伸缩变换

保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’ (x’, y’)，坐标对应关系为：
x
1
x
2
①
y y
我们把①式叫做平面直角坐标 系中的一个坐标压缩变换。
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y
在正弦曲线上任取一点P(x, y),
保持横坐标x不变，将纵坐标伸长
2
为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 O
平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考：y 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
2
O
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
横坐标x缩为原来的1/2;
O
x
在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为:
x
1
x
2 ③
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y；
3
y
x
得到
y
1
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x y
代入 2x+3y=0;
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 xy0
(2)将
x
y
1
2 1
x y
代入x2+y2=1，
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是
x2 y2
1
49
补充练习：
1.求下列点经过伸缩变换
x' y'
2 3
x y
后的点的坐标：
①（1，2）； ②（-2，-1）.
2.曲线C经过伸缩变换
x' y'
1 3 1 2
x y
后的曲线方程是4x'29y'236
则曲线C的方程是
.
3. 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）
A
x
'
y
'
2 3 3 2
x y
B
x
'
y
'
3 2 2 3
x y
x' y x' x1
C
y'
x
Dy' y1
4.
在伸缩变换
x' y'
① 0,0
②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到；
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换: 后的图形。
x 2x
y
3
y
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
x 2x
解：(1)由伸缩变换
2x y
与伸缩变换
x' y'
2 2
x y
的作用下，
单位圆x2y2 1分别变成什么图形？
5.曲线 x2y22x0变成曲线 x'21y6 '24x'0
的伸缩变换是
.
6.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变
换：曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x2y21
x 3x
7.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义:
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P′(x′, y′).
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可 以实现平面图形的伸缩。
y
y
后,
曲线C变为 x29y21,求曲线C的方程并画出图形。
作业：P8 4（1）、5