2019届中考数学复习《旋转》专项练习含答案

2019 初三中考数学专题复习旋转专项练习题
1. 下列图中的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
A．6 B．4 3 C．3 3 D．3
3. 下列四组图形中成中心对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4. 如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′
C．S△ABC＝S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′
5. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )
6. 点P(3，2)关于原点对称的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7. 若点A(n，2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝( )
A．－1 B．－5 C．1 D．5
8. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C按逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC＝1，则PP′＝．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．
10. 已知A，B两点关于点O成中心对称，若AO＝3 cm，则BO＝____cm.
11. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则点D的坐标为．
12. 已知，点A(5，m)关于x轴的对称点为(5，－2)，那么m的值为____，点A关于原点对称的点的坐标是．
13. 若a－3＋(b＋2)2＝0，则点M(a，b)关于原点的对称点的坐标为．
14. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
参考答案：
1---7 DACDC CD
8. 2
9. (4，2)
10. 3
11. (0，1)
12. 2 (－5，－2)
13. (－3，2)
14. 解：(1)提示：A，B，C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4，1)，(－1，2)，(－2，4)，连接这三个点，得△A1B1C1
(2)提示：A，B，C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连接这三个点，得△A2B2C2
(3)P(2，0)．作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，3)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是( ) A.(﹣3，1) B.(3，﹣1) C.(﹣1，3)
D.(1，﹣3)
2．数据-5,-1,0,1,x 的众数为0,则方差为( ) A ．0
B ．
125
C ．2
D ．
225
3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，AE 平分∠CAB 交BC 于D ，BE ⊥AE 于E ，给出下列结论：①BD ＝2CD ；②AE ＝3DE ；③AB ＝AC+BE ；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为8的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上接BD ，AE ，则四边形FGCH 的面积为（ ）
A 43
B 83
C 143
D ．
163
5．（11·孝感）如图，二次函数2
y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（1
,12
），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜. 其中正确结论的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6．下列函数中，对于任意实数x，y随x的增大而减小的是( ).
A.y=x
B.y=
C.y=－x+2
D.y=2x2
7．下列式子计算正确的是（）.
A. B. C. D.
8．如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )
A．5元，2元B．2元，5元
C．4.5元，1.5元D．5.5元，2.5元
9．若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范图是（）
A．1＜m＜3
2
B．1≤m＜
3
2
C．1＜m≤
3
2
D．1≤m≤
3
2
10．某市的住宅电话号码是由7位数字组成的，某人到电信公司申请安装一部住宅电话，那么该公司配送这部电话的号码末尾数字为6的概率是( )
A．1
6
B．
1
7
C．
1
9
D．
1
10
11．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）
A.甲超市的利润逐月减少
B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加
C.8月份两家超市利润相同
D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市
12．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象
限C．第三象
限D．第四象限
二、填空题
13．如图，点、是函数上两点，点为一动点，作轴，轴，下列结论：①≌；
②；③若，则平分；④若，则．其中正确的序号是
__________（把你认为正确的都填上）．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D是AB的中点，点P是直线AC上一点，将△ADP 沿DP所在的直线翻折后，点A落在A1处，若A1D⊥AC，则点P与点A之间的距离为______．
15．如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A＝α，则∠ECB＝_____(用含α的式子表示)．
16．如图，地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是_____．
17．若n边形的每个外角均为120︒，则n的值是________.
18．计算：
23
11
x
x x
+
-
++
＝_____．
三、解答题
19．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
甲乙
原料成本12 8
销售单价18 12
生产提成 1 0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入-投入总成本）
20．方程组
246
434
a b
a b m
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解a，b都是正数，求非正整数m的值．
21．如图所示，△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，且点F是半圆CD的中点．
（1）求证：AB与⊙O相切．
（2）若tanB＝2，AB＝6，求CE的长度．
22．如图，已知：△ABC的外接圆⊙O的圆心O在等腰△ABD的底边AD上，点E为弧AB上的一点，AB平分∠EAD，∠C＝60°，AB＝BD＝3．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
23．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线．
（1）求证：△ABC≌△ADC．
（2）若∠BCD＝60°，AC=BC，求∠ADB的度数．
24．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．求证：a2＝b（b+c）
（2）如图②，在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且c＝7，b＝8，求a的长．
（3）若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们则称这样的三角形为“倍角三角形”．问题（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图③，∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．
25．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AO＝CO，AB∥CD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠OAB＝∠OBA，求证：四边形ABCD是矩形．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题13．②③
14．5
2
或10
15．45°+
2
16．
7 16
17．3
18．-1
三、解答题
19．（1）甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）当y=15时，W最大，最大值为91万元．【解析】
【分析】
（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20-x）万只，根据销售收入为300万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20-y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价-成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．
【详解】
（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20-x）万只，
根据题意得：18x+12（20-x）=300，
解得：x=10，
则20-x=20-10=10，
则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；
（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20-y）万只，
根据题意得：13y+8.8（20-y）≤239，
解得：y≤15，
根据题意得：利润W=（18-12-1）y+（12-8-0.8）（20-y）=1.8y+64，
当y=15时，W最大，最大值为91万元．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
20．非正整数m的值是0，﹣1．
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：解方程组
246
434
a b
a b m
+=
⎧
⎨
-=
⎩
得：
89
11
124
11
m
a
m
b
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
-
⎪=
⎪⎩
，
∵a，b都是正数，
∴
890 1240
m
m
+>
⎧
⎨
->
⎩
，
解得：﹣9
8
＜m＜3，
∴非正整数m的值是0，﹣1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组和一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
21．（1）见解析；（2）CE
.
【解析】
【分析】
（1）连接DF，由CD为⊙O的直径，得到∠CFD＝90°，求得∠A＝∠ACD＝45°，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到CD＝2BD，求得BD＝2，CD＝4，得到BC＝
，根据切割线定理即可得到结论．
【详解】
（1）连接DF，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∵点F是半圆CD的中点，∴CF＝DF，
∴∠ACD＝45°，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB与⊙O相切；
（2）∵CD⊥AB，tanB＝2，∴CD＝2BD，
∵AD＝CD，
∴AB＝3BD，
∵AB＝6，
∴BD＝2，CD＝4，
∴BC＝
∵BD 与⊙O 相切，
∴BD 2＝BE•BC，
∴BE ＝225＝255
， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝85．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）
2
. 【解析】
【分析】 （1）连接OB ，根据圆的基本性质，证OB ⊥BD ，即可得BD 是⊙O 的切线；（2）连接OE 、BE ，在Rt △OBD 中，∠D ＝30°，BD ＝3，得OB 3E ，B 是半圆周的三等分点，得EB ∥AO ，证得S △ABE ＝S △OBE ，根据S 阴影＝S 扇形OEB 可得.
【详解】
（1）证明：连接OB ，
∵∠C ＝60°，
∴∠AOB ＝2∠C ＝120°，
∵OA ＝OB ，
∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°，
∴AB ＝BD ，
∠BAO ＝∠D ＝30°，
∴∠ABD ＝180°﹣∠BAO ﹣∠D ＝120°，
∴∠OBD ＝∠ABD ﹣∠ABO ＝120°﹣30°＝90°，
即OB ⊥BD ，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）连接OE 、BE ，
在Rt △OBD 中，∠D ＝30°，BD ＝3，
∴OB 3
∵AB 平分∠EAD ，
∴∠EAB＝∠BAO＝30°，
∴∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴E，B是半圆周的三等分点，又∵OE＝OB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OEB＝∠AOE＝60°，
∴EB∥AO，
∴S△ABE＝S△OBE，
∴S阴影＝S扇形OEB＝
2
60(3)
2
ππ
⨯⨯
=．
【点睛】
考核知识点：扇形面积和切线性质.根据所求找出相应条件，是关键.
23．（1）详见解析；（2）∠ADB＝15°．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，从而利用SAS，可判定全等．
（2）根据△ABC≌△ADC．可知BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°，已知∠BCD＝60°，故△BCD是等边三角形．即∠CBD＝60°，在△ABC中AC=BC，∠ACB＝30°，可得∠CDA＝75°，进而求得∠ADB＝15°．
【详解】
解（1）∵AC是∠BAD的角平分线．
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．
（2）∵△ABC≌△ADC．
∴BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
∴∠CBD＝60°，
∵AC=BC，
∴∠CDA＝75°，
∴∠ADB＝15°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，注意熟练掌握全等三角形的判定和性质.
24．（1）见解析；（2）a＝105；（3）关系式a2＝b（b+c）仍然成立，见解析. 【解析】
【分析】
（1）先证△ACB为直角三角形，知a＝3
c，b＝
1
2
c，据此可得a2＝（
3
c）2＝2
3
4
c，b（b+c）＝
1
2
c
（1
2
c+c）＝2
3
4
c，从而得出答案；
（2）延长CA至点D，使AD＝AB，连接BD，证△CBD∽△DAB得BD CD
AB BD
=，据此可得BD＝105，由∠C
＝∠D知a＝BC＝BD＝105；
（3）延长BA至D，使AD＝AC＝b，连结CD，证△ADC∽△CDB得AD CD
CD DB
=，据此可得答案．
【详解】
解：（1）证明：∵∠A＝2∠B＝60°，∴∠B＝30°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ACB为直角三角形，
在Rt△ACB中a＝3
c，b＝
1
2
c，
所以a2＝（3
c）2＝2
3
4
c，b（b+c）＝
1
2
c（
1
2
c+c）＝2
3
4
c，
所以a2＝b（b+c）；
（2）如图1，延长CA至点D，使AD＝AB，连接BD，
则∠D＝∠ABD＝1
2
∠CAB＝∠C，
∴△CBD∽△DAB，
∴BD CD AB BD
=，
∴BD2＝AB•CD＝7×（8+7）＝105，∴BD105
又∠C＝∠D，
∴a＝BC＝BD＝105
（3）对于任意的倍角△ABC ，∠A ＝2∠B ，关系式a 2＝b （b+c ）仍然成立，
如图2，延长BA 至D ，使AD ＝AC ＝b ，连结CD ，
则∠CAB ＝2∠D ，
∴∠B ＝∠D ，BC ＝CD ＝a ，
∴△ADC ∽△CDB ∴
AD CD CD DB
=， 即b a a b c =+． 所以a 2
＝b （b+c ）．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的概念、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点．
25．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据AB ∥CD ，即可证明∠OAB ＝∠OCD ，再结合题意证明△OAB ≌△OCD ，即可证明AB ＝CD.
（2）在（1）的基础上证明四边形ABCD 是平行四边形，再结合对角线即可证明四边形ABCD 是矩形.
【详解】
（1）证明：∵AB ∥CD ，
∴∠OAB ＝∠OCD ，
在△OAB 和△OCD 中， AOB COD OA 0C
OAB OCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAB ≌△OCD ，
∴AB ＝CD ．
（2）证明：∵△OAB ≌△OCD ，
∴AB ＝CD ，
∵AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝12AC ，OB ＝12
BD ， ∵∠OAB ＝∠OBA ，
∴OA ＝OB ，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定定理，关键在于利用全等三角形证明对边相等.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数
y kx b =+的图象可能是:
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ， 求道路的宽．如果设小路宽为x ，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A ．（20-x ）（32-x ）=540
B ．（20-x ）（32-x ）=100
C ．（20+x ）（32+x ）=540
D ．（20+x ）（32-x ）=540
3．已知一个矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线的长为10cm ，则该矩形的周长为（ ）
A ．20cm
B ．203cm
C ．20（1+3）cm
D ．10（1+3）cm
4．如图，点E 为△ABC 的内心，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若AB ＝7，AC ＝5，BC ＝6，则MN 的长为（ ）
A.3.5
B.4
C.5
D.5.5
5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，点P 是BC 边上的动点，连接PA 、PD ．则PA+PD 的最小值为（ ）
21 102+5 D.3
6．如图，ABC ∆纸片中，点1A ，1B ，1C 分别是ABC ∆三边的中点，点2A ，2B ，2C 分别是111A B C ∆三
边的中点，点3A ，3B ，3C 分别是222A B C 三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上)，则飞镖落在阴影部分的概率是( )
A.2164
B.1132
C.2148
D.712
7．如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D. 8．如图，AB ∥CD ，直线L 交AB 于点E ，交CD 于点F ，若∠2=75°，则∠1等于（ ）
A.105°
B.115°
C.125°
D.75°
9．某校举行“社会主义核心价值观”演讲比赛，学校对30名参赛选手的成绩进行了分组统计，结果如下表： 分数x （分） 4≤x＜5 5≤x＜6 6≤x＜7 7≤x＜8 8≤x＜9 9≤x＜
10
频数 2 6 8 5 5
4 由上可知，参赛选手分数的中位数所在的分数段为（ ）
A ．5≤x＜6
B ．6≤x＜7
C ．7≤x＜8
D ．8≤x＜9
10．如图，△ABC 中，下面说法正确的个数是（ ）个．
①若O 是△ABC 的外心，∠A ＝50°，则∠BOC ＝100°；
②若O 是△ABC 的内心，∠A ＝50°，则∠BOC ＝115°；
③若BC ＝6，AB+AC ＝10，则△ABC 的面积的最大值是12；
④△ABC 的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，BD 平分,ABC BC DE ∠⊥于点,7,4E AB DE ==，则ABD S ∆=（ ）
A ．28
B ．21
C ．14
D ．7
12．下列运算正确的是（ ）
A ．a 3•a 4＝a 12
B ．a 5÷a ﹣3＝a 2
C ．（3a 4）2＝6a 8
D ．（﹣a ）5•a＝﹣a 6 二、填空题
13．若1x +有意义，则
x 的取值范围为________________ 14．不等式组112(3)33x x x +⎧⎨+->⎩
…的解集是_____． 15．-2的相反数是_____
16．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是_______.
17．请你写出一个次数为3次的单项式：__________．
18．计算：38﹣|﹣2|＝_____．
三、解答题
19．先化简，再求值：22121()111
x x x x x -+÷+--，其中x 满足方程x （x ﹣1）＝2（x ﹣1）． 20．定义：长宽比为n ：1（n 为正整数）的矩形称为n 矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．
操作1：将正方形ABEF 沿过点A 的直线折叠，使折叠后的点B 落在对角线AE 上的点G 处，折痕为AH ． 操作2：将FE 沿过点G 的直线折叠，使点F 、点E 分别落在边AF ，BE 上，折痕为CD ．则四边形ABCD 2
矩形．
（1）证明：四边形ABCD为2矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM=AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求CN
NB
的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB=22，则DR的最小值= ．
21．如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
22．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．
（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+1
2
OM的最小值．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相交于点C，点E是AB弧上一点，且AD⊥CD于点D，AC 平分∠DAB
（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长.
24．一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．
25．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明。

已知:如图,E 是BC 的中点,点A 在DB 上,且 ∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等。

因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。

现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明。

图(1):延长DE 到F 使得EF=DE
图(2):作CG ⊥DE 于G,BF ⊥DE 于F 交DE 的延长线于F
图(3):过C 点作CF ∥AB 交DE 的延长线于F.
【参考答案】***
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B C B B A B C
C D 二、填空题
13．：1x ≥且x≠1
14．0≤x＜3
15．
16．16
17．4x 3
18．0
三、解答题
19．x 2+1，5
【解析】
【分析】
找出原式括号中两项的最简公分母，通分并利用同分母分式的加法法则计算，除式的分母利用平方差公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后将已知的方程移项提取公因式x −1，左边化为积的形式，右边化为0，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，求出方程的解得到x 的值，将满足题意x 的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】
解：原式＝()()()
()()2121x 111x x x x x -++-+-n ＝x 2﹣2x+1+2x
＝x 2+1，
方程x （x ﹣1）＝2（x ﹣1），移项变形得：
（x ﹣1）（x ﹣2）＝0，
解得：x ＝1或x ＝2，
当x ＝1时，原式没有意义；
则当x ＝2时，原式＝22+1＝5．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，以及利用因式分解法解一元二次方程，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
20．（1）见解析；（2， 2.
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠DAG=45°，进而判断出四边形ABCD 是矩形，再求出AB ：AD 的值，即可得出结论；
（2）①如图b ，先判断出四边形BQOP 是矩形，进而得出
,OP AO OQ CO BC AC AB CA ==，再判断出Rt △QON ∽Rt
△POM ，进而判断出ON OQ AB OM OP BC
===
②作M 关于直线BC 对称的点P ，则△DMN 的周长最小，判断出CN DC NB BP
=，得出a ．进而得出
BP=BM=AB-AM=-1）a ．即可得出结论；
③先求出BC=AD=2，再判断出点R 是BC 为直径的圆上，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）设正方形ABEF 的边长为a ，
∵AE 是正方形ABEF 的对角线，
∴∠DAG=45°，
由折叠性质可知AG=AB=a ，∠FDC=∠ADC=90°，
则四边形ABCD 为矩形，
∴△ADG 是等腰直角三角形． ∴2a AD DG ==， ∴::
2:12a AB AD a ==． ∴四边形ABCD 为2矩形；
（2）①解：如图，作OP ⊥AB ，OQ ⊥BC ，垂足分别为P ，Q ．
∵四边形ABCD 是矩形，∠B=90°，
∴四边形BQOP 是矩形． ∴∠POQ=90°，OP ∥BC ，OQ ∥AB ．
∴,OP AO OQ CO BC AC AB CA
==． ∵O 为AC 中点， ∴OP=
12BC ，OQ=12AB ． ∵∠MON=90°，
∴∠QON=∠POM ．
∴Rt △QON ∽Rt △POM ．
∴
2ON OQ AB OM OP BC
===． ∴tan 2ON OMN OM ∠==． ②解：如图c ，作M 关于直线BC 对称的点P ，连接DP 交BC 于点N ，连接MN ．则△DMN 的周长最小，
∵DC ∥AP ，
∴CN DC NB BP
=， 设AM=AD=a ，则2a ．
∴BP=BM=AB-AM=2-1）a ．
∴222(21)CN CD a NB BP a
===+-
③如备用图，
∵四边形ABCD 矩形，，
∴BC=AD=2，
∵BR ⊥CM ，
∴点R 在以BC 为直径的圆上，记BC 的中点为I ，
∴CI=12
BC=1，
∴DR 最小-1=2
故答案为：2
【点睛】
此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键．
21．（1）0＜x ＜
35；（2）当x ＝617时，S 最大＝1817． 【解析】
【分析】
（1）根据2AB ＋7半径＋弧长＝6列出代数式即可；
（2）设面积为S ，列出关于x 的二次函数求得最大值即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：2AB +7x+πx＝2AB+10x ＝6，
整理得：AB ＝3﹣5x ；
根据3﹣5x ＞0，
所以x 的取值范围是：0＜x ＜35
； （2）设面积为S ，则S ＝222317176182(35)62221717
x x x x x x ⎛⎫-+=-+=--+ ⎪⎝⎭, 当x ＝617时，S 最大＝1817
． 【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．（1）y ＝6x 2﹣3
x ；（2）存在△POB 为等腰三角形，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，）；（3）MC+12
OM 的最小值为CK ＝5． 【解析】
【分析】
（1）设出抛物线解析式，利用待定系数法求出拋物线解析式即可
(2)设点P 的坐标为(2，y)，分三种情况讨论，①OB=OP ，②2OB=PB ，③OP=PB ，分别求出y 的值，即可得
出点P的坐
（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM ，利用△AKM∽△AMO ，求出MC+
1
2 OM
＝MC+KM＝CK，即可解答
【详解】
（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠BDO＝90°，
∵OA绕点O逆时针旋转120°至OB，
∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，
∴sin∠BOD＝
3
BD
OB
=，cos∠BOD＝
1
02
OD
B
=，
∴BD 3
＝3，OD＝
1
2
OB＝2，
∴B（﹣2，3），
设过点A（4，0），B（﹣2，3，O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴
1640
420
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪=
⎩
解得：
3
23
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
⎪⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎪⎩
，
∴抛物线的函数解析式为y＝
3
6
x2﹣
23
3
x；
（2）存在△POB为等腰三角形，
∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），
∴对称轴为直线x＝2，
设点P坐标为（2，p），
则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣3）2＝p2﹣3，①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42
解得：p1＝3p2＝﹣3
当p＝﹣23时，∠POA＝60°，即点P、O、B在同一直线上，
∴p≠﹣23，
∴P（2，23），
②若BP＝OB＝4，则p2﹣43p+28＝42
解得：p1＝p2＝23，
∴P（2，23）；
③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣43p+28，
解得：p＝23，
∴P（2，23）；
综上所述，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，23）；
（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，
此时，MC+1
2
OM＝MC+KM＝CK为最小值，
理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK•OA，而∠MAO＝∠OAM，
∴△AKM∽△AMO，∴KM
OM
＝
1
2
，
即：MC+1
2
OM＝MC+KM＝CK，
CK22
43
＝5，
即：MC+1
2
OM的最小值为CK＝5．
【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，勾股定理和三角形相似，综合性较大
23．（1）CD是⊙O的切线，理由见解析（2）5 2
【解析】【分析】
(1)要证DC是⊙O的切线,只要连接OC,求证∠OCD=90°即可;
(2)求AB的长,可以先证明△ACD∽△ABC,得出比例关系
【详解】
证明:(1)连OC.
∵AD⊥DC
∴∠ADC=90°
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.
又OC=OA
∴∠CAB=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO
∴OC∥AD.
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°
又OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线
(2)连接BC
∵AB是O的直径
∴∠ACB=90°
又∠ADC=90°
∴∠ADC=∠ACB=90°
由(1)可知∠DAC=∠CAB,
∴△ACD∽△ABC.
AC AD
AB AC
=而AD=2，AC=5
5
5
=
AB=5 2
故AB的长为5 2
【点睛】
此题考查切线的判定，利用切线的性质和三角形相似解题是解题关键24．40%
【解析】
【分析】
先设第次降价的百分率是x ，则第一次降价后的价格为500（1-x ）元，第二次降价后的价格为500（1-2x ），根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【详解】
第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ，
根据题意得：500（1﹣x ）（1﹣2x ）＝240，
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.3＝130%．
则第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可．
25．选择（1）（3）证明，证明见解析
【解析】
【分析】
如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE,证明△DCE ≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C 点作CF ∥AB 交DE 的延长线于F,得到△ABE ≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,
【详解】
如图(1)延长DE 到F 使得
EF=DE
在△DCE 和△FBE 中,
EF DE DEC FEB BE EC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
∴△DCE ≌△ FBE （SAS)
∴.∠CDE=∠F,BF=DC
∵∠BAB=∠CDE
∴BF=AB
∴AB= CD
如图3,过C 点作CF ∥AB 交DE 的延长线于F
在△ABE 和△FCE 中
B ECF BE EC
BAE F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
∴△ABE ≌△ FCE(ASA),
∴AB=FC
∵∠BAE=∠CDE
∴∠F=∠CDE
∴CD=CF
∴AB=CD
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明。