直线的倾斜角与斜率
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180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x1 x2 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
1. a 30
2.
a 45
3. a 60
4.
a 90
5. a 120 6. 7. a 150 8.
a 135 a 0
二、 直线的斜率
倾斜角不是 90°的直线.它的倾斜角的正切值
叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用 k 表示.
即
k tan（ ≠90°）
k
0
2
k
0
2
当
0,
2
时，k
0,
①所有直线都有倾斜角,所有的直线都有斜率( × ) ②平行于x轴的直线的倾斜角是00或1800.( × )
③直线的倾斜角越大,它的斜率也越大( × )
(2)直线l1, l2, l3的斜率分别为k1 ,k2 ,k3,试比较它们斜率的大小.
y
l2
2
O
l3
3
x
l1
k2>k3>0>k1
练习：已知直线的倾斜角范围30°≤α＜60°，求 直线的斜率k取值范围。
4
，则
的
取值范围是 ,1 1,
2、已知直线的斜率－1≤k＜1，则直线的倾斜角α取值范围是 。
k10Fra bibliotek-12
0 或
4
3
4
例 已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交,又M(2,-3),
N(-3,-2),求直线l的斜率k的取值范围.
y
解 直线l 相当于绕着P在直线PM与PN
l1
间旋转, l1是 过P点且垂直于x轴的直线.
k
3
3
3
6
0
63 2
答案：
3k 3 3
变形1:已知直线的倾斜角范围30°≤α＜120°，求 直线的斜率k取值范围。
k
2
3
3
6
0
6
3
2
3
答案： k 3 或k 3
3
我们知道，两点可以确定一条直 线。
如果知道直线上的两点，怎么 样来求直线的斜率(倾斜角)呢？
3、探究：由两点确定的直线的斜率
当l由PN位置旋转到l1位置时,倾斜
O1 P(1,1)
角增大到900,
-3 -2 -1-1 1 2 3
x
3 而kPN= 4
k 3. 4
-2
N(-3,-2)
M(2,-3)
又当l从直线PM旋转到l1时,倾斜角减少到900,
而kPM=-4 k 4.
综上所述, k (,4] [ 3 ,). 4
1.已知直线的倾斜角为α，若 sin 3，求此直线
的斜率。
5
思考？
0
2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，
上述公式还适用k吗？ta为n 0什 么0？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
k y2 y1 x2 x1
x1 o x2 x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
思考？
1、当直线平行于y9轴0，, t或an与90y轴(不重存合时在，)
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
练习:已知P1(1,2), P2 (x,3), P3(3,1)在一条 直线上, 求x的值.
解: P1, P2 , P3在一条直线上
k k P1P2
P2 P3
即3 2 13 x 1 3 x
x 7. 3
2、直线l 的斜率为 k,倾斜角
为
,若 4
3
当 = 时，直线的斜率不存在
2
当
2
,
时，k , 0
变形2:已知直线的斜率范围 1 k 3 ，求 直线的倾斜角α取值范围。
k
3
1
6
0
43 2
答案：
4
3
y
当a 90时
k ?
o
x
思考：当直线与 x轴垂直时，
直线的倾斜角是多少？
a 90 tan a(不存在)
即k不存在
(1)判断下列命题是否正确。
位置能够确定吗？
y
l
OP
x
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它 们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
别在哪里呢？
y
l
OP
x
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述 直线的倾斜程度呢？
y
l
OP
x
一、直线的倾斜角 1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准， X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直 线的倾斜角
上述公式还适k用不吗存？在为什么？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立， 因为分母为0。
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
y
y
y
a
y
a
o
o
o
o
x
x
x
x
零度角
锐角
直角
钝角
3、如何才能确定直线位置？
x
l
y
a 过一点且倾斜角为 a
o
能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
问题：安全考虑，滑滑梯如何设计更合理呢？
滑滑梯的坡 度缓冲
直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系里
点用坐标表示:
y
p(x, y)
直线如何表示呢？ o
x
l
x
y
思考？
o
一条直线的位置由
哪些条件确定呢？
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位 置由哪些条件确定？
y
l
O
x
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一 条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
1、直线斜率的定义：
a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
例如： a 30 k tan 30
3
3
a 45 k tan 45 1
a 120o k tan120o tan(180o-60o) - 3
练习:
已知直线的倾斜角,求直线的斜率
k tan
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
如一图个，直当角α三为锐角时，
角形去求？
P2P1Q,
且x1 x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
如图，当α为钝角时，
y
注意： (1)直线向上方向；
a
(2)轴的正方向。
o
x
l
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
x x
a
o
oa
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线
的倾斜角的取值范围为：0 a 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x1 x2 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
1. a 30
2.
a 45
3. a 60
4.
a 90
5. a 120 6. 7. a 150 8.
a 135 a 0
二、 直线的斜率
倾斜角不是 90°的直线.它的倾斜角的正切值
叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用 k 表示.
即
k tan（ ≠90°）
k
0
2
k
0
2
当
0,
2
时，k
0,
①所有直线都有倾斜角,所有的直线都有斜率( × ) ②平行于x轴的直线的倾斜角是00或1800.( × )
③直线的倾斜角越大,它的斜率也越大( × )
(2)直线l1, l2, l3的斜率分别为k1 ,k2 ,k3,试比较它们斜率的大小.
y
l2
2
O
l3
3
x
l1
k2>k3>0>k1
练习：已知直线的倾斜角范围30°≤α＜60°，求 直线的斜率k取值范围。
4
，则
的
取值范围是 ,1 1,
2、已知直线的斜率－1≤k＜1，则直线的倾斜角α取值范围是 。
k10Fra bibliotek-12
0 或
4
3
4
例 已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交,又M(2,-3),
N(-3,-2),求直线l的斜率k的取值范围.
y
解 直线l 相当于绕着P在直线PM与PN
l1
间旋转, l1是 过P点且垂直于x轴的直线.
k
3
3
3
6
0
63 2
答案：
3k 3 3
变形1:已知直线的倾斜角范围30°≤α＜120°，求 直线的斜率k取值范围。
k
2
3
3
6
0
6
3
2
3
答案： k 3 或k 3
3
我们知道，两点可以确定一条直 线。
如果知道直线上的两点，怎么 样来求直线的斜率(倾斜角)呢？
3、探究：由两点确定的直线的斜率
当l由PN位置旋转到l1位置时,倾斜
O1 P(1,1)
角增大到900,
-3 -2 -1-1 1 2 3
x
3 而kPN= 4
k 3. 4
-2
N(-3,-2)
M(2,-3)
又当l从直线PM旋转到l1时,倾斜角减少到900,
而kPM=-4 k 4.
综上所述, k (,4] [ 3 ,). 4
1.已知直线的倾斜角为α，若 sin 3，求此直线
的斜率。
5
思考？
0
2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，
上述公式还适用k吗？ta为n 0什 么0？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
k y2 y1 x2 x1
x1 o x2 x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
思考？
1、当直线平行于y9轴0，, t或an与90y轴(不重存合时在，)
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
练习:已知P1(1,2), P2 (x,3), P3(3,1)在一条 直线上, 求x的值.
解: P1, P2 , P3在一条直线上
k k P1P2
P2 P3
即3 2 13 x 1 3 x
x 7. 3
2、直线l 的斜率为 k,倾斜角
为
,若 4
3
当 = 时，直线的斜率不存在
2
当
2
,
时，k , 0
变形2:已知直线的斜率范围 1 k 3 ，求 直线的倾斜角α取值范围。
k
3
1
6
0
43 2
答案：
4
3
y
当a 90时
k ?
o
x
思考：当直线与 x轴垂直时，
直线的倾斜角是多少？
a 90 tan a(不存在)
即k不存在
(1)判断下列命题是否正确。
位置能够确定吗？
y
l
OP
x
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它 们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
别在哪里呢？
y
l
OP
x
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述 直线的倾斜程度呢？
y
l
OP
x
一、直线的倾斜角 1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准， X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直 线的倾斜角
上述公式还适k用不吗存？在为什么？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立， 因为分母为0。
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
y
y
y
a
y
a
o
o
o
o
x
x
x
x
零度角
锐角
直角
钝角
3、如何才能确定直线位置？
x
l
y
a 过一点且倾斜角为 a
o
能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
问题：安全考虑，滑滑梯如何设计更合理呢？
滑滑梯的坡 度缓冲
直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系里
点用坐标表示:
y
p(x, y)
直线如何表示呢？ o
x
l
x
y
思考？
o
一条直线的位置由
哪些条件确定呢？
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位 置由哪些条件确定？
y
l
O
x
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一 条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
1、直线斜率的定义：
a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
例如： a 30 k tan 30
3
3
a 45 k tan 45 1
a 120o k tan120o tan(180o-60o) - 3
练习:
已知直线的倾斜角,求直线的斜率
k tan
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
如一图个，直当角α三为锐角时，
角形去求？
P2P1Q,
且x1 x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
如图，当α为钝角时，
y
注意： (1)直线向上方向；
a
(2)轴的正方向。
o
x
l
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
x x
a
o
oa
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线
的倾斜角的取值范围为：0 a 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？