图形推理中折叠图形的解题原理分析

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图形推理之折纸盒

图形推理之折纸盒、拆纸盒问题一般来说，图形推理题目可以按照图形数量变化来划分，可以按照图形位置变化来划分，可以按照图形形状变化来划分。

但是，近年来，图形推理题目出现了一个新的趋势，那就是按照图形的立体变化来出题目。

立体变化，顾名思义，就是利用图形在空间中的“平面——立体”、“立体——平面”变化来考察考生的空间想象能力。

平面图形与立体图形的这两种相互转化，我们分别称之为折纸盒问题——平面图形的空间还原、拆纸盒问题——立体图形的平面展开。

一、折纸盒问题——平面图形的空间还原平面图形的空间还原，就是给出一个平面图形，即立体图形的平面展开图，让考生将这个平面图形还原成空间图形。

这类题型经常出现在智商测验中，公务员考试借鉴此类题型来测查考生的空间想象能力等基本素质。

由平面到立体的这种本质性的变化直接对考生的能力提出了挑战，要想做好此类题目必须要多加练习，熟悉题目的特点，找出其中的解题技巧和规律。

下面，我们来看几道题目。

【例题1】【答案】D【解析】这个题目相当简单，通过观察可知只有D可以由左边的纸板折叠而成。

因为侧面没有阴影。

因此，正确答案是D。

【例题2】右边四个选项中的哪个不是左边图形折叠而成的。

()【答案】A【解析】这个题目不是很难，5的四个临面是4、2、3、1，而且1和4是平行面，2和3是平行面，故答案选择A，因为2和3不可能是临面。

【例题3】(2008年中央)下面四个所给的选项中，哪—个选项的盒子不能由左边给定的图形做成( )【答案】C【解析】这个题目和上个题目有点类似都是选择不符合的项，由于题干中没有只给出一条对角线的面，故不能由左边的图形折成，因此答案选择C。

【例题4】(2010年中央)左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成?【答案】B【解析】自己用折纸法，得出是B。

空白面与横线面应该在对面的面上，所以排除C、D。

A项中上表面的对角线应该与右表面的对角线相交在一个顶点上。

故答案选择B项。

七年级折叠问题解题技巧

七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。

这意味着对应边相等，对应角相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。

折痕是对应点连线的垂直平分线。

比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。

2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。

解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。

先根据勾股定理求出AB=公式。

设AB中点为F，则AF=公式。

由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。

设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。

在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。

再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。

矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。

解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。

设AE = x，则BE = 4 x。

在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。

所以公式。

二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。

这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。

第二步：设未知数。

通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。

第三步：求解方程。

通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。

2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。

如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。

利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。

国家公务员行测图形推理技巧-折叠题型解题规律

国家公务员行测图形推理技巧:折叠题型解题规律篇一:行测图形推理之图形的空间折叠答题技巧图形推理之图形的空间折叠答题技巧知识点解析图形的空间折叠空间立体类是常见的一种图形推理题型,它不同于平常的图形推理都是平面图形之间的规律判断,重点考查空间想象能力.找到关键的解题点然后进行排除就能很快得出答案了.针对这一类问题,根据选项情况可采用区分相邻面及相对面.时针法.标点法来应对.解题范例篇二:_国家公务员考试行测答题技巧:图形推理不再难!50大规律轻松搞定中公教育·给人改变未来的力量!_国家公务员考试行测答题技巧:图形推理不再难!50大规律轻松搞定很多参加公务员考试的同学,认为行测非常难,特别是数学运算与图形推理题等,在本文中我们把图形推理的50大规律总结出来,希望大家牢记这50大规律,相信大家不会再头疼图形推理!1.大小变化2.方向旋转3.笔画增减(数字,线条数)4.图形求同5.相同部份去掉6.图形叠加(简单叠加,合并叠加,去同叠加)7.图形组合变化(如:首尾两个图形中都包含中间图形)8.对应位置阴影变化(两图相同或不同则第三图对应位置变阴影或变空白)9.顺时针或逆时针旋转_.总笔画成等差数列_.由内向外逐步包含_.相同部件,上下,左右组合_.类似组合(如平行,图形个数一样等)_.横竖线条之比有规律(如横线3条竖线4条,横线4条竖线5条等)_.缺口相似或变化趋势相似(如逐步远离或靠近)_.图形运动变化(同一个图形从各个角度看的不同样子)_.图形拆分(有三个图构成,后两个图为第一个图的构成部件)_.线条交点数有规律_.方向规律(上,下,左,右)_.相隔一个图形分别对称(如:以第三个图为中心,1和5对称,2和4对称) _.含义依据条件而变(如一个错号,可以表划 ,也可以表示两划 )_.图形趋势明显(点或图形从左到右,从上到下变化等)23.图形的上,中,下部分分别变化(求同,重叠,或去同叠加)24.相似类(包含,平行,覆盖,相交,不同图形组成,含同一图形等)25.上,中,下各部分别翻转变化更多公职类考试信息和资料中公教育·给人改变未来的力量!26.角的度数有规律27.阴影重合变空白28.翻转,叠加,再翻转30.与特定线的交点数相同(如:与折线的交点数有规律,有直线的交点数不用考虑)31.图形有多条对称轴,且有共同交点,轴对称图形(如正三角形,正方形)32.平行,上下移动33.图形翻转对称34.图形边上角的个数增多或减少35.不同图形叠加形成新图36.图形中某条线均为长线或短线(寻找共同部分)37.线段间距离共性.(如:直线上有几个点,分成几条线段,上部覆盖有另一个图形,如圆,三角形等,但是上面的图形占的位置都不大于最外面两点间的距离)38.图形外围,内部分别顺或逆时针旋转(内外部变化相反)39.特殊位置变化有规律(如当水平时,垂直时图形有一规律)40.各图形组成部件属于同一类(如:均为三条曲线相交)41.以第几幅图为中心进行变化(如:旋转,走近,相反等)42.求共同部分再加点变化(如:提出共同部分,然后让共同部分都变黑什么的)43.除去共同部分有规律44.数线段出头数,有规律(成等差数列,或有明显规律)45.图形每行图形被分割成的空间数相同46.以中间图形为中心,上下,对角分别成对称47.先递增再递减规律48.整套图形横着看,或竖着看,分别有规律.49.注意考虑图形部分变化(如:分别为上下不变中间变化,然后上中下一起变化,左右分别变化,左右一起变化等)50.顺着次序变化.(如:原来在内部的放大变为外部图形,内部图形相应变化.左右组成的图,上一个右边图等于下个左边图,右边再加个新图,如此循环) 更多信息关注:国家公务员考试网更多公职类考试信息和资料篇三:_公务员考试行测图形推理技巧之逆向思维江西公务员考试职位表点这里看_公务员考试行测图形推理技巧之逆向思维图形推理在公务员考试行测当中属于经常考查的一类题目,题干会给出一组已知图形,让我们去选择一个与已知图形能形成一定规律的选项,对于一些考点比较明显的题目我们可以快速解题,而对于一些规律并不明显的题目,或者当我们把能想到的一些常见规律带入题干后都不符合的时候往往就束手无策了,在这里,中公教育专家给大家介绍一种解题思路,考生可以用逆向思维从选项入手.所谓从选项入手就是指当我们遇到一些题干部分规律特别少或者规律不明显的题目时,我们不妨去看看选项,比较4个选项之间是否存在差异,如果选项当中有三个选项具有一定的共性,而另一个选项明显与这三个选项的共性不同,这时候我们可以将这个比较特殊的选项与其他三个选项的差异带回题干,以此来查找正确选项,下面通过具体的例题来给大家讲解逆向思维的应用.【例1】【中公解析】这是一道图形推理中类比型题目,如果我们通过题干已知的图形寻找规律的话,可以发现一些常见的规律,例如对称性.线条数.封闭数都不符合,这时候我们看一下四个选项,可以发现A选项比较特殊,是一个开放的图形,而B.C.D三个选项有一个共性就是都是封闭空间,我们将封闭与开放这个特性带回到题干的话,发现可以与题干形成一定的规律,就是两组图案的前两个图形都是封闭图形,第三个图形都是开放图形,所以这个题目选A项.【例2】【中公解析】这又是一道类比型题目,按照正常的思维方式我们从题干查找规律,相信很多考生会去尝试线条数.对称性等等的规律,结果自然是都不符合,这时候我们去比较一下四个选项之间有什么差异,可以发现选项的差异还是比较明显的,就是前三个选项都是由直线构成有角存在的,第四个选项是由曲线构成没有角的,可以将这个特性带回题干可以发现前三个图形都是有直线并且有角的,而后三个图形都是有曲线并且没有角的,所以这个题目选择D项.中公教育专家相信考生们通过这两个题目对逆向思维已经比较清楚,简单来说就是去比较选项之间的差异,找到比较特殊的选项后再带回题干比对.希望大家以后再面对图形推理这类题目时借助这种方式进而更好解题.。

破解折叠问题的三步曲

破解折叠问题的“三步曲”折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，因为是从平面跃然而到空间思维跨度大，由静到动，能综合考查学生的空间想象能力，识图能力及分析能力，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题笔者认为应从以下三点着手：第一步：看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这就需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题；（1）折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首”，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位，盐打哪儿咸，醋打哪儿酸，解决折叠问题的思维起点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关，要明确一点：位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的；（2）折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。

（3）折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？第二步：挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种：（1）将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这个二面角的平面角，在立体图中标出；（2）使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；比如若A,B 两点重合记为点P 的话，我们可以在图上标记为P(A,B),这样便于翻折前后的对比；（3）使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点；第三步：结合问题，寻找不变量通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，在实际解题中应灵活运用，下面举例说明在解题中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的：一、不变的垂直关系例1：如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将ADE ∆和BEC ∆沿DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P,求(1) 求证：PE PDC ⊥平面；（2）二面角P-CD-E 的度数;分析：从翻折的过程可以看出，,AD AE EB BC ⊥⊥这两个垂直关系是不变量，而翻折后A,B 重合为P ，故在立体图中有,PE PD PE PC ⊥⊥，问题得解；解：（1）由翻折过程可知，,PE PD PE PC ⊥⊥，故PE PDC ⊥平面；（2）取CD 中点F,连接PF,FE,在原平面图形中，AD=BC,ED=EC,翻折后A,B 重合为P,故PD=PC,可知,PF CD EF CD ⊥⊥,则PFE ∠是二面角P-CD-E 的平面角，设正方形边长为a ，得2a PE =，EF a =，12sin 2aPFE a ∠==，则二面角P-CD-E 的度数为30° 二、不变的长度关系例2（2007的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π3分析：原题是没有图的，需要我们自己画出前后两个图形，折叠特征是直二面角，哪个角是它的平面角？,DO AC OB AC ⊥⊥不难看到这两组垂直关系是不变的，故DOB ∠就是二面角的平面角，则2DOB π∠=，那么如何确定A,B,C,D 四点所在的球心呢？找不变量！通过比较两图可以发现，折叠前A 、B 、C 、D 四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正方体中心O 到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有OA OB OC OD ===，所以O 就是翻折后A B C D ，，，四点所在球的球心，易得该球半径1R =，而D,B 两点在球中所对球心角为π2，球面距离2L R πα==，故选B.三、不变的平行关系例3：（2006高考辽宁卷）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，求证：//BF ADE 平面分析：要证明//BF ADE 平面,只需证明BF 与ADE 平面内的一条直线平行即可，而比较翻折前后的图形可以发现，//BF ED 这个平行关系是不变量，命题得证；解：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点，则//EB FD 且EB=FD,∴四边形EBFD 是平行四边形//BF ED ∴ED ∴⊂平面AED ，而BF ⊄平面AED //BF ∴平面AED练习：（1）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积是（）（2）如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度为（）A ．90°B ．60°C ．45︒ （D ）0︒（3）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)2734π (B)26π (C)86π (D)246π（4）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）．M 为矩形AEFD 内的一点，如果∠MBE=∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为1/2，那么点M 到直线EF 的距离为_________。

折叠问题的解题方法

折叠问题的解题方法折叠问题是一种常见的数学问题，通常涉及到将一个二维图形折叠成一个三维形状。

解决这类问题需要一定的空间想象力和几何知识。

解决折叠问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，你需要理解问题的具体要求，明确你要折叠的对象是什么，以及折叠的方式。

2. 分析图形：仔细观察你要折叠的二维图形，找出它的对称轴、对称中心、角度和边的长度等关键信息。

3. 预测结果：根据二维图形的信息，尝试预测折叠后的三维形状会是什么样。

这需要你具备一定的空间想象力。

4. 建立数学模型：如果预测结果涉及到具体的数值，你可能需要建立一个数学模型来描述这个过程。

这可能涉及到几何、代数等知识。

5. 求解问题：根据建立的数学模型，求解出问题的答案。

这可能涉及到计算、推理等步骤。

6. 验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确。

这可以通过重新检查你的计算过程或与标准答案进行对比来完成。

下面是一个具体的例子：题目：一个正方形的纸片，对折两次后展开，得到的图形是( )。

A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四边形解题步骤：1. 理解问题：我们需要确定对折两次后展开得到的图形是什么。

2. 分析图形：正方形有四条等长的边和四个直角。

对折一次后，我们会得到一个矩形；再对折一次，我们会得到一个更小的矩形。

3. 预测结果：当纸片展开时，折痕会形成一条线，将纸片分成两个相同的部分。

因此，展开后的图形会有四条相等的边和四个直角。

4. 建立数学模型：由于对折两次后展开的图形有四条相等的边和四个直角，它是一个菱形。

5. 求解问题：答案是 B.菱形。

6. 验证答案：我们可以再次检查我们的推理过程，确保答案正确。

三年级折叠问题巧妙解题技巧

三年级折叠问题巧妙解题技巧
在三年级数学中，折叠问题是一个常见的题型。

这类问题通常涉及到图形折叠后的形状和大小变化。

为了更好地解决这类问题，我们需要掌握一些解题技巧。

解题技巧：
1. 理解折叠原理：折叠图形时，相对的两边会重合，而相对的两角会重合。

因此，在折叠前后的图形中，线段长度和角度大小是不变的。

2. 画图分析：通过画图可以帮助我们更好地理解题目的要求和图形的变化。

在画图时，要特别注意折叠后的图形与原图的关系，以及线段和角度的变化。

3. 利用已知条件：题目中通常会给出一些已知条件，如线段的长度、角度的大小等。

这些条件可以帮助我们确定折叠后的图形形状和大小。

4. 逻辑推理：在解决折叠问题时，逻辑推理是非常重要的。

我们需要根据已知条件和图形变化规律，逐步推导出未知的答案。

5. 反复练习：通过反复练习，我们可以加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。

示例题目：
1. 把一张长方形纸对折，每份是它的(1/2)，这张纸被折成多少份？
答案：2份
2. 把一张正方形纸对折两次，每份是它的多少？
答案：(1/4)
通过掌握这些解题技巧，我们可以更好地解决三年级数学中的折叠问题。

(完整版)几何图形折叠问题

HistudyjiftS7^i viPTUk帮助预子個建持续迸步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆 .2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等. 【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？ 3分）如图将矩形 ABCD&对角线BD 折叠，使C 落在C'处，BC'交AD 于点E ,则下到结论不一定成立的是（）AD=BCB .Z EBD=/ EDB C.A ABE^A CBD D sin / ABE*A.IHistudyjlftS7^l viPTUk帮助预子個建持续iS步的孚刃力2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取OA的中点C,过点C作CD L OA交理于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD, DF, FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（___________ .A. 36 n -108 B . 108-32 n C. 2 n D.nABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）A. 1B.说C. 2D.加如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6将厶ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知E一，则BC的长是（3. （2017浙江衢州）于点F,则DF的长等于（）4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片B. 3.2C. 3HiSMldy」畅字刃VIPT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门二、填空题:6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60°, AC=2三+4,点M N分别在线段AC.ABD恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为.ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C2=75°, EF= + 1,则BC的长-3分）如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处,BG 则/ AGB=三、解答与计算题：9. （2018 •广东• 7分）如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,上，将厶ANM沿直线Mr折叠，使点A的对应点8. （2018 •湖南省常德7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形已知/ DGH=30，连接(1)求证：△ ADE^A CEDAE交CD于点F,连接DEHistudyjlftS7^]l viPTUk|帮助预子陶建持续进步的孚刃力|10—（ 2018?山东枣庄？ 10分）如图，将矩形— D 交AF 于点G,连接DG（1）求证：四边形EFDG 是菱形；（2）探究线段EG GF AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6 EG=2E ，求 BE 的长.【能力篇】一、选择题： 11.（ 2018 •辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC （/ B=90°）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点A处，BC=8,那么线段AE 的长度为（）12.（ 2018 •四川省攀枝花・3分）如图，在矩形 ABCD 中, E 是AB 边的中点，沿 EC 对折矩形ABCD 使B 点落在点P 处，折痕为EC 连结AP 并延长AP 交CD 于 F 点，连结CP 并延长CP 交AD 于Q 点.给出以下结论： ① 四边形AECF 为平行四边形； ② / PBA=Z APQ③ 厶FPC 为等腰三角形； ④ 厶 APB^A EPC 其中正确结论的个数为（）A . 1 B. 2 C. 3D. 4C. 6D. 7D GECEB .A .亠13. （2018 •湖北省武汉• 3分）如图，在O O 中，点C 在优弧-I.上，将弧「■沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D.若O O 的半径为匚AB=4,则BC 的长是（、填空ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△ BCE 沿BE 折叠后得到△ BEF14. （2018 •辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形15. （ 2018 •四川宜宾• 3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=3 CB=2,点E 为线段AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE ①当E 为线段AB 中点时，AF// CE; ②当E 为线段AB 中点时，AF=9 ;5④当 A F 、C 三点共线时，△ CEF ^A AEF.DG 1且点F 在矩形ABCD 勺内部，将 BF 延长交AD 于点G.若 =' ，则折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序③当A F 、C 三点共线时,AE='HiSMiaa快乐字刃I VIPT 性叱帮朗滋子陶建持续进步的孚刃门GvPEDU !BCEDCA'B三、解答与计算题:16. (2018 •湖北省宜昌• 11分)在矩形 ABCD 中, AB=12 P 是边AB 上一点，把△ PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点 G,过点B 作BEL CG 垂足为E 且在AD 上, BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点，求证：△ AEB^A DEC (2)如图2,①求证：BP=BF③当BP=9时，求 BE?EF 的值.②当 AD=25 且 AE v DE 时，求 cos / PCB 的值; 17. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCC 中，AB> AD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处, AE 交CD 于点F ,连接DE (1)求证：△ ADE^A CED (2)求证：△ DEF 是等腰三角形.HiSMc!®快S 字刃丄VIP 亍性比帮朗预子陶建持续进步的孚刃门■ BC *HiStUCU快乐字刃VIPT性比帮助预子问建持续迸步的字刃力18. （2018?江苏盐城？10分）如图，在以线段二5■为直径的上取一点，连接、就•将_二弓匚沿.止翻折后得到□.（1 ）试说明点在上；（2）在线段.：「的延长线上取一点，使上厂—」一丄.求证：三壬为①门的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、匚吕相交于点，若m厂=J，二匸=-,求线段的长•【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市？12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证：/ HPC=90 ;②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法•（不需说明理由）（1）根据以上操作和发现，求的值;设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.(2) 随着点M 在边AD 上位置的变化，△ PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值;(3) 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A D 重合），点C 落在点N 处，MN W CD 交3 .....HistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等.【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？3分）如图将矩形ABCD&对角线BD折叠，使C落在C'处，BC'交AD于点E,则下到结论不一定成立的是（）A. AD=BCB.Z EBD=/ EDBC.A ABE^A CBD D sin / ABE*ED【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案.【解答】解：A、BC=BC, AD=BC二AD=BC，所以正确.B、 / CBD2 EDB / CBD=/ EBD EBD2 EDB正确.AED、T sin / ABE』,BE•••Z EBD=/ EDB••• BE=DEHistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力• sin / ABE^.ED故选：C.HistudyjlftS7^ll viPTUk|帮助预子詞11持续进步的字刃力|【点评】本题主要用排除法，证明 A , B , D 都正确，所以不正确的就是—C,排除法也是数学中一种常用的解题方法. 2.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB 已知OA=6取OA 的中点C,过点C 作CDL OA 交丽于点D,点F 是廳上一点.若将扇形BOD 沿 OD 翻折，点B 恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段 BD, DF , FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ __________ . A . 36 n -108 B . 108-32 n C . 2 n D.n【考点】MO 扇形面积的计算；P9:剪纸问题.1【分析】先求出/ ODC M BOD=30，作DEL OB 可得DE= OD=3先根据S 弓形BD =S 扇形BOD - & BOD 求得弓形的面积,2再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.【解答】解：如图，••• CD L OA•••/ DCO M AOB=90 ,•••/ ODC M BOD=30 ,则剪下的纸片面积之和为 12X （ 3 n- 9） =36 n- 108, 故答案为： 36 n- 108 .故选 A 3.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中, AB=4, BC=6将厶ABC 沿 AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ,则DF 的长等于（）…S 弓形B[=S 扇形X 6X 3=3n- 9,•/ OA =OD =OB =6OC |OA作DE L OB 于点E ,则 DE= OD=3c Mg 心BOD _d BOD=His【udy 』?i 乐字刃］vi 卩卞性比帮朗预子陶建持续迸步的孚刃门【考点】PB 翻折变换（折叠问题）；LB :矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB / E=Z B=90°,易证Rt △ AEF ^ Rt △ CDF ,即可得到结论设FA=x ,则FC=x , FD=6- x ,在Rt △ CDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程x 2=42+（ 6-x ）【解答】解：•••矩形 ABCD 沿对角线AC 对折，使△ ABC 落在厶ACE 的位置, ••• AE=AB / E=Z B=90°,又•••四边形ABCD 为矩形， • AB=CD • AE=DC 而/ AFE=Z DFC•••在△ AEF 与厶CDF 中，ZAFE-ZCFD•••△ AEF ^A CDF ( AAS ,• EF=DF ；•••四边形ABCD 为矩形， • AD=BC=6 CD=AB=4 •/ Rt △ AEF ^ Rt △ CDF • FC=FA设 FA=x ,贝U FC=x , FD=6- x , 13 在 Rt △ CDF 中，CF=C D+DF ,即 x 2=42+ (6 - x ) 2,解得 x= , 则 FD=6- x=. 故选：B.HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续进步的孚刃门D.5, 7EF=DF ；易得FC=FA,解方程求出x .B- AC4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片ABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知EF=，贝U BC的长是（）2A. .B. 3、2C. 3D. 3 3【分析】由折叠的性质可知/ B=Z EAF=45，所以可求出/ AFB=90，再直角三角形的性质可知EF丄AB,所以AB=AC!的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长.【解答】解：•••沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，•••/ B=Z EAF=45 ,•••/ AFB=90° ,•••点E为AB中点，1 3•EF= —AB, EF= ,2 2•AB=AC=3•••/ BAC=90 ,•BC=3.2 ,故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出/ AFB=9C°是解题的关键.5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续is步的孚刃门【考点】PB:翻折变换（折叠问题）；LB:矩形的性质.【分析】由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC/ DFE=/ GFE结合/ AFG=60即可得出/ GFE=60，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt△ GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC DC= EC,再由GE=2BG吉合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC卩可求出结论.【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC Z DFE=Z GFE•••/ GFE+Z DFE=180 -Z AFG=120 ,•••/ GFE=60 .•/ AF// GE Z AFG=60 ,•Z FGE=/ AFG=60 ,•△ GEF为等边三角形，•EF=GE•••/ FGE=60，/ FGE+Z HGE=90 ,•Z HGE=30 .在Rt△ GHE中, Z HGE=30 ,•GE=2HE=C,•GH= =*$HE= CE•/ GE=2BG•BC=BG+GE+EC=4EC•••矩形ABCD勺面积为 4 ,•4EC?^EC=4 ,•EC=1, EF=GE=2故选C.二、填空题：6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，Z B=90°, Z A=60°, AC=2 :;+4,点M N分别在线段AC.AB上，将△ ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为 .帮朗滋子陶建持续迸步的孚刃门①如图，当/ CDM=90时，△ CDM是直角三角形,•••在Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60° AC=^+4, /-Z C=30°, AB^ AC五+-,由折叠可得:Z MDN Z A=60°1_ 1_Z BDN=30，•/ BN空DN爰AN •/丄術+卸BN= AB= ：,■2硬+4•• AN=2BN="Z DNB=60 , /Z ANM Z DNM=60，/•/ AMN=60 , •師+4•• AN=MN=";【解答】解：分两种情况：②如图，当/ CMD=90时，△ CDM是直角三角形,帮助预子问il持续迸步的孚刃力I □ ~I] ■由题可得：/ CDM=60 , / A=Z MDN=60 , /-Z BDN=60 , / BND=30 BD空DN= AN, BN庐BD\1AB巫+2 ,1_/• AN=2, BN^3,过N 作NH L AM于H,贝UZ ANH=30 , /• AH空AN=1, HN昉,由折叠可得：Z AMN Z DMN=45 ,/•△ MNH是等腰直角三角形，/• HM=HN= :,/ MN= ■.故答案为：'或；7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕.已知Z 仁67.5 ° ,Z 2=75°, EF= + 1,求BC的长.【分析】由题意知Z 3=180 ° - 2 Z 1=45°、Z 4=180°- 2Z 2=30 °、BE=KE KF=FC 作KM L BC,设KM=x 知EM=x MF= x,根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得.【解答】解：由题意，得：Z 3=180 °- 2 Z 1=45°,Z 4=180°- 2Z 2=30 °, BE=KE KF=FC设KM=x 贝U EM=x MF^J x,x+ V3x^3+1,解得：x=1,••• EK=J办KF=2,.BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++J：,• BC的长为【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.8. （2018 •湖南省常德・3分）如图，将矩形ABC［沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处, 已知Z DGH=30，连接BG 则Z AGB= 75如图，过点K作KM L BC于点M帮朗预子陶建持续进步的孚刃门/ EBC-Z EBG即：/ GBC M BGH由平行线的性质可知/ AGB=Z GBC从而易证/ AGB2 BGH据此可得答案.【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE / EGH M ABC=90 ,•••/ EBG=Z EGB•••/ EGH-Z EGB玄EBC-Z EBG 即：/ GBC=/ BGH又••• AD// BC•Z AGB=Z GBC•Z AGB=Z BGHvZ DGH=30 ,•Z AGH=150 ,•Z AGB二Z AGH=75 ,2故答案为：75°.【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.三、解答与计算题：9. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证：△ ADE^A CED(2)求证：△ DEF是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC AB=CD结合折叠的性质可得出AD=CE AE=CD进而即可证出△ ADE◎ △ CED( SSS ;(2)根据全等三角形的性质可得出Z DEF=Z EDF利用等边对等角可得出EF=DF由此即可证出△ DEF是等腰三角形.HiSMlda快乐字刃I VI PT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门【解答】证明：(1)：四边形ABCD是矩形，••• AD=BC AB=CD由折叠的性质可得：BC=CE AB=AE•AD=CE AE=CDC AD=CE在厶人。

几何图形折叠问题

几何图形折叠问题【疑难点拨】1、折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质就是轴对称性质的应用.解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量,运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2、折叠(翻折)意味着轴对称,会生成相等的线段与角,这样便于将条件集中.如果题目中有直角,则通常将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.3、矩形中的一次折叠通常利用折叠性质与平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度.矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形求边或者角的度数.4、凡就是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时,第一反应即存在一组全等图形,其次找出与要求几何量相关的条件量.1、常见的轴对称图形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆、2、折叠的性质:折叠的实质就是轴对称,折叠前后的两图形全等,对应边与对应角相等.【基础篇】一、选择题:1、、(2018•四川凉州•3分)如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C′处,BC′交AD于点E,则下到结论不一定成立的就是( )AD=BC′ B.∠EBD=∠EDB C.△ABE∽△CBD D.sin∠ABE=A．2、 (2017山东烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA 的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F就是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之与为( ).A.36π-108B.108-32πC.2πD.π3、 (2017浙江衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( )A. B.C.D.4、 (2018·山东青岛·3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕现交于点F.已知EF=,则BC的长就是( )A. B.32 C.3 D.335、 (2017乌鲁木齐)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为( )A.1B.C.2D.二、填空题:6、 (2018·辽宁省盘锦市)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,点M、N分别在线段AC、AB上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为.7、 (2018·山东威海·8分)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD 边上的点K重合,FH为折痕.已知∠1=67、5°,∠2=75°,EF=+1,则BC的长 .8、 (2018·湖南省常德·3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连接BG,则∠AGB= .三、解答与计算题:9、 (2018·广东·7分)如图,矩形ABCD中,AB＞AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF就是等腰三角形.10、 (2018•山东枣庄•10分)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(1)求证:四边形EFDG就是菱形;(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.【能力篇】一、选择题:11、 (2018·辽宁省阜新市)如图,将等腰直角三角形ABC(∠B=90°)沿EF折叠,使点A落在BC边的中点A1处,BC=8,那么线段AE的长度为( ).A.4B.5C.6D.712、 (2018·四川省攀枝花·3分)如图,在矩形ABCD中,E就是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:①四边形AECF为平行四边形;②∠PBA=∠APQ;③△FPC为等腰三角形;④△APB≌△EPC.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.413、 (2018·湖北省武汉·3分)如图,在⊙O中,点C在优弧上,将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为,AB=4,则BC的长就是( )A. B. C.D.二、填空题:14、 (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图,在矩形ABCD中,点E就是CD的中点,将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,将BF延长交AD于点G.若=,则= .15、 (2018·四川宜宾·3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内点F处,下列结论正确的就是(写出所有正确结论的序号)①当E为线段AB中点时,AF∥CE;②当E为线段AB中点时,AF=95;③当A、F、C三点共线时,AE=;④当A、F、C三点共线时,△CEF≌△AEF.三、解答与计算题:16、(2018·湖北省宜昌·11分)在矩形ABCD中,AB=12,P就是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点就是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E且在AD上,BE交PC于点F.(1)如图1,若点E就是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;(2)如图2,①求证:BP=BF;②当AD=25,且AE＜DE时,求cos∠PCB的值;③当BP=9时,求BE•EF的值.17、 (2018·广东·7分)如图,矩形ABCD中,AB＞AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE 交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF就是等腰三角形.18、 (2018•江苏盐城•10分)如图,在以线段为直径的上取一点,连接、、将沿翻折后得到、(1)试说明点在上;(2)在线段的延长线上取一点,使、求证: 为的切线;(3)在(2)的条件下,分别延长线段、相交于点,若, ,求线段的长、【探究篇】19、 (2018年江苏省泰州市•12分)对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图①),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图②)(1)根据以上操作与发现,求的值;(2)将该矩形纸片展开.①如图③,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证:∠HPC=90°;②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)20、 (2018年江苏省宿迁)如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E、F分别在边AB、CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x,(1)当AM= 时,求x的值;(2)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长就是否发生变化？如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值;(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值、几何图形折叠问题【疑难点拨】1、折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质就是轴对称性质的应用.解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量,运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2、折叠(翻折)意味着轴对称,会生成相等的线段与角,这样便于将条件集中.如果题目中有直角,则通常将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.3、矩形中的一次折叠通常利用折叠性质与平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度.矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形求边或者角的度数.4、凡就是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时,第一反应即存在一组全等图形,其次找出与要求几何量相关的条件量.1、常见的轴对称图形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆、2、折叠的性质:折叠的实质就是轴对称,折叠前后的两图形全等,对应边与对应角相等.【基础篇】一、选择题:1、、(2018•四川凉州•3分)如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C′处,BC′交AD于点E,则下到结论不一定成立的就是( )A.AD=BC′B.∠EBD=∠EDBC.△ABE∽△CBDD.sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角与边相等找到相等的边之间的关系,即可选出正确答案.【解答】解:A、BC=BC′,AD=BC,∴AD=BC′,所以正确.B、∠CBD=∠EDB,∠CBD=∠EBD,∴∠EBD=∠EDB正确.D、∵sin∠ABE=,∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=.故选:C.【点评】本题主要用排除法,证明A,B,D都正确,所以不正确的就就是C,排除法也就是数学中一种常用的解题方法.2、 (2017山东烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA 的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F就是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之与为( ).A.36π-108B.108-32πC.2πD.π【考点】MO:扇形面积的计算;P9:剪纸问题.【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°,作DE⊥OB可得DE=OD=3,先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积,再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.【解答】解:如图,∵CD⊥OA,∴∠DCO=∠AOB=90°,∵OA=OD=OB=6,OC=OA=OD,∴∠ODC=∠BOD=30°,作DE⊥OB于点E,则DE=OD=3,∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9,则剪下的纸片面积之与为12×(3π﹣9)=36π﹣108,故答案为:36π﹣108.故选A3、 (2017浙江衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( )A.B.C.D.【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到AE=AB,∠E=∠B=90°,易证Rt△AEF≌Rt△CDF,即可得到结论EF=DF;易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6﹣x,在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6﹣x)2,解方程求出x.【解答】解:∵矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,∴AE=AB,∠E=∠B=90°,又∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∴AE=DC,而∠AFE=∠DFC,∵在△AEF与△CDF中,,∴△AEF≌△CDF(AAS),∴EF=DF;∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=6,CD=AB=4,∵Rt△AEF≌Rt△CDF,∴FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6﹣x,在Rt△CDF中,CF2=CD2+DF2,即x2=42+(6﹣x)2,解得x=,则FD=6﹣x=.故选:B.4、 (2018·山东青岛·3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕现交于点F.已知EF=,则BC的长就是( )A. B.32 C.3 D.33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°,再直角三角形的性质可知EF=AB,所以AB=AC的长可求,再利用勾股定理即可求出BC的长.【解答】解:∵沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,∴∠B=∠EAF=45°, ∴∠AFB=90°,∵点E为AB中点,∴EF=12AB,EF=32,∴AB=AC=3,∵∠BAC=90°,∴BC=32,故选:B.【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断与性质以及勾股定理的运用,求出∠AFB=90°就是解题的关键.5、 (2017乌鲁木齐)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为( )A.1B.C.2D.【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.【分析】由折叠的性质可知,DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE,结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°,进而可得出△GEF为等边三角形,在Rt△GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC,再由GE=2BG结合矩形面积为4,即可求出EC的长度,根据EF=GE=2EC即可求出结论.【解答】解:由折叠的性质可知,DF=GF,HE=CE,GH=DC,∠DFE=∠GFE.∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°,∴∠GFE=60°.∵AF∥GE,∠AFG=60°,∴∠FGE=∠AFG=60°,∴△GEF为等边三角形,∴EF=GE.∵∠FGE=60°,∠FGE+∠HGE=90°,∴∠HGE=30°.在Rt△GHE中,∠HGE=30°,∴GE=2HE=CE,∴GH==HE=CE.∵GE=2BG,∴BC=BG+GE+EC=4EC.∵矩形ABCD的面积为4,∴4EC•EC=4,∴EC=1,EF=GE=2.故选C.二、填空题:6、 (2018·辽宁省盘锦市)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,点M、N分别在线段AC、AB上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为.【解答】解:分两种情况:①如图,当∠CDM=90°时,△CDM就是直角三角形,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,∴∠C=30°,AB=AC=,由折叠可得:∠MDN=∠A=60°,∴∠BDN=30°,∴BN=DN=AN,∴BN=AB=,∴AN=2BN=.∵∠DNB=60°,∴∠ANM=∠DNM=60°,∴∠AMN=60°,∴AN=MN=;②如图,当∠CMD=90°时,△CDM就是直角三角形,由题可得:∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,∴∠BDN=60°,∠BND=30°,∴BD=DN=AN,BN=BD\1AB=,∴AN=2,BN=,过N作NH⊥AM于H,则∠ANH=30°,∴AH=AN=1,HN=,由折叠可得:∠AMN=∠DMN=45°,∴△MNH 就是等腰直角三角形,∴HM=HN=,∴MN=.故答案为:或.7、 (2018·山东威海·8分)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD 边上的点K重合,FH为折痕.已知∠1=67、5°,∠2=75°,EF=+1,求BC的长.【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC,作KM⊥BC,设KM=x,知EM=x、MF=x,根据EF的长求得x=1,再进一步求解可得.【解答】解:由题意,得:∠3=180°﹣2∠1=45°,∠4=180°﹣2∠2=30°,BE=KE、KF=FC,如图,过点K作KM⊥BC于点M,设KM=x,则EM=x、MF=x,∴x+x=+1,解得:x=1,∴EK=、KF=2,∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++,∴BC的长为3++.【点评】本题主要考查翻折变换,解题的关键就是掌握翻折变换的性质:折叠前后图形的形状与大小不变,位置变化,对应边与对应角相等.8、 (2018·湖南省常德·3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连接BG,则∠AGB= 75°.【分析】由折叠的性质可知:GE=BE,∠EGH=∠ABC=90°,从而可证明∠EBG=∠EGB.,然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG,即:∠GBC=∠BGH,由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC,从而易证∠AGB=∠BGH,据此可得答案.【解答】解:由折叠的性质可知:GE=BE,∠EGH=∠ABC=90°,∴∠EBG=∠EGB.∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG,即:∠GBC=∠BGH.又∵AD∥BC,∴∠AGB=∠GBC.∴∠AGB=∠BGH.∵∠DGH=30°,∴∠AGH=150°,∴∠AGB=∠AGH=75°,故答案为:75°.【点评】本题主要考查翻折变换,解题的关键就是熟练掌握翻折变换的性质:折叠前后图形的形状与大小不变,位置变化,对应边与对应角相等.三、解答与计算题:9、 (2018·广东·7分)如图,矩形ABCD中,AB＞AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF就是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD,结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD,进而即可证出△ADE≌△CED(SSS);(2)根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF,利用等边对等角可得出EF=DF,由此即可证出△DEF就是等腰三角形.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD就是矩形,∴AD=BC,AB=CD.由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,∴AD=CE,AE=CD.在△ADE与△CED中,,∴△ADE≌△CED(SSS).(2)由(1)得△ADE≌△CED,∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF,∴EF=DF,∴△DEF就是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质,解题的关键就是:(1)根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD;(2)利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF.10、 (2018•山东枣庄•10分)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(1)求证:四边形EFDG就是菱形;(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.【分析】(1)先依据翻折的性质与平行线的性质证明∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF;(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,证明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF,于就是可得到GE、AF、FG的数量关系;(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD﹣GH求解即可.【解答】解:(1)证明:∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG.∵由翻折的性质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,∴∠DGF=∠DFG.∴GD=DF.∴DG=GE=DF=EF.∴四边形EFDG为菱形.(2)EG2=GF•AF.理由:如图1所示:连接DE,交AF于点O.∵四边形EFDG为菱形,∴GF⊥DE,OG=OF=GF.∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,∴△DOF∽△ADF.∴,即DF2=FO•AF.∵FO=GF,DF=EG,∴EG2=GF•AF.(3)如图2所示:过点G作GH⊥DC,垂足为H.∵EG2=GF•AF,AG=6,EG=2,∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.解得:FG=4,FG=﹣10(舍去).∵DF=GE=2,AF=10,∴AD==4.∵GH⊥DC,AD⊥DC,∴GH∥AD.∴△FGH∽△FAD.∴,即=.∴GH=.∴BE=AD﹣GH=4﹣=.【点评】本题主要考查的就是四边形与三角形的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用,利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF就是解题答问题(2)的关键,依据相似三角形的性质求得GH的长就是解答问题(3)的关键.【能力篇】一、选择题:11、 (2018·辽宁省阜新市)如图,将等腰直角三角形ABC(∠B=90°)沿EF折叠,使点A落在BC边的中点A1处,BC=8,那么线段AE的长度为( ).A.4B.5C.6D.7【解答】解:由折叠的性质可得AE=A1E.∵△ABC为等腰直角三角形,BC=8,∴AB=8.∵A1为BC的中点,∴A1B=4,设AE=A1E=x,则BE=8﹣x.在Rt△A1BE中,由勾股定理可得42+(8﹣x)2=x2,解得x=5.故答案为:5.故选B12、 (2018·四川省攀枝花·3分)如图,在矩形ABCD中,E就是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:①四边形AECF为平行四边形;②∠PBA=∠APQ;③△FPC为等腰三角形;④△APB≌△EPC.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4解:①如图,EC,BP交于点G;∵点P就是点B关于直线EC的对称点,∴EC垂直平分BP,∴EP=EB,∴∠EBP=∠EPB.∵点E为AB中点,∴AE=EB,∴AE=EP,∴∠PAB=∠PBA.∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180°,∴∠PAB+∠PBA=90°,∴AP ⊥BP,∴AF∥EC;∵AE∥CF,∴四边形AECF就是平行四边形,故①正确;②∵∠APB=90°,∴∠APQ+∠BPC=90°,由折叠得:BC=PC,∴∠BPC=∠PBC.∵四边形ABCD就是正方形,∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°,∴∠ABP=∠APQ,故②正确;③∵AF∥EC,∴∠FPC=∠PCE=∠BCE.∵∠PFC就是钝角,当△BPC就是等边三角形,即∠BCE=30°时,才有∠FPC=∠FCP,如右图,△PCF不一定就是等腰三角形,故③不正确;④∵AF=EC,AD=BC=PC,∠ADF=∠EPC=90°,∴Rt△EPC≌△FDA(HL).∵∠ADF=∠APB=90°,∠FAD=∠ABP,当BP=AD或△BPC就是等边三角形时,△APB≌△FDA,∴△APB≌△EPC,故④不正确;其中正确结论有①②,2个.故选B.13、 (2018·湖北省武汉·3分)如图,在⊙O中,点C在优弧上,将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为,AB=4,则BC的长就是( )A. B. C.D.【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC,作CE ⊥AB 于E,OF ⊥CE 于F,如图,利用垂径定理得到OD ⊥AB,则AD=BD=AB=2,于就是根据勾股定理可计算出OD=1,再利用折叠的性质可判断弧AC 与弧CD 所在的圆为等圆,则根据圆周角定理得到=,所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=1,接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1,然后计算出CF 后得到CE=BE=3,于就是得到BC=3 2.【解答】解:连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC,作CE ⊥AB 于E,OF ⊥CE 于F,如图,∵D 为AB 的中点,∴OD ⊥AB,∴AD=BD=AB=2,在Rt △OBD 中,OD= 22(5)2-=1,∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D. ∴弧AC 与弧CD 所在的圆为等圆,∴=,∴AC=DC,∴AE=DE=1,易得四边形ODEF 为正方形,∴OF=EF=1,在Rt △OCF 中,CF=22(5)1-∴CE=CF+EF=2+1=3,而BE=BD+DE=2+1=3,∴BC=3.故选:B.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆周角定理与垂径定理.二、填空题:14、 (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图,在矩形ABCD中,点E就是CD的中点,将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,将BF延长交AD于点G.若=,则= .【解答】解:连接GE.∵点E就是CD的中点,∴EC=DE.∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,∴EF=DE,∠BFE=90°.在Rt△EDG与Rt△EFG中,∴Rt△EDG≌Rt△EFG(HL),∴FG=DG.∵=,∴设DG=FG=a,则AG=7a,故AD=BC=8a,则BG=BF+FG=9a,∴AB==4a,故==.故答案为:.15、 (2018·四川宜宾·3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内点F处,下列结论正确的就是①②③(写出所有正确结论的序号)①当E为线段AB中点时,AF∥CE;②当E为线段AB中点时,AF=95;③当A、F、C三点共线时,AE=;④当A、F、C三点共线时,△CEF≌△AEF.【考点】PB:翻折变换(折叠问题);KB:全等三角形的判定;LB:矩形的性质. 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题;【解答】解:如图1中,当AE=EB时,∵AE=EB=EF,∴∠EAF=∠EFA,∵∠CEF=∠CEB,∠BEF=∠EAF+∠EFA, ∴∠BEC=∠EAF,∴AF∥EC,故①正确,作EM⊥AF,则AM=FM,在Rt△ECB中,EC==,, ∵∠AME=∠B=90°,∠EAM=∠CEB,∴△CEB∽△EAM,∴=,∴=,∴AM=,∴AF=2AM=95,故②正确,如图2中,当A、F、C共线时,设AE=x.则EB=EF=3﹣x,AF=13﹣2,在Rt△AEF中,∵AE2=AF2+EF2,∴x2=(﹣2)2+(3﹣x)2,∴x=,,∴AE=,故③正确,如果,△CEF≌△AEF,则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°,显然不符合题意,故④错误,故答案为①②③.【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键就是灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题.三、解答与计算题:16、(2018·湖北省宜昌·11分)在矩形ABCD中,AB=12,P就是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点就是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E且在AD上,BE交PC于点F.(1)如图1,若点E就是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;(2)如图2,①求证:BP=BF;②当AD=25,且AE＜DE时,求cos∠PCB的值;③当BP=9时,求BE•EF的值.【分析】(1)先判断出∠A=∠D=90°,AB=DC再判断出AE=DE,即可得出结论;(2)①利用折叠的性质,得出∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论;②判断出△ABE∽△DEC,得出比例式建立方程求解即可得出AE=9,DE=16,再判断出△ECF∽△GCP,进而求出PC,即可得出结论;③判断出△GEF∽△EAB,即可得出结论.【解答】解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=DC,∵E就是AD中点,∴AE=DE,在△ABE与△DCE中,,∴△ABE≌△DCE(SAS);(2)①在矩形ABCD,∠ABC=90°,∵△BPC沿PC折叠得到△GPC,∴∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,∵BE⊥CG,∴BE∥PG,∴∠GPF=∠PFB,∴∠BPF=∠BFP,∴BP=BF;②当AD=25时,∵∠BEC=90°,∴∠AEB+∠CED=90°, ∵∠AEB+∠ABE=90°, ∴∠CED=∠ABE,∵∠A=∠D=90°,∴△ABE∽△DEC, ∴,设AE=x,∴DE=25﹣x,∴,∴x=9或x=16,∵AE＜DE,∴AE=9,DE=16,∴CE=20,BE=15,由折叠得,BP=PG,∴BP=BF=PG,∵BE∥PG,∴△ECF∽△GCP,∴,设BP=BF=PG=y,∴,∴y=,∴BP=,在Rt△PBC中,PC=,cos∠PCB==;③如图,连接FG,∵∠GEF=∠BAE=90°,∵BF∥PG,BF=PG,∴▱BPGF就是菱形,∴BP∥GF,∴∠GFE=∠ABE,∴△GEF∽△EAB,∴,∴BE•EF=AB•GF=12×9=108.【点评】此题就是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,折叠的性质,利用方程的思想解决问题就是解本题的关键.17、 (2018·广东·7分)如图,矩形ABCD中,AB＞AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE 交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF就是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD,结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD,进而即可证出△ADE≌△CED(SSS);(2)根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF,利用等边对等角可得出EF=DF,由此即可证出△DEF就是等腰三角形.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD就是矩形,∴AD=BC,AB=CD.由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,∴AD=CE,AE=CD.在△ADE与△CED中,,∴△ADE≌△CED(SSS).(2)由(1)得△ADE≌△CED,∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF,∴EF=DF,∴△DEF就是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质,解题的关键就是:(1)根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD;(2)利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF.18、 (2018•江苏盐城•10分)如图,在以线段为直径的上取一点,连接、、将沿翻折后得到、(1)试说明点在上;(2)在线段的延长线上取一点,使、求证: 为的切线;(3)在(2)的条件下,分别延长线段、相交于点,若, ,求线段的长、【答案】(1)解:连接OC,OD,由翻折可得OD=OC,∵OC就是⊙O的半径,∴点D在⊙O上。

江苏公务员行测图形推理之折叠题型解题规律

江苏公务员行测图形推理之折叠题型解题规律解题思路：通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。

图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的，比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。

解题方法：排除法。

利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。

立方体（六面体）表面展开图的性质你知道正方体表面展开图有多少种吗？解答：11种。

图中“上”和“下”，“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。

1．“一·四·一”型：2．“二·三·一”型3．“三·三”型和“二·二·二”型如何确定图形是不是立方体展开图：1、最长链最多只能有4个面，且最长链在中间位置，超过4个或最长链不在中间的不是立方体表面展开图。

如：2、在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是。

如：折叠规律：（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点。

如，或在正方形长链中相隔两个正方形。

如中上与前。

（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形。

如中，上与下，前与后，或和中间一行（或列）均相连的两正方形亦相对。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【例题1】（2012年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B 项错误；C项中一点面与六点面构成如图相邻关系时，五点面应位于左面而右顶面（可以六点面为上面折叠），排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对，D项错误。

注：平面图形的公共顶点和公共边折叠成多面体后仍为这三个面的公共顶点和公共边。

中考数学中的折叠问题

中考数学中的折叠问题在中考数学中，折叠问题是一种常出现的问题，它主要考察学生的空间想象能力和对几何图形的理解。

这种问题通常以一个二维图形经过折叠变为三维图形的方式出现，需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来解答。

折叠问题主要分为两类：一类是折叠前后的形状变化问题，另一类是折叠后立体图形的三视图问题。

前者主要考察的是学生对于空间图形的变换和对称的理解，而后者则更注重学生的空间想象能力和对立体图形的认知。

解决折叠问题，首先需要理解折痕的含义。

折痕是二维图形折叠成三维图形时的痕迹，也是三维图形展开为二维图形时的路径。

在解决折叠问题时，需要找出图形中的对称点、线段和角度，并理解它们在折叠后的变化。

对于三视图问题，则需要通过观察和分析立体图形的各个面，尝试从不同的角度去看待问题。

例如，一个长方形纸片折叠后可以得到一个正方形纸片，这个过程可以通过平移和旋转来实现。

在这个问题中，学生需要理解长方形和正方形的关系，以及折叠过程中哪些元素发生了变化，哪些元素保持不变。

又比如，一个三角形纸片折叠后可以得到一个立体图形，这个过程中需要对三角形的一些基本性质进行深入的理解。

解决折叠问题时，首先需要明确问题的类型，然后针对不同类型的问题采取不同的解题策略。

对于形状变化问题，可以通过画图的方式帮助理解；对于三视图问题，可以通过将立体图形转化为平面图形的方式来寻找答案。

同时，建议学生在平时的学习中多进行一些类似题目的练习，以增强自己的空间想象能力和逻辑推理能力。

中考数学中的折叠问题是一种考察学生空间想象能力和逻辑推理能力的问题。

解决这类问题需要学生对几何图形的性质有深入的理解，并能够灵活运用这些性质去解决问题。

也需要学生有一定的空间感知能力和逻辑推理能力。

因此，建议学生在平时的学习中多进行练习，提高自己的解题能力。

折叠最值模型是指将一个平面图形沿着一条直线折叠，使得折叠后的图形在直线的一侧，并且使得折叠后的图形在直线两侧的部分对称。

如何利用平面展开图解答折叠类题型

如何利用平面展开图解答折叠类题型说明：众所周知，图形推理主要考查考生的空间想象能力。

这里，介绍的是另一种方法，即利用平面展开图的性质直接推理出答案。

以下讲解的图形推理题型特性和各种巧妙的解法在2013年国家公务员考试一本通中都有非常系统的讲解，并在整个题型精讲和强化练习部分都可以看到一本通对此类难题讲解的巧妙之处，本篇文章只是其中的一小部分，有需要的考生可预定一本通进行系统复习。

一本通在编写中对行测各模块的都尽可能做了细致的分析，使其解法更加实用，切实帮助考生提高在考场上的得分能力。

图形推理中折叠图形的解题原理分析解题思路：通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。

图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的，比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。

解题方法：排除法。

利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。

正方体（六面体）表面展开图的性质你知道正方体表面展开图有多少种吗？解答：11种图中“上”和“下”，“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。

1．“一四一”型2．“二三一”型3．“三三”型和“二二二”型-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【例题1】（2012年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）一本通解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B项错误；C项中一点面与六点面构成如图相邻关系时，五点面应位于左面而右顶面（可以六点面为上面折叠），排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对，D项错误。

注：平面图形的公共顶点和公共边折叠成多面体后仍为这三个面的公共顶点和公共边。

（通过上图D项可验证）【例题2】（2010年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）一本通解答：横线面和空白面为对立面，C、D项错误；A项中右表面的对角线应该与上表面的对角线相交在一个顶点上，排除。

实例总结折叠图形推理解题技巧

实例总结折叠图形推理解题技巧实例总结折叠图形推理解题技巧折纸盒与拆纸盒问题，是公务员考试真题中常见考点。

折纸盒，泛指题干为平面展开图，四个选项均为立体图形，提问方式一般为“将题干图形折叠后，得到的图形是?” 拆纸盒，泛指题干为立体图形，四个选项均为平面展开图，提问方式一般为“将题干图形展开后应为?”针对这一类问题，根据选项情况可采用区分相邻面及相对面、时针法、标点法来应对。

国家公务员考试网（/）总结一部分技巧给考生参考。

一、区分相邻面及相对面平面图形中相邻的两个面折成立体图形后也相邻，立体图形中相对的两个面拆成平面图形后不相邻，区别相邻面与相对面往往能快速排除错误选项，得出符合要求的答案。

例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成?解析：左边的图形折成立体图形后，有两个空白面相对，含有圆点的两个面相对，含有斜线的面与另外一个空白面相对。

A项，应有两个空白面相对，故A项错误;B项，可由左边纸盒折成;C项，含有圆点的两个面相对，故C项错误;D项，带斜线的面不可能与两个空白面两两相邻，故D项错误。

由此，可确定正确答案为B。

例题：下列四个选项中，哪个可以折出左边指定的图形?解析：左边给定的立体图形中，带阴影的两个面相对。

折成立方体后，A、C、D三项的两个阴影面相邻，所以是错误的;B项折成后带阴影的面相对，因此，应选择B项。

提醒：区分相对面与相邻面是解决空间型图形推理的基础。

分清相对面与相邻面往往也能快速地排除一些选项，从而更快地解决问题。

二、时针法对于立方体纸盒，折成后只能看到图形的三个面，时针法就是比较这三个面在立体图形与平面图形中的旋转方向来判断选项的正确与否。

时针法只适用于解决面中的小图形不涉及方向的折纸盒问题。

例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成?解析：首先通过相对面与相邻面可排除C项，C项中1和2应为相对的面，不可能相邻。

A项，按1-4-6的顺序，顺时针旋转，题干平面图形中1-4-6则按逆时针旋转，如下图所示，两者的旋转方向不一致，则A项不能由左边的图形折成;同理可判定B项可由左边图形折成，D项不能由左边图形折成。

中考数学几何折叠问题

中考数学几何折叠问题答题技巧折叠问题题型多样,变化灵活,从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题,到直接运用折叠相关性质的说理计算题,发展到基于折叠操作的综合题,甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活,能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点对称点之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论,借助辅助线构造直角三角形,结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题,可以使得解题思路更加清晰,解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.2006年南京市已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.1如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G如图①,AF=,求DE的长;2如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G如图②,△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.图①中FG是折痕,点A与点E重合,根据折叠的对称性,已知线段AF 的长,可得到线段EF的长,从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中,连结对应点A、E,则折痕FG垂直平分AE,取AD的中点M,连结MO,则MO=DE,且MO∥CD,又AE为Rt△AED的外接圆的直径,则O 为圆心,延长MO交BC于N,则ON⊥BC,MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切,所以ON是Rt△AED的外接圆的半径,即ON=AE,根据勾股定理可求出DE=,OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED,求得FO=,从而求出EF的长.对称点的连线被对称轴垂直平分,连结两对称点既可以得到相等的线段,也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题,利用勾股定理和相似求出未知线段,最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例2.新课标数学八年级下学期P126数学活动1：折纸做300、600、150的角对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平,再次折叠纸片,使A点落在折痕EF上的N点处,并使折痕经过点B得到折痕BM,同时得到线段BN,观察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC,这三个角有什么关系教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC,作NG⊥BC,则直角三角形中NG=BN,从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.若这样证明则要用到：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到,在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN,则AN=BN,又AB=BN,所以三角形ABN为等边三角形,所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例3.2006年临安如图,△OAB是边长为2的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴的正方向上,将△OAB折叠,使点A落在OB上,记为A`点,折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB上运动,但不与O、B重合时,能否使△A`EF为直角三角形这一问题需通过分类讨论,先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF 为直角三角形,且直角顶点在F处时,根据轴对称性质我们可以得到∠AFE=∠A`FE=900,此时A`点与B点重合,与题目中已知相矛盾,所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证,直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动,若不与O、B重合,则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时,首先要对图形折叠有一准确定位,把握折叠的实质,抓住图形之间最本质的位置关系,从点、线、面三个方面入手,发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律,充分挖掘图形的几何性质,将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来,运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.。

初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，据此即可求出∠FBC的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3 ∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x 在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2 ∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称 ∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC ∴∠1 = ∠4 = 52° ∠2 = ∠5 又∵∠2 = ∠3 ∴∠3 = ∠5 ∴GE = GF∴△EFG 是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE 与四边形B ′C ′FE 关于直线EF 对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD 的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积设AE = x ，则BE = GE = 4 - x ，在Rt △AEG 中，根据勾股定理二、纸片中的折叠∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中，GE = GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70?cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）设AB=xcm．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）．则有2（35-x）+x=60，x=10．16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，下底等于纸条宽的2倍，即6cm，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm，故超出点P的长度为（30-15）÷2=7.5，AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠MNF的大小．）26．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量明白折叠中的对应边就行29．已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．四、圆中的折叠30．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圆上的F 点，求BE的长连接OC、OF，则△OCF≌△OCD(SSS)，∴∠OFC = ∠ODC = 90°，所以∠OFE = 180°，即点O、F、E在一条直线上。

折叠图形_巧妙解题_揭示数学本质

折叠图形，巧妙解题，揭示数学本质215400江苏省太仓市第一中学朱建良近几年来，图形折叠问题频繁出现在各地中考数学试题中，此类问题贴近学生的认知规律，解决这类问题的关键是要弄清折叠前后的图形及数量上的对应关系，即折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对称，这两个图形是全等图形，折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠前后对应点之间的线段被折痕所在直线垂直平分．本文从折叠问题展开探究，以培养学生思维的灵活性和深刻性，提高解题能力．1利用轴对称性质图1例1（2010年舟山市）如图1，Rt △OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 与原点重合，点A 在x 轴上，点C在y 轴上，OC 槡=3，∠CAO =30ʎ．将Rt △OAC 折叠，使OC 边落在AC 边上，点O 与点D 重合，折痕为CE．（1）求折痕CE 所在直线的解析式；（2）求点D 的坐标．解将Rt △OAC 折叠后，Rt △ADE ≌Rt △CDE ，折痕DE 所在的直线垂直平分线段AC．（1）求出OE =1，点E （－1，0），直线CE 的解析式为y 槡=3x 槡+3；（2）D 点为线段AC 的中点，点A （－3，0），点E （0，槡3），可求出点D （－32，槡32）．点评本题综合运用了折叠前后的两个图形关于折痕所在直线成轴对称的性质．挖掘图形轴对称性质，突破难点，深刻理解折叠过程中蕴含的几何性质．2利用三角形全等例2（2010年湖北省荆门市）将三角形纸片ABC（AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图3；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE ，DF ，如图4，证明：四边形AEDF 是菱形．证明由第一次折叠可知AD 为∠CAB 的平分线，ʑ∠1=∠2，由第二次折叠可知：∠CAB =∠EDF ，图3图4从而∠3=∠4，ȵAD 是△AED 和△AFD 的公共边，ʑ△AED ≌△AFD （ASA ），ʑAE =AF ，DE =DF．又由第二次折叠可知AE =ED ，AF =DF ，ʑAE =ED =DF =AF ，故四边形AEDF 是菱形．点评互相重合的部分是全等图形，也是以折痕为对称轴的轴对称图形，折叠问题中的折痕多为四边形的对角线、三角形的角平分线等，这些特殊的线段的性质就是解题的关键．3利用三角形相似、勾股定理图5例3（2010年河南省）（1）操作发现：如图5，矩形AB-CD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ADAB的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ADAB的值．解（1）同意．连接EF ，则∠EGF =∠D =90ʎ，EG =AE =ED ，EF =EF ，ʑRt △EGF ≌Rt △EDF ，ʑGF =DF ；（2）由（1）知，GF =DF ，设DF =x ，BC =y ，则有GF =x ，AD =y．ȵDC =2DF ，ʑCF =x ，DC =AB =BG =2x ，ʑBF =BG +GF =3x ，在Rt △BCF 中，BC 2+CF 2=BF 2，即y 2+x 2=（3x ）2，93·复习参考·ʑy 槡=22x ，ʑAD AB =y2x；（3）由（1）知，GF =DF ，设DF =x ，BC =y ，则有GF =x ，AD =y．ȵDC =nDF ，ʑDC =AB =BG =nx ，ʑCF =（n －1）x ，BF =BG +GF =（n +1）x ，在Rt △BCF 中，BC 2+CF 2=BF 2，即y 2+［（n －1）x ］2=［（n +1）x ］2，ʑy =2槡nx ，ʑAD AB =y nx =2槡nn．点评解决此类折叠问题的关键是要运用轴对称的特性，寻找出折叠前后不变的量，注意巧妙运用相似三角形对应线段的比例性质，除了对称性外寻找直角三角形，设立合适的未知数，运用勾股定理建立方程也是解决这类问题的关键．4利用图形等积变换图6例4（2010年凉山州）有一张矩形纸片ABCD ，E ，F 分别是BC ，AD 上的点（但不与顶点重合），若EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，设AB =m ，AD =n ，BE =x．（1）求证：AF =EC ；（2）用剪刀将该纸片沿直线EF 剪开后，再将梯形纸片ABEF 沿AB 对称翻折，平移拼接在梯形ECDF 下方，使一底边重合，一腰落在DC 的延长线上，拼接后，下方梯形记为EE'B'C．当x ：n 为何值时，直线E'E 经过原矩形的顶点D ？解（1）ȵS ABEF =S CDFE ，ʑ12（x +AF ）·m =12（n －x +n －AF ）·m ，ʑAF =n －x ，又ȵEC =BC －BE =n －x ，ʑAF =EC ；（2）ȵDC =B'C =m ，EC ∥E'B'，ʑDE =E'E ，ʑEC =12E'B'，ʑn －x =12x ，即2n =3x ，ʑx ʒn =2ʒ3．点评保持面积不变的情况下进行几何翻折、平移变换，关键是熟练掌握图形全等的特殊性质，通过梯形的翻折、拼接，有效地锻炼了学生的思维能力的同时，也提高了学生的动手操作能力．5利用函数思想图7例5（2010年郴州市）如图7，已知△ABC 中，∠A =90ʎ，AB =6，AC =8，D 是AB 上一动点，DE ∥BC ，交AC 于E ，将四边形BDEC 沿DE 向上翻折，得四边形B'DEC'与AB ，AC 分别交于点M ，N．（1）证明：△ADE ∽△ABC ；（2）设AD 为x ，梯形MDEN 的面积为y ，试求y 与x 的函数关系式．当x 为何值时y 有最大值？图8解（1）证明：ȵDE ∥BC ，ʑ∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，ʑ△ADE ∽△ABC．（2）S △ABC =24，△ADE ∽△ABC ，相似比为x 6，ʑS △ADE S △ABC =（x6）2，ȵ∠1=∠2，∠1=∠B'，∠2=∠B'MD ，ʑ∠B'=∠B'MD ，ʑB'D =MD ，又B'D =BD ，ʑMD =BD ，ʑAM =AB －MB =6－2（6－x ）=2x －6．同理，△PEF ∽△ABC ，S △AMN =83（x －3）2，ʑy =S △ADE －S △AMN =23x 2－83（x －3）2=－2x 2+16x －24．配方得y =－2（x －4）2+8．ʑ当x =4时，y 有最大值．点评“折”为“数”与“形”搭起了桥梁，通过计算两个三角形面积之差，求出梯形面积的函数解析式，完成了“数”与“形”之间的转化．本题融合了轴对称、三角形相似和函数等知识，有较强的综合性，有助于提高学生综合运用数学知识和建模的能力．解决此类问题的策略是：先看折痕（即对称轴），明确图形中哪些线段、角相等（重合）、哪些三角形全等（重合），然后找出线段间的数量关系，最后利用三角形全等、相似或勾股定理、三角函数知识构建方程或函数，进而求解．对图形折叠问题的探究，既可以培养学生动手实践、自主探究的能力，又有利于学生巩固基本知识形成空间概念，能较好地揭示出数学的本质，帮助学生启迪思维，拓宽解题思路，提升学生的数学素养．（收稿日期：20110112）4。