大二物理上-课件-第12章-波动

动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x 2π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
12– 1
第十二章 平面简谐波
波线上各点的简谐运动图
12– 1
第十二章 平面简谐波
y
A c os [ (t
x) u
0]
A c os [2 π
(t T
x
)
0
]
2） 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各
u
x
点 O 振动方程 yO Acos(t 0 )
波 函 数
y
A c os [ (t
-
x) u
0]
u 沿x 轴正向
y
A c os [ (t
x) u
0]
u 沿x 轴负向
12– 1
第十二章 平面简谐波
二 波函数的物理意义
y
A c os [ (t
x) u
0]
A c os [2 π
(t T
x
)
0
]
1） 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运
一 机械波的形成
机械波：机械振动在弹性介质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性介质.
注意
媒质中任一质元在平衡位置附近振动，不“随 波
逐流”（如河中足球） 即：波传播的是振动，位相，能量，而非质元
波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.
12– 1
第十二章 平面简谐波
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
(t
-
6) 20
- π ]cm 3
0.10cos[4π t - 23π ]cm
15
vC
dy(t) dt
dyC dt
-0.40π
sin[4π t - 23π 15
]cm/s
12– 1
例4 如图简谐波以 余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振 动初相位.
(-π ~ π )
第十二章 平面简谐波
t=T/4
y
A
u
O ab c
x
t=0 - A
O
O
y o π
y
a
π 2
O
y b 0
O
y
c
-π 2
12– 1
第十二章 平面简谐波
一 惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波
的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是
新的波前.
平
球
面
面
ut
波
波
R1
O
R2
12– 1
第十二章 平面简谐波
二 波的衍射
点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
-
x1 u
)
0
2π( t T
-
x1 )
0
2
(t
-
x2 u
) 0
2π( t T
-
x2
)
0
12
1 -2
2π
x2 - x1
2π
x21
波 程 差
不需明确相位超前或落后 12 2π x
12– 1
第十二章 平面简谐波
12– 1
第十二章 平面简谐波
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
波动
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两
类 ❖机械波的传播需
波 的
有传播振动的介质;
不 同
❖电磁波的传播可
之 不需介质.
处
两 类
能量传播
波 反射
的 共
折射
同 干涉
特 征
衍射
12– 1
第十二章 平面简谐波
时刻波形图
1.0
0.05 B C
01
6
-1.0
u
x/m
A 0.10cm
10m
T 0.5s
u
2π 4π s-1
T
12– 1
第十二章 平面简谐波
t 0 s 时刻波形图
y / cm
1.0
0.05 B C
01
6
-1.0
u
x/m
0
-π 3
y
A 0.10cm 10m 2π 4π s-1
位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度.
12– 1
第十二章 平面简谐波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要
的时间.
频率 ：周期的倒数，即单位时间内波
动所传播的完整波的数目.
1 T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u u Tu
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
12– 1
第十二章 平面简谐波
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
பைடு நூலகம்
12– 1
第十二章 平面简谐波
三 波长 波的周期和频率 波速
Ay
u
O
x
-A
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相
cos
- r1 （常量）
12– 1
第十二章 平面简谐波
A A12 A22 2A1A2 cos
讨论
2
- 1
- 2π
r2 - r1
1) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布 随位置而变，但是稳定的.
2kπ k 0,1,2 A A1 A2 振动始终加强
2) (2k 1)π k 0,1,2
3） 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播
方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
y Acos2π ( t - x ) (t, x) (t t, x x)
T
2π ( t - x ) 2π (t t - x x) t x x ut
T
T T
12– 1
第十二章 平面简谐波
波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物 的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.
水
波
通
波
过
的
狭
衍
缝
射
后
的
衍
射
12– 1 三 波的叠加原理
第十二章 平面简谐波
几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征
（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其它波一样.
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在
A1
cos(t
1
-
2π
r1
)
y2 p
A2
cos(t
2
- 2π
r2 )
yp y1p y2 p Acos(t )
tan
A1 sin(1 A1 cos(1 -
2π r1 )
2π r1 )
A2
sin(2
-
2π r2
)
A2
cos(2
-
2π
r1
)
A
A12
A22 2A1 2 -1 - 2π
Ar22
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程 yA (310-2 m) cos(4π s-1)t
u
8m 5m 9m
C
BA
Dx
点
C 的相位比点
yCV (310-2
A 超前
m) cos[(4
π
s-1)(t
AC)] u
(310-2 m) cos[(4 π s-1)t 13π/5]
点 D 的相位落后于点 A
解：比较系数法.
y Acos2π ( t - x )
T
把题中波动方程改写成
y (5cm) cos2π [(2.50s-1)t - (0.01cm-1)x]
2
2
比较得
T 2 0.8 s 2.5
2 200 cm u 250 cms-1
0.01
T
12– 1
第十二章 平面简谐波
例2 一平面简谐波以速度u 20m / s 沿直线传播,波 线上点 A 的简谐运动方程 yA (310-2 m) cos(4π s-1)t .
➢ 相干条件
1）频率相同； 2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p
A1 cos(t
1
- 2π
r1 )
y2 p
A2
cos(t
2
- 2π
r2
)
12– 1
第十二章 平面简谐波
s1 s2
r1 *P r2
点P 的两个分振动
y1 p
时在该点所引起的振动位移的矢量和.
12– 1 四 波的干涉
第十二章 平面简谐波
频率相同、 振动方向平行、 相位相同或相差 恒定 的两列波相 遇时，使某些地 方振动始终加强， 而使另一些地方 振动始终减弱的 现象，称为波的 干涉.
12– 1
第十二章 平面简谐波
s1 r1 *P
s2
r2
波源振动
点P 的两个分振动
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在 同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
12– 1
驻波的形成
第十二章 平面简谐波
12– 1
第十二章 平面简谐波
二 驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
-
x
)
负向
y2
A c os2π
(t
x)
y y1 y2
Acos2π (t - x ) Acos2π (t x )
u
8m 5m 9m
C
BA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 310-2 m T 0.5s 0
uT 10m
y Acos[2π ( t - x ) ] T
y (310-2 m) cos2π ( t - x ) 0.5s 10m
12– 1
第十二章 平面简谐波
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
2Acos2π x cos2π t
驻波的振幅 与位置有关
一 平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波函数.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
12– 1
以速度u沿正 向传播的简谐波. 令波源初相为零， 点O 振动方程
第十二章 平面简谐波
O 点的振动状态
P点
O点在 t-x/u
P点在任意时
时刻的位移
刻 t 的位移？
点P
振动方程：yP
A c os (t
-
x) u
波函数
12– 1
如果波源 初相不为零
x 0,0 0
y A
O
-A
第十二章 平面简谐波
-C
-2π
xB - xC
-2π
8 10
-1.6π
C
-D
-2π
xC
- xD
-2π
- 22 10
4.4π
12– 1
第十二章 平面简谐波
例3 如图为 t = 0 时刻，平面简谐波的波形图
已知 u 20m/s , BC 5m
求： 1）波动方程 2）C 点的振动方程，振动速度
y / cm
t 0s
1）
yA
c
os
[
(t
-
x u
)
0
]
0.10
c
os
[4π
(t
T
-
x 20
)
-
π 3
]c
m
12– 1
第十二章 平面简谐波
t 0 s 时刻波形图
y / cm
1.0
0.05 B C
u
y 0.10 cos[4π (t - x ) - π ]cm
20 3
01
6
x/m
-1.0
2）
yC
y
x6
0.10 c os [4π
T
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
12– 1 注意
第十二章 平面简谐波
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
u
T
T , 不变 , u 改变
12– 1 四 波线 波面 波前
波前 波面
*
第十二章 平面简谐波
球面波
波线
平面波
12– 1
第十二章 平面简谐波
A A1 - A2 振动始终减弱
其他 A1 - A2 A A1 A2
12– 1
第十二章 平面简谐波
A A12 A22 2A1A2 cos
讨论
2
- 1
- 2π
r2 - r1
若 1 2
-2π
r2 - r1
k k 0,1,2
波程差
A A1 A2 振动始终加强
3) (k 1 2) k 0,1,2
yA (310-2 m) cos(4π s-1)t
u
8m 5m 9m
C
BA
Dx
B
-A
-2π
xB
- xA
-2π - 5 π
10
B π yB (310-2 m) cos[(4π s-1)t π ]
y (310-2 m) cos[2π ( t - x ) π ] 0.5s 10m
12– 1
第十二章 平面简谐波
yDV
(310-2 m) cos[(4π
s -1 )(t
-
AD)] u
(310 -2 m) cos[(4 π s-1)t - 9 π/ 5]
12– 1
第十二章 平面简谐波
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA (310-2 m) cos(4π s-1)t
u
8m 5m 9m
C
BA
Dx
B
y
A c os [ (t
x u
)
0
]
A c os [2 π
(t T
x
)
0
]
4）质点的振动速度，加速度
v
y t
-A s in[ (t
-
x) u
0]
a
2y t 2
-
2
A cos[ (t
-
x) u
0]
注意区别质点的振动速度与波速.
12– 1
第十二章 平面简谐波
例1 已知波动方程，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t - (0.01cm-1)x].
A A1 - A2 振动始终减弱
其他 A1 - A2 A A1 A2
12– 1
第十二章 平面简谐波
例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波