·济宁高一检测)下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=【解析】选A.y=的定义域为{x|x>0}.对于A,由即x>0,故f(x)=的定义域为{x|x>0}.对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0}.对于C,f(x)=|x|的定义域为R.对于D,由即x≥1,故定义域为{x|x≥1},所以选A.5.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},下面的四个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )A.①②③④B.①②③C.②③D.②【解析】选C.由函数的定义,对集合M中的任意一个元素,在集合N中都有唯一的元素与之对应,而①中对于集合M中满足1<x≤2的元素,在集合N中没有元素与之对应,故不表示集合M到集合N的函数关系;对于④集合M中的元素在N中有两个元素与之对应.故排除①④.【误区警示】本题易选答案B.错误的原因是只考虑了集合M中的元素在集合N 中有唯一的元素与之对应,而忽略了集合M中每一元素都有唯一的元素与之对应.6.(2014·包头高一检测)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)成立,对于B,f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x)成立,对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x),对于D,f(2x)=-2x=2f(x)成立,故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设函数f(x)=,若f(a)=2,则a= .【解析】因为f(a)=2,所以=2,即4=2-2a,所以a=-1.答案:-18.(2014·昆明高一检测)函数f(x)=-的定义域为.【解析】由得即3≤x<7,所以函数f(x)的定义域为{x|3≤x<7}.答案:{x|3≤x<7}【变式训练】函数y=·的定义域为.【解析】由得所以x=2,所以函数的定义域为{x|x=2}.答案:{x|x=2}9.下列各函数中,与y=2x-1是相等函数的是.①y=;②y=2x-1(x>0);③u=2v-1;④y=.【解析】先认清y=2x-1,它是A=R(定义域)到B=R(值域)的映射.再看①定义域为{x|x∈R且x≠-},是不同的;②定义域为{x|x>0},是不同的;④y==|2x-1|=对应关系是不同的;而③定义域是R,值域是R,对应关系是乘2减1,与y=2x-1完全相同.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·西双版纳高一检测)已知f(x)=x2-4x+5.(1)求f(2)的值.(2)若f(a)=10,求a的值.【解析】(1)由f(x)=x2-4x+5,所以f(2)=22-4×2+5=1.(2)由f(a)=10,得a2-4a+5=10,即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1.11.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f=-f(x).【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f==,-f(x)=-=,所以f=-f(x).(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·北京高一检测)已知f满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=3,f(3)=2,那么f(6)等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为f(ab)=f(a)+f(b),所以f(6)=f(2×3)=f(2)+f(3)=3+2=5.2.(2014·济宁高一检测)函数f(x)=的定义域为( )A.{x|x<0}B.{x|x<-1}C.{x|x<0,且x≠-1}D.{x|x≠0}【解析】选C.由得所以x<0且x≠-1,故选C.【变式训练】(2014·临沂高一检测)函数y=+的定义域是. 【解析】由得x≥-1且x≠2,所以函数y=+的定义域为{x|x≥-1且x≠2}.答案:{x|x≥-1且x≠2}3.(2014·哈尔滨高一检测)已知集合M=,N=,给出下列四个对应关系:①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=,其中能构成从M到N的函数的是( ) A.① B.② C.③ D.④【解析】选D.对于①集合M中的元素4,在N中无元素与之对应.对于②集合M 中的元素-1,2,4在N中无元素与之对应.对于③,集合M中的元素-1,1,4在N中无元素与之对应.④符合函数的定义.【变式训练】(2014·温州高一检测)下列给出的四个图形中,是函数图象的有( )A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④【解析】选B.②中对于同一个x有两个y与之对应,不符合函数的概念,其余都符合.4.设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果B={1,2},则A∩B一定是( )A.∅B.∅或{1}C.{1}D.∅或{2}【解题指南】因为f:x→x2是集合A到集合B的函数,又B={1,2},所以可求出x 的值,从而写出集合A,再求集合A与集合B的交集.【解析】选B.由f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果B={1,2},由x2=1,得x=±1,由x2=2,得x=±,则A={-1,1,-,}或A={-1,1,-}或A={-1,1,}或A={-1,,-}或A={1,-,}或A={-1,-}或A={-1,}或A={1,}或A={1,-}.所以A∩B=∅或{1}.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·桂林高一检测)已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N= .【解析】由f(x)=,得2-x>0,所以x<2,所以M={x|x<2};由g(x)=,得x+2≥0,所以x≥-2,所以N={x|x≥-2},所以M∩N={x|-2≤x<2}.答案:{x|-2≤x<2}6.已知函数f(x)=,g(x)=x2+2,则f(2)= ,f(g(2))= .【解析】由f(x)=,所以f(2)==,由g(x)=x2+2,所以g(2)=22+2=6,f(g(2))=f(6)==.答案:【举一反三】本题条件不变,求g(f(2)),则结论如何?【解析】由f(x)=,所以f(2)==,所以g(f(2))=g=+2=.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·濮阳高一检测)判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数.(1)A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=(2)A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=.(3)A=Z,B=Z,对应关系f:x→y=.(4)A={1,2,3,4},B={-1,1},对应关系如图.【解析】(1)(4)是函数,(2)(3)不是函数.(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应,对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应,所以是函数.(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应,故不是函数.(3)集合A中的0元素(或-1等),在B中没有元素和它对应,故不是函数.(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的-1与之对应,集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应,故是函数.8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,k∈N*,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B.【解题指南】根据对应关系列出方程,通过字母的取值范围决定取舍.【解析】根据对应关系f,有1→4;2→7;3→10;k→3k+1.若a4=10,则a∉N*,不符合题意,舍去;若a2+3a=10,则a=2(a=-5不符合题意,舍去),故3k+1=a4=16,得k=5.综上,a=2,k=5,集合A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.关闭Word文档返回原板块。
高中数学课时提升作业(八) 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射 (2)
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课时提升作业(八)函数的表示法(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·西双版纳高一检测)由下表给出函数y=f(x),若f(m)=3,则m的值为( )x -1 0 1 2 3y 3 4 3 2 1A.-1B.1C.±1D.3【解析】选C.由表知当m=-1,1时f(m)=3.【变式训练】某班连续进行了5次数学测试,其中刘勇同学的成绩如表所示,在这个函数中,定义域为( )次数x 1 2 3 4 5分数y 80 85 83 90 95A.{1,2,3,4,5}B.{x|1≤x≤5}C.{80,85,83,90,95}D.{x|80≤x≤95}【解析】选A.由题意知定义域是自变量x的取值范围,故这个函数的定义域为{1,2,3,4,5}.2.(2013·济宁高一检测)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)=( )A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7【解析】选B.由g(x+2)=f(x)=2x+3,所以g(x+2)=2(x+2)-1,所以g(x)=2x-1.3.(2014·石家庄高一检测)给如图的容器甲注水,下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系( )【解析】选B.容器下端较窄,上端较宽,当均匀注入水时,刚开始的一段时间高度变化较大,随着时间的推移,高度的变化速度开始减小,即高度变化不太明显,四个图象中只有B项符合特点.4.(2013·北京高一检测)如果常数项为0的二次函数f(x)的图象经过点M(1,5),N(-1,-3),那么这个函数的解析式为( )A.f(x)=x2-2xB.f(x)=x2+4x-1C.f(x)=x2+4xD.f(x)=-x2+4x【解题指南】根据条件设出二次函数的解析式,再根据图象经过两点,代入求解.【解析】选C.设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx(a≠0),因为函数的图象经过点M(1,5),N(-1,-3),所以得解得所以函数的解析式为f(x)=x2+4x.5.(2014·合肥高一检测)已知f(+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为( )A.f(x)=x2B.f(x)=x2+1(x≥1)C.f(x)=x2-2x+2(x≥1)D.f(x)=x2-2x(x≥1)【解析】选 C.设+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2,所以f(x)=x2-2x+2(x≥1).【误区警示】利用换元法求解析式时,要注意所换新元的取值范围,如本题,因为+1=t,故t≥1.6.(2014·武安高一检测)若f(x)满足关系式f(x)+2f=3x,则f(2)的值为( ) A.1 B.-1 C.-D.【解析】选B.①-②×2得-3f(2)=3,所以f(2)=-1,选B.【一题多解】选B.由f(x)+2f=3x ①以代x,得f+2f(x)=②②×2-①得3f(x)=-3x,所以f(x)=-x,所以f(2)=-2=-1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.函数y=f(x)的图象如图,则函数的定义域为.【解析】根据图象,可知函数y=f(x)的自变量的取值范围为[-3,0]∪[1,2).答案:[-3,0]∪[1,2)8.(2014·淮安高一检测)已知函数f(x)=2x-1,则f(x-1)= .【解析】f(x-1)=2(x-1)-1=2x-3.答案:2x-39.(2014·哈尔滨高一检测)已知f(x)=2x+3,g(x)=4x-5,则使得f(h(x))=g(x)成立的h(x)= .【解析】由f(x)=2x+3,所以f(h(x))=2h(x)+3=4x-5,所以h(x)=2x-4.答案:2x-4三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式.【解析】设f(x)=kx+b,则f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b,所以3f(x+1)-f(x)=3kx+3k+3b-kx-b=2kx+3k+2b=2x+9,所以解得所以f(x)=x+3.【变式训练】已知f(x)=kx+b,f(1)=0,f(3)=-,求f(4)的值.【解析】因为f(1)=0,f(3)=-,所以解得所以f(x)=-x+,所以f(4)=-×4+=-.11.(2014·杭州高一检测)某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间适合关系式:y=ax+.且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过20件.(1)写出函数y关于x的解析式.(2)用列表法表示此函数.【解题指南】根据已知数据求出a,b的值,从而写出解析式,然后列表表示函数. 【解析】(1)将代入y=ax+,得即解得所以所求函数解析式为y=x+(x∈N*,0<x≤20).(2)当x∈{1,2,3,4,5,…,20}时,列表:x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20y 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·济宁高一检测)已知f=,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=1+x【解析】选C.因为f==,所以f(x)=,故选C.2.(2014·三明高一检测)已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )x 1 2 3f(x) 2 3 0A.3B.2C.1D.0【解析】选B.由y=g(x)的图象与y=f(x)的对应关系表可知g(2)=1,f(1)=2,所以f=f(1)=2.3.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,如图,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则图中较符合此学生走法的是( )【解析】选D.由于纵轴表示离学校的距离,所以距离应该越来越小,排除A,C,又一开始跑步,速度快,所以D符合.4.(2014·德州高一检测)已知f(x)是一次函数,若2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-3【解析】选B.设f(x)=ax+b(a≠0),由已知得即解得故选B.【变式训练】(2014·临沂高一检测)已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f等于( )A.1B.3C.15D.30【解析】选C.令g(x)=,得1-2x=,所以x=,所以f==15.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·慈溪高一检测)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(3)))= .【解析】由图可知f(3)=1,所以f(f(f(3)))=f(f(1)),而f(1)=2,所以f(f(f(3)))=f(2)=0.答案:0【举一反三】本题条件不变,则f(f(f(4)))= .【解析】由图可知:f(f(f(4)))=f(f(2))=f(0)=4.答案:46.(2014·宿迁高一检测)已知b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(x+b)=x2+10x+24,则b= .【解析】由f(x)=x2+4x+3,得f(x+b)=(x+b)2+4(x+b)+3=x2+(4+2b)x+b2+4b+3, 所以所以b=3.答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·晋江高一检测)某省在两座重要城市之间修了一条专用铁路,用一列火车作为直通车,已知该列火车的车头,每次拖4节车厢,每天可以来回16次,如果每次拖7节车厢,则每天可以来回10次.(1)设车头每次拖挂车厢节数为x节,每天来回的次数为y次,如果y是x的一次函数,求此一次函数的解析式.(2)在(1)的条件下,每节车厢来回一次能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使所载的人数最多?最多能载多少人?【解析】(1)由题意可设y=kx+b(k≠0).当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,得方程组:解得k=-2,b=24,所以y=-2x+24.(2)由题意,一天所挂车厢总数最多时,所载人数就最多,设S为每天所挂的车厢数,则:S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x=6时,S max=72,此时y=12,则一天最多载的人数为110×72=7920(人).答:这列火车每天来回12次才能使所载的人数最多,最多能载7920人.8.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.【解题指南】对y赋值,使得出现f(0)的结论,利用条件f(0)=1求出f(x). 【解析】因为对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),所以令y=x,有f(0)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x(x+1),又f(0)=1,所以f(x)=x(x+1)+1=x2+x+1.关闭Word文档返回原板块。
【人教A版】高中数学必修二：课时提升作业(八) 2.1.2
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课时提升作业(八)空间中直线与直线之间的位置关系(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是( )A.SBB.SCC.BCD.AB【解析】选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,又不平行,是异面直线.2.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c ( )A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交或异面都有可能【解析】选D.当a,b,c共面时,a∥c;当a,b,c不共面时,a与c可能异面、平行也可能相交.3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.【补偿训练】在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选A.如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知∠ABC=120°,异面直线MN,PQ,其中MN∥AB,PQ∥BC,则异面直线MN与PQ 所成的角为.【解析】结合等角定理及异面直线所成角的范围可知,异面直线MN与PQ所成的角为60°.答案:60°【补偿训练】平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有条.【解析】与AB平行、CC1相交的直线是CD,C1D1;与CC1平行,AB相交的直线是BB1,AA1;与AB,CC1都相交的直线是BC,故满足条件的棱有5条.答案:55.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确结论为(写出所有正确结论的序号).【解析】直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①②错误.点B,B1,N在平面B1C中,点M在此平面外,所以BN,MB1是异面直线.同理AM,DD1也是异面直线.答案:③④三、解答题6.(10分)如图所示,OA,OB,OC为不共面的三条射线,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC 上的点,且==成立.求证:△A1B1C1∽△ABC.【解题指南】由初中所学平面几何知识,可证明两内角对应相等,进而证明两个三角形相似.【证明】在△OAB中,因为=,所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC,B1C1∥BC.所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.【误区警示】在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等.此时要注意观察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行.【补偿训练】空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别是BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.【解析】取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,GF∥CD,且由AB=CD知EG=FG,所以∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.因为AB与CD所成的角为30°,所以∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面【解析】选B.A选项,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B 选项正确;C选项,l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3既可能共面,也可能异面;D选项,如长方体共顶点的三条棱为l1,l2,l3,但这三条直线不共面.2.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A.空间四边形 B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选B.易证四边形EFGH为平行四边形.又因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又FG∥BD,所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.而AC与BD所成的角为90°,所以∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.【拓展延伸】作异面直线所成角的三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·重庆高二检测)给出下列四个命题,其中正确命题的序号是.①在空间若两条直线不相交,则它们一定平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交;④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.【解析】①错,可以异面;②正确,公理4;③错误,和另一条可以异面;④正确,由平行直线的传递性可知.答案:②④4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)AA1与C1D1所成的角的度数为.(2)AA1与B1C所成的角的度数为.【解析】(1)因为AA1∥DD1,所以∠DD1C1即为所求的角.因为∠DD1C1=90°,所以AA1与C1D1所成的角为90°.(2)因为AA1∥BB1,所以∠BB1C即为所求的角.因为∠BB1C=45°,所以AA1与B1C所成的角为45°.答案:(1)90°(2)45°三、解答题5.(10分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.【解题指南】由于BC∥B1C1,所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可. 【解析】如图所示,在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.【补偿训练】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1.【解析】连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A 1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°,因为四棱柱ABCD-A 1B1C1D1中AB=BC=2,所以△ACD1是等腰直角三角形.所以AD1=AC,因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC=2×sin 60°×2=6,所以AD 1=AC=3,所以AA1===.【拓展延伸】求两异面直线所成角的技巧求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.关闭Word文档返回原板块。
高中数学人教版选修1-2课时提升作业(八)3.1.1数系的扩充和复数的概念探究导学课型含答案(最新编写)
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课时提升作业(八)数系的扩充和复数的概念(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为( )A.1B.±1C.-1D.-2【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.【解析】选 A.由x2-1=0得,x=±1,当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,当x=1时,满足,故选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解:选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;x=-1时,原复数为0,不满足,当x=-2时,原复数为3,不满足.故选 A.2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则( )A. B. C. D.【解析】选 C.由复数相等的条件得解得【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.【解析】因为x，y是实数，所以解得3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+i sinθ，z1=z2，则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.【解析】选 D.由z1=z2，可知所以cosθ=，sinθ=.所以θ=+2kπ，k∈Z，故选 D.【补偿训练】 1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2，所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1.所以3≤4-cosθ≤5.所以λ∈.答案：2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2015i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di?a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为( ) A.1 B.3 C.-3 D.9【解析】选 D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.5.下列说法正确的是( )A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B.若a，b∈R且a>b，则ai>biC.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0D.当z∈C时，z2≥0【解析】选 A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi∈R?故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为.【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,所以解得a=2.答案:2【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2= .【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.答案:58.给出下列说法:①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②满足x2=-1的数x只有i;③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;④复数m+ni的实部一定是m.其中正确说法的个数为.【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.答案:1三、解答题(每小题10分，共20分)9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.【解析】(1)若z是实数,则m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)若z是虚数,则m2+3m-10≠0,解得m≠2且m≠-5.(3)若z是纯虚数,则解得m=3.10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠?，求实数m的值.【解题指南】通过M∩N≠?可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.【解析】因为M∩N≠?，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得解得m=-2.由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得解得m=-3.所以m的值为-2或-3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为( )A.-1B.-1或4C.6D.6或-1【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.【解析】选 A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以所以m=-1,故选A.2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有( )A.a≠0B.a≠2C.a≠-1且a≠2D.a=-1【解析】选 D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k= .【解析】因为z<0,所以z∈R,故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,所以k=2或k=3,但k=3时,z=0,故k=2.答案:2【补偿训练】若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是.【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.答案：-24.复数z=cos+sin i,且θ∈,若z是实数,则θ的值为;若z为纯虚数,则θ的值为.【解析】z=cos+sin i=-sinθ+icosθ,当z是实数时,cosθ=0,因为θ∈,所以θ=±;当z为纯虚数时又θ∈,所以θ=0.答案:±0三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·天津高二检测)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】根据复数z为实数、虚数、纯虚数的条件,分别求出相应的a的值.【解析】(1)当z为实数时,则有所以所以a=6,即a=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,则有a2-5a-6≠0且有意义,所以a≠-1且a≠6且a≠±1,所以a≠±1且a≠6.所以当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,有所以所以不存在实数a使z为纯虚数.【误区警示】解答本题注意使式子有意义的条件限制,防止在(1)(2)问解答中因忽视a≠±1而导致错误.6.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1<z2,求实数m的取值范围.【解析】由于z1<z2,m∈R,所以z1∈R且z2∈R,当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2.当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4,所以当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1<z2.所以z1<z2时,实数m的取值为m=1.【补偿训练】如果m为实数，z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i，z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？【解题指南】由于z1，z2可以比较大小，故其一定是实数.【解析】z1>z2或z1<z2，可知z1∈R，z2∈R，所以当z1>z2时，有由①②两个式子解得m=0，不能满足最后一个式子，所以使z1>z2的m的值的集合为空集. 由上面可知，当m=0时，m2+1<4m+2，所以使z1<z2的m值的集合为{0}.关闭Word文档返回原板块。
人教A版18年高一数学必修一课时提升作业(八)
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课时提升作业(八)函数的表示法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=-B.f(x)=C.f(x)=3xD.f(x)=-3x【解析】选B.设f(x)=(k≠0),由f(-3)=-1得=-1,所以k=3.所以f(x)=.2.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定义域是( )A.RB.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)【解析】选C.由图象知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).3.(2015·威海高一检测)已知f=2x+3,且f(m)=6,则m等于( )A.-B.C.D.-【解析】选A.令x-1=t,则x=2(t+1),所以f(t)=4(t+1)+3=4t+7,所以f(x)=4x+7,由f(m)=6得4m+7=6,所以m=-.【一题多解】选A.由2x+3=6得x=,所以m=x-1=×-1=-.4.已知函数f(x)的定义域A={x|0≤x≤2},值域B={y|1≤y≤2},下列选项中,能表示f(x)的图象的只可能是( )【解析】选 D.根据函数的定义,观察图象,对于选项A,B,值域为{y|0≤y≤2},不符合题意,而C中当0≤x<2时,一个自变量x对应两个不同的y,不是函数.5.如果f=,则当x≠0,1时,f(x)= ( )A. B. C. D.-1【解析】选 B.令=t(t≠0,t≠1),所以x=.所以f(t)==·=,所以f(x)=(x≠0,x≠1).【误区警示】用换元法求函数的解析式时,要注意新元的范围,否则易出错. 【补偿训练】已知x≠0,函数f(x)满足f=x2+,则f(x)的表达式为( )A.f(x)=x+B.f(x)=x2+2C.f(x)=x2D.f(x)=【解析】选B.因为x≠0,f=x2+=+2,所以f(x)=x2+2(x≠0).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·郑州高一检测)已知g(x-1)=2x+6,则g(3)= .【解析】因为g(x-1)=2x+6,令x-1=t,则x=t+1,所以g(t)=2(t+1)+6=2t+8,即g(x)=2x+8,所以g(3)=2×3+8=14.答案:14【一题多解】本题还可用以下方法求解:因为g(x-1)=2x+6,所以g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.答案:14【补偿训练】已知f(2x+1)=x2-2x,则f(5)= .【解析】令2x+1=5,则x=2,代入已知条件可得f(5)=22-2×2=0.答案:07.(2015·荆门高一检测)若f(x)是一次函数,f(f(x))=4x-1,则f(x)= . 【解析】设f(x)=kx+b,则f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1.所以解得或所以f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.答案:2x-或-2x+18.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f的值等于.【解析】因为f(3)=1,所以=1,所以f=f(1)=2.答案:2【补偿训练】已知f(x)=π(x∈R),则f(π2)等于( )A.π2B.πC.D.不确定【解析】选B.由题意知函数f(x)为常函数,所以f(π2)=π.三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数解析式:(1)(2015·温州高一检测)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x).(2)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.【解析】(1)由题意,设函数为f(x)=ax+b(a≠0),因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,所以3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性质,得所以a=1,b=3.所以所求函数解析式为f(x)=x+3.(2)设x+1=t,则x=t-1,f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2.所以所求函数为f(x)=x2+2x-2.10.作出下列函数的图象:(1)y=1-x,x∈Z.(2)y=x2-4x+3,x∈[1,3].【解析】(1)因为x∈Z,所以图象为一条直线上的孤立点,如图(1)所示.(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1,3时,y=0;当x=2时,y=-1,其图象如图(2)所示.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.定义域为R的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,则f(x)= ( )A.-2x+1B.2x-C.2x-1D.-2x+【解析】选D.由f(x)+2f(-x)=2x+1, ①可得f(-x)+2f(x)=-2x+1, ②②×2-①得,3f(x)=-6x+1,所以f(x)=-2x+.2.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为( )A.f(x)=(x-a)2(b-x)B.f(x)=(x-a)2(x+b)C.f(x)=-(x-a)2(x+b)D.f(x)=(x-a)2(x-b)【解析】选A.由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C;又当x>b时,f(x)<0,排除D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.f(x)为一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为.【解题指南】设出一次函数f(x)的解析式f(x)=ax+b(a≠0),由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,得关于a,b的方程组,解出即可.【解析】设一次函数f(x)=ax+b(a≠0),由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,得即解得a=3,b=-2.所以f(x)=3x-2.答案:f(x)=3x-24.(2015·台州高一检测)函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)= .【解析】令t=x+1,得x=t-1,则f(t)=(t-1)(t-1+3)=(t-1)(t+2).所以f(x)=(x-1)·(x+2).答案:·三、解答题(每小题10分,共20分)5.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.【解题指南】对y赋值,得到关于f(0)的结论,利用条件f(0)=1,求出f(x)的解析式.【解析】因为对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),所以令y=x,有f(0)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x(x+1),又f(0)=1,所以f(x)=x(x+1)+1=x2+x+1,即f(x)=x2+x+1.【拓展延伸】赋值法求函数解析式(1)适用范围:通常给出一个函数方程及一些特殊值的函数值,然后求出函数解析式.(2)解决策略:根据需要给式子中的变量赋予特殊的意义,可以是特殊值,也可以是两个变量之间的某种特殊的关系,从而达成最终的目标.6.画出二次函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小.(2)若x1<x2<1,比较f(x1)与f(x2)的大小.(3)求函数f(x)的值域.【解析】f(x)=-(x-1)2+4的图象,如图所示:(1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,所以f(1)>f(0)>f(3).(2)由图象可以看出,当x1<x2<1时,函数f(x)的函数值随着x的增大而增大,所以f(x1)<f(x2).(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)=4,所以函数f(x)的值域为(-∞,4].【延伸拓展】利用函数的图象解决有关问题的注意点函数的图象可以形象地反映函数的性质,通过观察图象可以确定图象的变化趋势,便于数形结合解决问题.利用图象时,要注意图象中标出的关键点.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(五十六)
一、选择题
1.(2013·宜春模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为( )
(A)y2=4x (B)y2=8x
(C)x2=4y (D)x2=8y
2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p= ( )
(A)(B)1 (C)2 (D)3
3.抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
(A)(B)(C)-(D)-
4.一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是( )
(A)48(B)24(C)(D)
5.(2013·九江模拟)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为
( ) (A)x=1 (B)x=-1
(C)x=2 (D)x=-2
6.(2013·铜陵模拟)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )
(A)48 (B)56 (C)64 (D)72
7.(2013·西安模拟)若双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为( )
(A)(B)(C)(D)
8.(能力挑战题)已知M是y=x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小
值为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)10
二、填空题
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.
10.(2013·巢湖模拟)抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m= .
11.(2013·南昌模拟)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是.
三、解答题
12.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.
13.(2013·宝鸡模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
14.(能力挑战题)如图,曲线C
1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的
一部分,曲线C2是以原点O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A,B是曲
线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.
(1)求曲线C1和C2的方程.
(2)设点C,D是曲线C2所在抛物线上的两点(如图).设直线OC的斜率为
k1,直线OD的斜率为k2,且k1+k2=,证明:直线CD过定点,并求该定点的
坐标.
答案解析
1.【解析】选D.由已知得,动点P到点A(0,2)的距离与它到直线l:y=-2的距离相等,根据抛物线的定义得,该轨迹为以A(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线,且=2,≨p=4.又焦点在y轴上,开口向上,所以所求方程为:x2=8y.
2.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2〓-3=0,
即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).
3.【解析】选D.由抛物线y=-2x2得x2=-y,
所以其焦点为F(0,-),
设点M纵坐标为y0,
由抛物线定义得-y0=1,得y0=-.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.
4.【解析】选A.
如图,可求AB所在的直线方程为y=x,
由
得B点坐标为(12,4),
≨S△ABC=2S△ABD=2〓〓12〓4=48.
5.【解析】选 B.方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,≨y1+y2=2p,
由题意知:y1+y2=4,
≨p=2,≨抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
两式相减得:k AB====1,≨p=2,
≨抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
6.【解析】选A.由题不妨设A在第一象限,联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6), B(1,-2),而准线方程是
x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,
故S梯形APQB=(AP+QB)·PQ=48.
7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),
依题意=.
即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,
又b2=c2-a2,≨25(c2-a2)=4c2,
解得c= a.
故双曲线的离心率为=.
8. 【解析】选B.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.≨|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值, 于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.
9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
10.【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线-=1的上焦点坐标为(0,),依题意有4=,解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为(0,)的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.
11.【解析】由y2=4x得,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
由|a|>4知点A(4,a)在抛物线的外部,
要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,这只需点A,P,F三点共线即可,此时:(|PA|+|PF|)min==,所以:|PA|+|PM|的最小值为(|PA|+|PF|)min-1=-1.
答案:-1
12.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).
≧OP⊥OQ,≨当x≠0时,得k OP·k OQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.
≨曲线C的方程为x2=2y(x≠0).
(2)≧直线l2与曲线C相切,≨直线l2的斜率存在.
设直线l2的方程为y=kx+b,
由得x2-2kx-2b=0.
≧直线l2与曲线C相切,
≨Δ=4k2+8b=0,即b=-.
点(0,2)到直线l2的距离d==·=(+)
≥〓2
=.
当且仅当=,即k=〒时,等号成立.此时b=-1.
≨直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.
13.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p〓1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)存在.假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
≧直线l与抛物线C有公共点,
≨Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=,可得=,
解得t=〒1.
≧-1∉[-,+≦),1∈[-,+≦).
≨符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
14.【解析】(1)设A(x A,y A),F1(-c,0),F2(c,0),曲线C1所在椭圆的长轴长为2a,则2a=|AF1|+|AF2|=6. 又由已知及圆锥曲线的定义得:
(x A-c)2+=,(x A+c)2+=,x A+c=,
得:(x A-c)2=.又≧∠AF2F1为钝角,
≨x A-c=,故x A=,c=1,
即曲线C1的方程为+=1(-3≤x≤),
曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤).
(2)设直线OC的方程为:y=k1x,
由
得(k1x)2-4x=0,即C(,),
同理得:D(,),
≨直线CD的方程为:y-=(x-),即y=x+2,
当x=0时,恒有y=2,即直线CD过定点(0,2).。