函数的极限(二)

函数的极限（二）
一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念
如同x →∞时的函数极限有x →+∞和x →-∞两种情况一样，函数()f x 在0x x →的趋向下，我们也需要研究函数的单侧极限的问题，讨论从0x 的右侧（0x x >）或左侧（0x x <）无限
趋向0x 的过程中，函数()f x 的变化趋势。

例如考虑0
x →0x +→。

如果x 是从0x 的右侧无限趋向于0x ，对应的函数值()f x 无限趋于常数A ，则称A 是0
x x →时函数()f x 的右极限。

严格的描述这个极限过程的“εδ-”语言是：（即数学定义）
设函数()f x 在0x 的右侧区间0(,)x b 内有定义，对于任意给定的0ε>，总存在正数δ，使得当x 在00x x δ<-<时，恒有下列不等式成立
|()|f x A ε-<，
则称A 是0x x →时函数()f x 的右极限，记作0
lim ()x x f x A -
→=。

同样，如果x 是从0x 的左侧无限趋向于0x ，对应的函数值()f x 无限趋于常数A ，则称A 是
0x x →时函数()f x 的左极限，“εδ-”定义是：
设函数()f x 在0x 的左侧区间0(,)a x 内有定义，对于任意给定的0ε>，总存在正数δ，使得当x 在00x x δ<-<时，恒有下列不等式成立
|()|f x A ε-<，
则称A 是0x x →时函数()f x 的左极限，记作0
lim ()x x f x A -
→=。

例1.1 用定义证明： 1
l i 0x -
→=。

证：对于任给0ε>，欲使 |()0||0|f x ε-==，即等于
x <
成立就可以了。

但本题1x -
→，故对于任给0ε>（取1ε<），取δ=，当
01x <-< 或 11x <<
时，恒有 |()|f x ε<。

这就证明了1
lim 0x -
→=。

从例1.1 的证明过程看，单侧极限的证明其实与一般极限的验证过程并无太大的区别，只是在选定自变量的邻域时，需要注意它的取值范围要满足条件00x x δ<-<或00x x δ<-<。

例1.2 教科书上第49页的例9还是值得仔细琢磨的。

它研究的是取整函数在端点0x n =处的左、右极限。

请看书上第10页的图1-10。

这个分段函数的解析式为 1,[1,)
()[],
[,1)n x n n f x x n x n n -∈-⎧==⎨
∈+⎩， 0,1,2,
n =±±
它的特点是：()f x 在0x n =的左侧区间[1,)n n -内为常数1n -，右侧区间[,1)n n +内则为常数
n 。

注意这两个区间都是半闭半开的。

函数在0x n =处的函数值为 ()f n n =，但是
lim ()lim[]lim(1)1x n
x n
x n
f x x n n ---
→→→==-=-， lim ()lim[]lim x n
x n
x n
f x x n n +++
→→→===。

可见，此函数在整数点处的左、右极限不相等。

当函数()f x 在0x 处的左、右极限不相等时，我们不能说()f x 在0x x →的趋向下存在极限。

换言之，只有()f x 在0x 处的左、右极限相等时，才能说0
lim ()x x f x A →=。

请看下列定理所描述的
极限与左、右极限的关系：
例1.3 0
lim ()x x f x A →=的充要条件是 0
lim ()lim ()x x x x f x f x A -+
→→==。

证：必要性。

设0
lim ()x x f x A →=，则由极限定义，对任给的0ε>，存在0δ>，使当00||x x δ
<-<时恒有 |()|f x A ε-<。

换言之，当x 的邻域取为0x x δδ-<-<，且0x x ≠。

因为邻域00x x δ<-< 和邻域 00x x δ<-<这两种情况是00||x x δ<-<的子区间，所以在这两个邻域中仍然恒有|()|f x A ε-<成立。

故在0
lim ()x x f x A →=成立的情况下，必有
+
lim ()lim ()x x x x f x f x A -→→==。

充分性。

设+
lim ()lim ()x x x x f x f x A -→→==成立。

故对任给的0ε>，分别有1200δδ>>，，使当010x x δ<-< 和 020x x δ<-<时，都有 |()|f x A ε-<。

取12min{,}δδδ=，那么在00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<自然也成立，即有 0
lim ()x x f x A →=。

我之所以要把书上的证明另行重证，是因为有不止一位同学对书上的证明表示疑惑。

不知上述证明能否消除这些同学的疑惑？
例1.3 讨论极限 02
lim
x x x →-。

解： 因为22
=1x x x
--，图像在0x =处是中断的，在原点的右端，函数趋向于-∞；而在原点
的左端，函数趋向于+∞。

因此，+
02lim x x x →-=-∞，02
lim x x x -→-=+∞，它的左右极限不相等。

所以02
lim x x x
→-不存在。

二． 极限的四则运算
极限的四则运算，是学习极限的基本功。

几类容易引起误解的情况，在课堂上已经分析过了。

大家做了一些练习，需要自己不断地归纳，小结。

要学会这个本事。

自己归纳出来的才属于自己。

我作为老师讲出来的，毕竟是我的体会。

所以，下面的内容与题目，最好不要当作小说来读，自己想一下或做一遍，再来看我写的。

这样的好习惯，需要一段时间来养成。

好吗？
例2.1 下述运算过程是否正确：0
000111
lim sin
lim limsin 0limsin 0x x x x x x x x x
→→→→=⋅=⋅=。

最后结果等于
零是因为0乘任何数仍然为0。

解：解法不正确。

在运用两函数乘积的极限时，要求每一个函数的极限都存在，否则不能套用，这里0
1
limsin
x x
→极限不存在。

正确的方法是：因为对任何不等于0的x ，都有1|sin
|1x ≤，因此在定义域（实数集）上，1
sin x
是一个有界函数；又0
lim =0x x →，是一个无穷小量。

根据有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小量的结论，有 0
1
l i m s i n 0
x x x
→=。

从表面上看，两种方法的结果一样，但解题的指导思想完全不同。

所以我们不要仅仅看答案是多少。

例2.2 若函数()f x 的极限存在，而函数()g x 的极限不存在，问()(),()()f x g x f x g x +的极限是否都存在？
解：()()f x g x +的极限肯定不存在。

理由如下：
假若()()f x g x +的极限存在，记()()()f x g x u x +=，则()u x 的极限存在。

根据()()()g x u x f x =-，则等式两边出现矛盾的情况：右边是两个有极限的函数之差，所以这个差函数仍然有极限。

而等式的左边则是一个没有极限的函数。

这是矛盾的。

所以假设不能成立，从而()()f x g x +的极限不存在。

大家看，反证法看似简单，缺常能解决大问题。

希望大家逐步学会这个方法。

其实，反证法不仅在数学里用，在社会生活里也能用得上。

再看第二问。

()()f x g x 的极限较为复杂，不能一概而论。

例如，在0x →时，
1()s i n ,()f x g x x x ==，前者极限不存在，而后者有极限。

但1
()()sin f x g x x x
=的极限为0。

但不要立即下结论，说极限存在。

因为()()f x g x 的极限不存在的情况也很多。

数学上说一个命
题成立，必须任何情况下都成立才行；说一个陈述不成立，只需一个反例就可以否决。

请大家举1-2个例子。

好吗？
例2.3 若函数()f x 和()g x 的极限均不存在，问问()(),()()f x g x f x g x +的极限是否都存在？ 解：不能一概而论。

极限存在的例子：||||
(),()x x f x g x x x
=
=-。

可以证明，这两个函数在0x →时极限都不存在。

但 ()()0,(0)f x g x x +=≠，所以极限存在。

再看它们的积, ()()1f x g x =-，极限也存在。

极限不存在的例子有很多，留给大家自己找出了。

求多项式的极限是最容易的，只需求出它在0x x →时的函数值。

只是要提醒大家，不要把函数值与极限的概念混淆起来。

同样，求有理分式函数
()
()
P x Q x 在0x x →时的极限也不太难，只要0()0Q x ≠就可以。

这里要用的公式在课堂上已经仔细推导过了，在此简略了。

不过，我们常要遇到∞
∞
或00，这样的情况，这时，就不能套极限运算公式了，需要做些变化
或变换，改变
∞∞或0
0的格式，使极限运算公式能运用。

例2.4 求 32
32
341lim
322
x x x x x →+∞
-+-+。

解：这是∞
∞
型极限。

注意到分子与分母中x 的最高次是32，用3
2x 去分别除分子和分母，得
原式13
221322
413lim
32
2x x x x x →+∞-+=-+， 这样，在x →+∞时，分子趋向3，分母则趋向于—2，最后得原式3
2
-。

由本例可以归纳出，求两个多项式的商在x →∞时的极限，当出现
∞
∞
的情况时，用分子和分母中x 的最高次项去除分子和分母，使多项式的每一项不是常数就是无穷小量，从而可以运用极限运算法则。

若分母极限为0，则先算其倒数的极限。

例如下例
例2.5 2
2
2
1111lim lim 155x x x x x x x x x
→∞→∞+-+-=++， 这样分母的极限为0。

但我们可以计算其倒数
2
22
155lim lim =011
11x x x x x x x x x
→∞→∞++=+-+- 根据无穷大与无穷小的关系，得
21lim 5
x x x x →∞+-=∞+。

当遇到
型的极限，也不能直接运用极限运算法则，需要作些变换。

例2.6 求 22232
lim 252
x x x x x →-+-+。

解：当2x →时，分子分母的极限均为0。

所以属于
型极限问题，不能直接运用极限运算法则。

注意到2x =时的分子和分母的函数值都为0，这表明，2是它们的零点，或者说2都是分子、分母的根，所以它们都含有(2)x -的因子。

所以将分子，分母进行因式分解：
2222232(1)(2)1
lim lim lim 252(21)(2)21
x x x x x x x x x x x x x →→→-+---==-+---， 因为(2)x -在极限过程中非零，上下可以消去这个非零因子。

消去后就是上式的最后一步，没有疑问了，可立马运用极限运算法则了，分子、分母同时求极限，得到极限值为1
3。

例2.7 求121(1)lim (1)
n x x n x n
x +→-++-， (n 为自然数） 解：这是一个
的极限，不能直接运用极限运算法则。

运用分子，分母的函数值均为0，表明都存在1x -的因子。

分子较复杂，先做因式分解。

1
(1)(1)(1)n n x
n x n x x n x +-++=---
1212
(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x n x x x x x x n ----⎡⎤=-++
++--=-++++-⎣⎦，
到了这里，因为分母中是2
(1)x -，现在分子中只分出一个(1)x -，所以还不够，还继续分！ 1
212(1)n n n n x x
x x n x x x x n ---++
++-=++
++-
1
2(1)(1)(1)(1n
n x x x x -=-+-+
+-+-）
12
2(1)(1)(1)(1)1n n n x x x x x x x ---⎡⎤=-++
++++
+++
+++⎣⎦
1
23(1)(23(1))n n n x x
x x n x n ---=-+++
+-+
终于又分出第二个(1)x -的因子，于是可与分母的2
(1)x -消掉，这样 原式1
231
lim(23(1))n n n x x
x x n x n ---→=+++
+-+
(1)
1232
n n n +=++++=。

是否可以归纳一下。

当分子，分母都是多项式，且0x x →时，若它们的极限都为0，则遇到了
型极限，对它不能直接运用极限运算法则，而需要提取0()x x -的公因子，消去后就好用运
算法则。

型极限还出现在有根式的问题中。

这里用的方法是通过有理化去根号。

例2.8
求lim
x →-。

解：这是一个带根号的
型极限。

分子、分母同时“有理化”：
原式2lim
x →-=
22lim lim
x x →-→-==-， 至此，问题已经没有难度了，所求的极限值等于2-。

我们还经常遇到∞-∞型的极限。

大家千万不要误认为两个无穷大相减，极限一定为0！这是想当然，因为两个无穷小相减，必为无穷小，这是得到严格证明的；但两个无穷大量相减，由于“大”的程度是不同的，所以不能说极限为0。

这是初学这容易犯的错误。

那么怎么办呢？ 通常可通过通分，有理化等手段进行变形后再处理。

例2.9
lim )x x →+∞
解：这是∞-∞型问题。

用有理化方法：
原式lim
x =
2l i l i )x x ==， 至此，还要用分子分母同除x 的最高次项（这里就是x ）：
原式()lim
2x ab
a b a b ++
+==。

最后一步已经没有难度了。

例2.10
已知lim )0x ax b →-∞
+=，试求出常数,a b 。

解1
：由lim )0x ax b →-∞
+=
ax b +是 x →-∞ 时的无穷小，故根
据极限基本定理有
()ax b x α+=， 其中lim ()0x x α→-∞
=，
所以
()
b x a x x x
α=-+，
两边取x →-∞的极限，有
()lim lim lim x x x b x a x x α→-∞→-∞→-∞⎫=-+==-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
lim lim lim x x x →-∞→-∞→-∞=-=-=--⎝
⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
lim 1x →-∞⎛=-= ⎝， （我把每一步都写得很仔细，你看得懂吗？）
即得 1a =。

将1a =代入原式，有
lim )0x x b →-∞
+=，
这等于
lim )lim
x x b x →-∞
=-=- （有理化）
lim
lim
x x =-=
111lim
2
x →-∞
-==-。

至此，我们已经求出了 1a = 和 12
b =-。

解2： 注意到本题的自变量的趋向为x →-∞，所以若0a <，则所给的极限式将是∞-∞是个不定式；若0a =，则所给极限应为∞，都和给定的0矛盾。

所以只能有0a >，是个正值。

将所给极限式的分子、分母有理化，有
22222
0lim
lim
x x ==， （&）
注意到分母的“最高次”项是一次的，所以分子的2
x 的系数2
1a -非零，则上式右边的极限将是∞，故必有 2
10a -=，根据0a >，则 1a =。

又从（&）知，若120ab +≠，那么（&）的极限不可能为0，所以必有 120ab +=，则1
2
b =-。

从上述2个解答方法，你有何比较的想法？你还有其他解法吗？提出来试一试？
三． 有界函数与无穷小的乘积的极限
需要注意的是条件与结论的范围。

例3.1 若在某趋向下，函数()f x 是有界的，且lim ()()0x f x x α→
=，问能否判断()x α是x →时
的无穷小？ （这里用x →表示自变量x 的某种趋向）
解：我们知道，有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

而本题则反过来提出问题来：已知一个有界函数与另一个函数的成绩的极限为零，那么这个函数必定是无穷小吗？
命题能否成立，有两条路可走。

第一，若能直接证明，当然最好；第二，若不能证明，但可以找到反例（哪怕只有一个反例也行），就可以推翻命题。

于是命题能否成立就水落石出。

不要因为命题被否认，似乎事情没有完成。

不，否定一件事，也是完成了任务。

大家还记得科学史上的一些著名事件吗？例如，1956年，杨振宁和李政道两位华人科学家推翻了被物理学界一直相信的“宇称守恒定律”，科学界为之轰动，结果被授予了诺贝尔奖。

否定也是新发现。

好，说远了，我们还是来做本题。

两个函数相乘的积等于零时，它们本身可能不是恒为零的函数。

（这与数的乘积的情况不一样，你们以后学到线性代数，也会遇到类似的情况：两个非零的矩阵，乘积却是零矩阵！）
令 0,()1x f x x ⎧=⎨⎩
为无理数，为有理数， 1,()0x x x α⎧=⎨⎩为无理数
，为有理数；
那么()f x 是有界的，且()()f x x α恒为零，且lim ()()0x f x x α→
=，但是()x α却不是无穷小。

例3.2 设01
lim ()sin
0x x x
α→=，且0x →时，()x α的极限存在。

证明：0lim ()0x x α→=。

解：这个问题与上题一样吗？题目有点奇怪，因为1
sin x
在0x →是极限不存在。

请琢磨题意。

取1
22
n x n ππ=+
，则1sin
sin(2)1,(1,2,)2n n n x ππ=+==。

当n →∞时，0n x →。

于是 lim ()0n x α→+∞
=。

因为0n x →是0x →的一个特殊趋向（离散的）
，所以有 0
lim ()0x x α→=。

请大家对照例3.1 和例3.2的异同。