离散07—08期末考试题(B卷)

四川大学期末考试试题（闭卷B）
（2007-2008学年第1学期）
1．下列命题公式是永真式的是（）
A．（P∧～P）↔Q B．（～（P→Q）∧Q）→Q C．（P→Q）∨Q D．（P∨P）∧（P→～P）
2．命题公式A不存在主合取范式，则A是（）
A．矛盾式B．可满足式C．永真式D．都不对
3．谓词公式（∀x）P（X）→（∃x）P（X）是（）
A．可满足式B．矛盾式C．无法判别D．永真式
4．公式（∀x）（∃y）（P（x,y）∧Q（z））→R（x）中的x （）
A．仅是约束变元B．仅是自由变元C．既是约束变元又是自由变元D．既不是约束变元也不是自由变元5．设S={I，Q，R} ，下列命题哪个正确（）
A．I⊂Q，Q⊂R则I⊂R B．-1∈I，I∈S 则-1∈S C．D．都不正确
6．下面的表达哪个不正确（）
A．{a}⊆{{a}} B．{a}∈{{a}} C．{a}⊆{a，{a}} D．{a}∈{a，{a}}
7．若集合A中共有n个元素，那么A上不同二元关系的个数为（）
A．n2B．2 n2C．2 n2-1 D．都不对
8．下列判断正确的是（）
A．若R，S是自反的，则R-S是自反的B．若R，S是对称的，则R○S是对称的
C．若R，S是传递的，则R∩S是传递的D．若R，S是传递的，则R∪S是传递的
9．设R，S是非空集合上的等价关系，则R∪S是（）
A．一定具有自反性，但不一定保持对称性B．一定具有对称性，但不一定保持自反性
C．一定具有自反性和对称性D．是等价关系
10．在5个元素的集合上可以定义的单射数目为（）
A．5 B．10 C．60 D．120
11．设函数f：X→Y；X，Y是有限集合，f是单射，那么下列关系一定不成立的是（）
A．|X|=|Y| B．|X|﹥|Y| C．|X|﹤|Y| D．X∈Y
12．平面非连通图G，n-m+f 的值为（）
A．2 B．ω（G）C．ω（G）+1 D．3
13．若一棵树G（n，n-1）只有两个叶节点，则（）不正确
A．不包含点度大于等于3的枝点B．节点总度数大于等于4
C．最少包含2个节点D．节点总度数=2+2（n-2）
14．设10阶简单连通图有32条边，则最少要去掉（）条边才能使其成为平面图
A．10 B．12 C．32 D．8
15．下列代数系统，（）是群
A．〈S1={1，1/2，2，1/3，1/4，4}，*：为普通乘法〉
B．〈S2={ai | ai∈R，i=1，2，3…n}，o：∀ai，aj∈S2 → aioaj=ai 〉
C．〈S3={0，1}，*：为普通乘法〉
D．〈S4={-1，1}，+：为普通加法〉
二、多项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的五个备选项中有二个至五个是符合题
目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选、少选或未选均无分。

1.设A＝{1,2,3}，则右图所示A上的关系具有（）。

1).自反性 2).反自反性 3).对称性
4).反对称性 5).传递性
2.设A＝{a}，B＝{a，{a}}，则（ ）。

⊆B 3).{A}∈B 4).{A}⊆B 5).{A}⊆{B}
1).A∈B 2).A
3.下列命题公式中，（）在解释{～P，Q，～R }下为真。

1).(P∧Q)→R 2).(P∨Q)→R 3).(R↔Q)→P 4).P→(Q→R) 5). ～(P∧Q)→R
4.树是（）。

1). 欧拉图2). 哈密顿图 3). 二部图 4). 平面图5). 连通图
5.在一个环（R，+，.）中，以下命题不一定成立的有（ ）。

1) a.0=0 2) a.(-b)=-(a.b) 3) -a.(-b)=a.b
4) a.b=0 ，则a=0或b=0 5) a.b=a.c ，则b=c
三、简答题（本大题共4小题，每小题2.5分，共10分）
1、试述谓词逻辑中自由变元和约束变元的定义。

2、试述关系中二元关系的定义
3、试述无向图中度数的定义
4、试述代数格的定义
四、演算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）。

1．写出（P∧～R）∨（S∧P）的主析取范式。

2．把下面的命题符号化成逻辑公式：
每个旅客要么坐硬座要么坐软座，每个旅客当且仅当富裕时坐软座，并非每个旅客都富裕。

因此，有些旅客坐硬座。

3．利用矩阵方法求下图的所有强分图：
4．将┌1 2 3 4 5 6┐下式表示成循环之积，并求其逆置换
└5 1 6 3 2 4┘
5．无向图G有21条边，12个3度顶点，其余顶点的度数均为2，求G的阶数n（写出求解过程）
五、推理与证明题（本大题共4小题，共30分）。

1．（7分）证明〈{a+b√2 | a，b∈I}，+，x〉为环（+，x为普通加法和乘法）。

2．（7分）证明：简单连通无向图的任何一条边，都是G的某一棵生成树的边。

3．（7分）证明P→（Q→S）是{P→（Q→R），R→（Q→S）}的逻辑结果。

4．（9分）设R是A上的自反和传递关系，S也是A上的关系，且满足
〈x，y〉∈S 〈=〉（〈x,y〉∈R）∧（〈y,x〉∈R），证明S是一个等价关系。

A卷答案
1、④
2、③
3、③
4、②
5、②
6、④
7、③
8、③
9、② 10、④ 11、
③ 12、③ 13、② 14、② 15、③
1、1）4）5）
2、2）4）5）
3、1）2）3）5）
4、1）2）3）4）
5、3）4）
三1、具有确切真值的陈述句称为命题
2、设f是从X到Y的函数，若f满足：
对任意x1,x2∈X，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，则称f为从X到Y的单射或1-1映射；
3、设G ＝<V,E>是一个简单有向图，
V ＝{v 1,v 2,…,v n }，则n 阶方阵A ＝(a ij )n ⨯n 称为G 的邻接矩阵。

其中：
4、设〈X ，*〉与〈Y,о〉是两个代数系统，如在集合X 与Y 之间存在一个双射f ：X →Y ，
使得对∀a ，b ∈X ，有： f(a*b)=f(a)оf(b)
则称f 是从〈X ，*〉到〈Y,о〉的同构，记为X ≌Y 。

四1、
)()()()()
()()()())(())(()
()()
()())(()
())((R Q P R Q P R P Q R P Q R Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R R P Q Q P P Q Q P P Q P R P P Q P R P ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔∨∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧⌝∨∨⌝⇔∧⌝∨∨⌝∧∧⌝∨∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝∧∨∨⌝⇔↔∧∨→ 2、
},,,,,,,,,,,,,,,,{)()t( )(}
,,,,,,,,,,,{}
,,,,,,,,,,,,,{}
,,,,,,,{11
111112121><>><<><><><><><><===><><><><><><=><><><><><><><=><><><><=-c c b b b c c b a b a c c a b a a a R s R R R R r c c b c a c b b a b a a R c c b b c b a b c a b a a a R R c c b b b a a a R R
3、设G 的结点个数为n ，由握手定理 3×4＋3×（n-3）=21×2 3×（n-3）=30 n-3=10 即 n=13
4、Z 6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]} H={[0]，[2]，[4]，⊕}
主合取范式
主析取范式
⎪⎩⎪⎨
⎧∉∈=
E,)v ,(v 0,E,)v ,(v ,1j i j i ij a
[0]H=[2]H=[4]H={[0]，[2]，[4]}=H[0]= H[2]=H[4] [1]H=[3]H=[5]H={[1]，[3]，[5]}=H[1]= H[3]=H[5] 5、权值=17 此题略
五 1、设N （x ）：x 是自然数，P （x ）：x 是奇数，Q （x ）：x 是偶数 F(x):x 能被2整除 则上述语句可符号化为：
)8()8()8()),()(()()(()),()(()()((P F N x Q x F x N x x Q x P x N x ⌝⇒∧↔→∀∇→∀
证明：
T(7)(10)I
)8( )11 T(2)(9)I )8()8( )10US(8) ))8()8(()8( )9 P )))()(()()(( )8T(5)(6)I )8( )7T(1)I )8( )6T(2)(4)I )8()8( )5US(3) ))8()8(()8( )4P ))()(()()(( )3T(1)I )8( )2P )8()8( )1P Q P Q P N x Q x P x N x Q F Q F Q F N x Q x F x N x N F N ⌝∇∇→∇→∀↔↔→↔→∀∧
2、1）自反性：∵对A y x ∈∀),(，x-y=x-y,∴(x,y)R(x,y)
2) 对称性：设(x 1,y 1)R(x 2,y 2)，则x 1-y 1=x 2-y 2 有x 2-y 2= x 1-y 1 即(x 2,y 2)R(x 1,y 1)
3）传递性：设(x 1,y 1)R(x 2,y 2)，(x 2,y 2)R(x 3,y 3)， 则x 1-y 1=x 2-y 2=x 3-y 3，∴(x 1,y 1)R(x 3,y 3) 故R 是等价关系 3、证明：
1）证><,*I 是交换群
I b a I b a b a b a ∈∴∈-+=* ,, ,1* ，I 是封闭的
∵(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2 a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2 ∴*是可结合的
∵a*1=a+1-1=a ∴1是<I,*>的幺元
,I a ∈∀ 令112* ,211=--+=-=--a a a a a a ，∴a 的逆元存在
∵ a*b=a+b-1=b*a ∴ ><,*I 是交换群 2) 证>< ,I 是含幺交换半群
,,,,I b a I b a b a b a b a ∈∈⨯-+=
∴I 关于 是封闭的
c
b a
c b c a b a c b a c b c b a c b c b a c b a c
b a
c b c a b a c b a c b a b a c b a b a c b a ⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=⨯-+⨯-⨯-++=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=⨯⨯-+-+⨯-+= )()( )()(
∴ 是可结合的
∵令a a a a b =⨯-+==00 ,0 ，∴0是>< ,I 的幺元 ∵a b b a b a b a =⨯-+=，∴>< ,I 是含幺交换半群 3）∵)1(1)1()*(-+⨯--++=-+=c b a c b a c b a c b a
=⨯-+⨯-+=)(*)()(*)(c a c a b a b a c a b a )1(1-+⨯--++c b a c b a
∴=)*(c b a )(*)(c a b a 同理)(*)()*(a c a b a c b = 故>< ,*,I 是具有幺元的可交换环。