高中数学专题《三角函数》单元测试拔高卷

三角函数单元测试05（拔高卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2021·全国·）已知实数[2,3]a ∈，不等式
2cos (4)sin 2(22)|sin 2|0a x a b x a b x a -+-++-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则223a a b ++的
最大值是（ ） A ．16-
B ．13-
C ．6-
D ．2
2．(本题5分)（2021·重庆市永川北山中学校）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）
A ．2sin 115
6h t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞
B ．2sin 115
6h t π
π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞
C ．2sin 16h t ππ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞
D ．2sin 16h t ππ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，[)0,t ∈+∞
3．(本题5分)（2021·广东·珠海市实验中学）在ABC 中，1AB AC ==，AB AC ⊥，点M ，
N 为ABC 所在平面内的一点，且满足2AM AC AB →→→
=-，1MN →
=，若AN AB AC λμ→→→
=+，
则λμ+的最大值为（ ）
A 1
B 1
C
D ．1
4．(本题5分)（2021·上海·）若24
sin 3
k x x k -=+，则k 的取值范围是（ ） A ．13,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
C ．()3,-+∞
D ．()1,33,2⎛
⎤-∞--- ⎥⎝
⎦
5．(本题5分)（2021·吉林·梅河口市第五中学（理））已知点,024A π⎛⎫
⎪⎝⎭
在函数
()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6
x π=
是函数()f x 图
像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（ ）
A ．6π
B ．4
π C ．3π
D ．
23
π
6．(本题5分)（2021·全国·）在ABC 中，已知()2
sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1
tan 3
θ=
（其中π
02θ<<），若112tan tan tan A B C
++为定值，则实数λ的值是（ ）
A B C D 7．(本题5分)（2020·全国·）已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论正确的是（ ）
A ．函数图像关于4
x π=
对称
B ．函数在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．若()()124f x f x +=，则()1222
x x k k Z ππ+=+∈
D ．函数()f x 的最小值为2-
8．(本题5分)（2020·浙江·台州市新桥中学）已知,x y R +∈，满足21x y +=，则x 的最小值为（ ）
A ．45
B ．
25
C ．1 D
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2020·江苏·海安高级中学）下列函数()f x 对任意的正数1x ，2x ，3x 满足123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++的有
A ．()42sin f x x =+
B ．()f x =
C ．()x f x e =
D ．()ln(1)f x x =+
10
．(本题5分)（2021·江苏扬州·）已知函数()|||cos |f x x x +，下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 在2
7[,]3
6
ππ上单调递减 B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数
C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根
D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点
11．(本题5分)（2021·江苏如皋·）已知函数()y f x =满足：对于任意实数,R x y ∈，都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=，且(0)0f =，则（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 是周期函数
C ．R,()1x f x ∀∈≤
D ．()f x 在ππ
[,]22
-上是增函数
12．(本题5分)（2021·全国·）已知函数()sin 2f x x h =-，()f x 在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上的最大值为M ，
则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．()f x 最小正周期为2
π B ．M 有最大值
C ．M 有最小值
D ．()f x 图象的对称轴是直线：
()24
k x k Z ππ
=
+∈
三、填空题(共20分)
13．(本题5分)（2021·上海市实验学校）若[],x ππ∈-，则函数()
f x 的值域为
__________.
14．(本题5分)（2020·全国·）函数()3sin 2f x x x =-[]()0,2x π∈的所有零点之和为_________.
15．(本题5分)（2021·全国·（文））已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6
π
-
对称，若()f x 在区
间14(,)333
ππ
上单调，则ω的最大值是___________.
16．(本题5分)（2020·上海市奉贤中学）在△ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 022πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.若112
tan tan tan A B C
++为定值，则实数λ=_________.
四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2020·全国·）已知点P 是曲线()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><上的一个最高点，且(9)(9)f x f x -=+，x ∈R ，曲线在(1,9)内与x 轴有唯一一个交点，求函数()f x 的解析式.
18．(本题10分)（2021·江西·新余四中）已知函数
()()
2cos 02,02f x x πωϕωϕ⎫=+<<<<⎪⎭． 请在下面的三个条件中任选两个解答问
题．△函数()f x 的图象过点(0,；△函数()f x 的图象关于点12⎛ ⎝对称；△函数()
f x 相邻两个对称轴之间距离为2． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若12,x x 是函数()f x 的零点，求()12cos
2
x x π
+的值组成的集合；
（3）当 ()2,0a ∈-时，是否存在a 满不等式32()2f a f a ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭？若存在，求出a
的范围，若不存在，请说明理由.
19．(本题10分)（2021·河南洛阳·）已知函数4
4()2sin cos 2222
x x x x
h x =+． （1）若将函数()h x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变），再将向左平
移
3
π
个单位，得到函数()f x 图象，求函数()f x 的解析式； （2）设()32cos 2(0)6g x m m x m π⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，满足对于任意10,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
都存在20,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()12f x g x =成立？
20．(本题10分)（2021·江苏如皋·）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180︒而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设BAO θ∠=，02
πθ<<
圆锥的侧面积为S cm 2.
（1）求S 关于θ的函数关系式； （2）为了达到最佳观赏效果，要求2sin 24S
k θπ=
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
最大，求k 的最大值并求此时腰AB 的
长度.
21．(本题10分)（2020·全国·（文））如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x △[0,4]的图象，且图象的最高点为S
；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定△MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
22．(本题10分)（2021·广东实验中学）已知函数()sin()0,||,24f x x x ππωϕωϕ⎛
⎫=+>≤=- ⎪⎝
⎭
为
()f x 的零点，4
x π=
为()f x 图象的对称轴．
（1）若()f x 在[0,2]π内有且仅有6个零点，求()f x ； （2）若()f x 在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，求ω的最大值．
23．(本题10分)（2021·上海·）如图所示，点P 在圆221x y +=的一段圆弧AB 上，设
06AOP παα⎛
⎫∠=<≤ ⎪⎝
⎭.
（△）若2
POB π
∠=
，求OA OB +的取值范围；
（△)设2
3
AOB π∠=，过点P 的直线l 与x 轴垂直交于M 点，设曲边多边形BPMO 的面积为
()f α；
（△）求函数()f α的解析表达式；
（△）若不等式()122f m ααα>-++恒成立，求实数m 的取值范围.。