广西南宁市第三中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(理)试题

南宁三中2021~2022学年度下学期高二期中考试

理科数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.

1．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（）

A ．3

-B ．2

-C ．2

D ．3

2．已知集合{}2{63},3100S x x T x x x =∈-<<=--<Z

∣∣，则S T Ç=（）

A ．{23}x x -<<∣

B ．{1,0,1,2}-

C ．{52}x

x -<<∣D ．{2,1,0,1,2}

--3．函数3cos y x x =-的部分图象可能是（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．若向量a b ， 满足1a = ，

2b = ，()

a a

b ⊥+ ，则a 与b

的夹角为()A ．

6

πB ．

3

πC ．

23

πD ．

56

π

5．与椭圆2

214x y +=共焦点且过点(2,1)P 的双曲线方程是（）

A ．2

21

4

x y -=B ．2

21

2

x y -=C ．22133

y x -=D ．2231

x y -=

6．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B =

A B C D

7．二项式12

(x 展开式中的常数项为

A ．-1320

B ．1320

C ．-220

D ．220

8．执行如图的程序框图，输出的S 值是（

）

A ．

B ．

2

C ．0

D 9．若函数cos y x ω=（0ω>）的图象向右平移6

π

个单位后与函数sin y x ω=的图象重合，则ω的值可能是A ．1

2

B ．1

C ．3

D ．4

10．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨

>⎩

，，

，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）

B ．[0，+∞）

C ．[–1，+∞）

D ．[1，+∞）

11．已知正三棱锥A BCD -的底面BCD △为正三角形，且4,2AB BC ==，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（）

A B C D 12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若

11||

2||

A K

B K =，则直线l 的斜率为

A ．1

B

C

．D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．与直线y ＝x ﹣2平行且与曲线y ＝x 2﹣lnx 相切的直线方程为__．

14．已知,x y 满足约束条件10202x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

，则目标函数2z x y =-的最大值为______．

15．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．

16．四面体ABCD 的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB ，AC ，AD 两两垂直，2BA BC ⋅=

，

则四面体ABCD 体积的最大值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2

22n S n a n =+．

（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}2

n

a 的前n 项和n

T ．

18．

某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；

(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及其数学期望E (Y )．

19．如图，在矩形ABCD 中，24

==A D

A B ，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与DCE ∆折起，

使得平面BAE ⊥平面ADE ，平面DCE ⊥平面ADE

.

（1）求证：//BC 平面ADE ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.

20．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左，右焦点为1F ，2F ，点T 为椭圆C 上的动点，

且1TF 的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的方程；

(2)若点T 在第一象限，且2TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C 交于点M ，N ，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．

21．已知函数2

(2

)1ln f x x ax x =-+，a R ∈.

(1)若(1)0f =，求函数()f x 的极值；

(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值.

22．在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线1C 的参数方程为1cos 3

12sin 3x y αα

⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

（α为参数），以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C 的极坐标方程为