人教A版高中必修二试题第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系
的直线与另一个平面垂直
二面角二 范围 面： 角[的0°平，面18角0°]
专题突破
专题一 空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面． 2．空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交． 3．两个平面的位置关系：平行、相交．
[例 1] 下面四个命题中，正确命题的个数是( )
如上图，AB∥平面 CDD′C′，BB′∥平
③ × 面 CDD′C′，AB∩BB′＝B，即 AB 与
BB′不平行，③不正确
序号 正误
原因分析
如上图，设直线 l 是平面 ABB′A′内与 AB 平行的任一条直线，l 有无数条，即 AB 与 ④× 平面 ABB′A′内的无数条直线平行，但 AB⊂平面 ABB′A′，④不正确
[解析] ∵AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点， ∴BC⊥AC，
DBCA⊂⊥平平面面AABBCC⇒DA⊥BC
BC⊥AC
AC∩DA＝A
⇒BACF⊂⊥平平面面DDAACC ⇒
BC⊥
AF⊥DC
BC∩DC＝C
⇒ABFD⊥⊂平平面面DDCCBB⇒ BD⊥AF
BD⊥AE
AF∩AE＝A
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行 平面与平面平行
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行
平面与平面之间的位置关系
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
平面与平面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线
[例2] (2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平 面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是 AP，AD的中点．
高中数学人教新课标A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定
高中数学人教新课标A版必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定选择题下列条件中，能使直线m⊥平面α的是（）A.m⊥b，m⊥c，b?α，c?αB.m⊥b，b∥αC.m∩b＝A，b⊥αD.m∥b，b⊥α【答案】D【解析】对于选项A：如果直线b，c不相交，则m不一定垂直于平面α；对于选项B：显然不正确；对于选项C：显然不正确。
故答案为：D.直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，A中没有说明两条直线相交，D中两条平行直线中一条与一个平面垂直，则另一条也与平面垂直。
选择题下列说法中正确的个数是（）①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A.4B.2C.3D.1【答案】B【解析】对于①②，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的。
故答案为：B.要使直线与平面垂直，则要求直线与平面内的任意一条直线都垂直，故①②不正确；③④是正确的。
选择题垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（）A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定【答案】A【解析】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确．故答案为：A.直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A 正确。
选择题如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面．其中正确结论的个数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由正方体的性质得，BD∥B1D1 ，结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，所以①正确；由正方体的性质得AC ⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得AC1⊥BD，所以②正确；由正方体的性质得BD∥B1D1 ，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1 ，同理可得AC1⊥CB1 ，进而结合线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面CB1D1 ，所以③正确.故答案为：Ｄ．由正文体的结构特征,结合直线与平面平行与垂直的判定定理得知①②③正确。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
06 高中数学人教a版必修2第二章点直线平面之间的位置关系(含解析)
试卷第1页，总13页绝密★启用前06+高中数学人教a 版必修2第二章点直线平面之间的位置关系（含解析）一．选择题（共3小题）1．如图，面ABC ⊥α，D 为AB 的中点，|AB |=2，∠CDB=60°，P 为α内的动点，且P 到直线CD 的距离为，则∠APB 的最大值为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ﹣BCD ．则在三棱锥A ﹣BCD 中，下列命题正确的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC3．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有（ ）A ．3对B ．2对C ．1对D ．0对二．填空题（共9小题）试卷第2页，总13页4．如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC=2a ，BB 1=3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF= 时，CF ⊥平面B 1DF ．5．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值等于 ．6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的点，PA 垂直于⊙O 所在平面AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此 ⊥平面PBC （请填图上的一条直线）7．如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的值等于 ．。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。
人教A版高中必修二试题第二章《点、直线、平面之间的位置关系》.doc
必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题（时间：60分钟，满分：100分）班别 座号 姓名 成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为A 、030B 、045C 、060D 、0904. 给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 86. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心7.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C DA 1B 1C 1D 1C 1—BD —C 的大小为（ ）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）9008.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α, a//b 则 a//αC 、若a//α,α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。
《第二章 点、直线、平面之间的位置关系》试卷及答案_高中数学必修2_人教A版
《第二章点、直线、平面之间的位置关系》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在空间直角坐标系中，点A的坐标为（1，2，3），点B的坐标为（4，5，6），则线段AB的中点坐标是：A.（2.5，3.5，4.5）B.（2，3，4）C.（3，4，5）D.（5，6，7）2、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），点B（4，5，6），若直线l通过点A且垂直于向量AB，则直线l的方程可以表示为（）A. x + y + z = 10B. x + 2y + 3z = 10C. x + 2y + 3z = 0D. x - 2y + 3z = 03、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为棱AB和BB1的中点，点G为棱A1B1的中点，则直线EF和直线CG的位置关系是（）A、平行B、相交C、异面D、垂直4、在三维空间中，若点A（1,2,3），点B（4,5,6），点C（7,8,9）不共线，且直线l同时垂直于直线AB和BC，则直线l的方向向量是（）A. （1,1,1）B. （3,3,3）C. （6,6,6）D. （3,2,1）5、在空间直角坐标系中，若点A的坐标为(1, 2, 3)，点B的坐标为(-2, 1, 0)，则直线AB的方向向量可以表示为：A. (3, -1, 2)B. (1, -2, -3)C. (3, 2, -1)D. (2, 3, 1)6、已知在长方体(ABCD−A1B1C1D1)中，下列哪一组的两条直线是异面直线？A、直线(A1D1)和直线(BC)B、直线(A1B1)和直线(BD)C、直线(AD)和直线(A1B1)D、直线(A1D)和直线(BC1)7、在空间中，已知直线AB和CD不平行，且它们的交点为F，点E既不在直线AB 上，也不在直线CD上。
若点G是直线AB上的一点，点H是直线CD上的一点，且点E、点G、点H三点共面，则下列说法错误的是（）A、直线EF和CH可能互相平行．B、直线EG和CH可能互相垂直．C、直线EF和GH可能互相垂直．D、直线EG和GH可能互相垂直．8、若一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内任何直线的关系是：A)平行B)垂直C)异面D)平行或异面二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列命题中，正确的是（）。
高一数学人教a版必修二_习题_第二章_点、直线、平面之间的位置关系_2.2.2_word版有答案
高一数学人教a版必修二_习题_第二章_点、直线、平面之间的位置关系_2.2.2_word版有答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线a与平面α平行，则必有()A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行解析：对选项A、B，显然没有考虑异面垂直的情形，实际上，在α内会存在无数条与a垂直的直线，且它们相互平行．据平行公理知在α内有无数条直线与a平行，故选项C错D正确，故选D.答案： D2．(2015·北京市房山区高二(上)期中)若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β解析：MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因为平面β过直线BC，若平面β过直线MN，则MN⊂β.若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理MN∥β，故选C.答案： C3．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m⊂α，n⊂α且直线m与n相交，a⊂β，b⊂β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m ∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.答案： B4．已知两个不重合的平面α、β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．①B．②C ．①③D ．③解析： ①中，若三点在平面β的两侧，则α与β相交，故不正确．②中，α与β也可能相交．③中，若把两异面直线l 、m 平移到一个平面内，即为两相交直线，由判定定理知正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列四个说法：①OM ∥面PCD ；②OM ∥面PBC ；③OM ∥面PDA ；④OM ∥面PBA .其中正确说法的个数是____________．解析： ∵OM ∥PD ，OM ⊄面PCD ，OM ⊄面PAD ， ∴OM ∥面PCD ，OM ∥面PAD . 答案： 26．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题． ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c a ⊄α⇒a ∥α. 其中正确的命题是________．(填序号)解析： ①显然正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③忽略了a ⊂α的情形；④显然正确． 答案： ①④7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________． 解析： 如图．AB ∥CD ∥EF 且AB ＝CD ＝EF ，则α∥β或α∩β＝l . 答案： 平行或相交三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC .证明：连接BD与AC相交于点O，连接MO，∵O为BD的中点，又M为PB的中点，∴MO∥PD.又∵MO⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，∴PD∥平面MAC.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.10.如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是()A．OQ∥平面PCDB．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCDD．CD∥平面PAB解析：因为O为▱ABCD对角线的交点，所以AO＝OC，又Q为PA的中点，所以QO∥PC.由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面PAB，故D正确，选C.答案： C11.如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中，正确命题的序号是________．解析：展开图可以折成如图(1)所示的正方体．在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN.因为AN⊂平面DE，BM⊄平面DE，所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图(3)所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．答案：①②③④12.如图所示，三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点．求证：平面DEF∥平面SAB.证明：因为D，E分别是AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.因为DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以DE∥平面SAB.同理DF∥平面SAB.又因为DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF.所以平面DEF∥平面SAB.13.(2015·开封实验高中月考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)当BC 1∥平面AB 1D 1时，求证：平面BC 1D ∥平面AB 1D 1. 解析： (1)A 1D 1D 1C 1＝1.证明如下：如图，此时D 1为线段A 1C 1的中点，连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由棱柱的定义知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点． 在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， 所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1， 所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)证明：由(1)知，当BC 1∥平面AB 1D 1时，点D 1是线段A 1C 1的中点，则有AD ∥D 1C 1，且AD ＝D 1C 1， 所以四边形ADC 1D 1是平行四边形． 所以AD 1∥DC 1.又因为DC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1， 所以DC 1∥平面AB 1D 1. 又因为BC 1∥平面AB 1D 1，BC 1⊂平面BC 1D ，DC 1⊂平面BC 1D ，DC 1∩BC 1＝C 1， 所以平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.。
高一数学人教a版必修二_习题_第二章_点、直线、平面之间的位置关系_2.1.4_word版有答案
高一数学人教a版必修二_习题_第二章_点、直线、平面之间的位置关系_2.1.4_word版有答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定解析：如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交．答案： C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．答案： D3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．答案： B4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，所以n∥a.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D 相交，故②错误．答案：①②6．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．答案：77．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.解析：对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．答案：①⑤三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解析：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解析：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间位置关系》(内含解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含解析）一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．如图2342，P A⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()图2342A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．P A⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面P AD，又BA⊥平面P AD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为P A⊥矩形ABCD，所以P A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面P AD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为P A⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得P A⊥BD.故选A.【答案】A5．如图2343所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2343A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图239【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2311，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .图2311【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .9．如图2312所示，三棱锥ASBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2312【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.10．(2015·淮安高二检测)如图2313，四棱锥SABCD的底面ABCD 为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2313①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2314，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.图2314【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。
人教A版高中必修二试题第二章 点、直线、平面之间的位置关系.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章 点、直线、平面之间的位置关系A 组一、选择题1．设 α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则 α⊥β．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行(第2题)④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面 α 内，则l∥α②若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是()．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为()．A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°]D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 ．12．P 是△ABC 所在平面 α 外一点，过P 作PO ⊥平面 α，垂足是O ，连P A ，PB ，PC ． (1)若P A ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的 心； (2)P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的 心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心； (4)若P A ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的 点； (5)若P A ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的 线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．14．直线l 与平面 α 所成角为30°，l ∩α＝A ，直线m ∈α，则m 与l 所成角的取值范围 是 ．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 ．16．直二面角 α－l －β 的棱上有一点A ，在平面 α，β 内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂α，AC ⊂β，则∠BAC ＝ ．三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为 θ，猜想 θ 为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)J(第13题)(第17题)18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)(第18题)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组一、选择题1．D解析：命题②有反例，如图中平面 α∩平面 β＝直线n，l⊂α，m⊂β，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面 α 不垂直平面β， (第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与 α 无公共点，l与平面 α 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．(第5题) 6．B解析：设平面α 过l1，且l2∥α，则l1上一定点P与l2确定一平面β ，β 与α 的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°．8．D解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B解析：因为①②④正确，故选B ． 10．A解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ． 则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直，∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面 α 所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在 α 内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36． 解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝θ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23， 在Rt △DEO 中，sin θ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23． (3)当 θ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题) 又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯， ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6． ∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)马鸣风萧萧。
人教A版高中必修二试题第二章 点、直线、平面之间的位置关系
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )． A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 2＝1，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )．A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 3．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )． A ．可能没有B ．至少有一个C ．只有一个D ．有无数个4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）．A ．菱形B ．梯形C ．正方形D ．空间四边形5．已知 m ，n 为异面直线，m ⊂平面 α，n ⊂平面 β，α∩ β＝l ，则( )． A ．l 与m ，n 都相交 B ．l 与m ，n 中至少一条相交C ．l 与m ，n 都不相交D ．l 只与m ，n 中一条相交6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．如果平面 α 外有两点A ，B ，它们到平面 α 的距离都是a ，则直线AB 和平面 α 的位置关系一定是( )．A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )． A ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n B ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βD ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β9．平面 α∥平面 β，AB ，CD 是夹在 α 和 β 之间的两条线段，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与 α 的关系是( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定10．平面 α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面 α，β所成的角分别为4π和6π，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B′，则AB ∶A ′B ′ 等于( )．A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB ，CD 所成角的大小为 ．12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是 ．13．如图，AC 是平面 α 的斜线，且AO ＝a ，AO 与 α 成60º角，OC ⊂α，AA ′⊥ α 于(第12题)AB CA 1B 1C 1EFDCAB(第11题)(第10题)A ′，∠A ′OC ＝45º，则点A 到直线OC 的距离是 ．(第13题)14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为 ．15．已知a ，b 为直线，α 为平面，a ∥α，b ∥α，对于a ，b 的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交． 其中可能成立的有 个．三、解答题16．正方体AC 1的棱长为a ． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)设P 为D 1D 中点，求点P 到平面ACC 1A 1的距离．17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：(1)P A ∥平面BDE ； (2)BD ⊥平面P AC ．POEC DBA(第17题)18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．19．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； (2)求证：BD 1⊥平面ACB 1； (3)求三棱锥B -ACB 1体积．20. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AC AE ＝ADAF＝λ(0＜λ＜1)． (1)求证：不论 λ 为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当 λ 为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？D 1C 1B 1A 1CD BA(第19题)(第18题)(第20题)参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ． 又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°． 7．C解析：当A ，B 两点在 α 同侧时，直线AB 和平面 α 平行；当A ，B 两点在 α 异侧时，直线AB 和平面 α 相交．8．B解析：对于A ，α⊥β，m ⊥α，n ∥β，m ，n 可以不垂直； 对于C ，m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，α，β 可以不垂直； 对于D ，α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ， n ，β 可以不垂直． 9．A解析：设A ，C ∈α，B ，D ∈β，① 若AB ，CD 共面，∵α∥β，∴ AC ∥BD . ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ EF ∥AC ，且EF ⊄α，AC ⊂α，∴ EF ∥α．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交 α 于M ，交 β 于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄α，AM ⊂α，∴ EF ∥α．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos6π＝32a ，BB ′＝a cos 4π＝22a ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1． 二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5． 13．414a ． 解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ，ABCOA ′(第13题)(第10题)AB CA 1B 1C 1EFG (第12题)点A 到直线OC 距离是AB ． 依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ． ∴ AB ＝16243+a ＝414a ． 14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为 2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21． ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥α，b ∥α 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立．三、解答题16． 证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ， ∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ．又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1． (2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线． ∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ， ∴ P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形，A BC A 1B 1C 1P · DD 1O(第16题)POECDBA(第17题)∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ BD ⊥平面P AC ．18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 又PD ∩DC ＝D ， PD ，DC ⊂平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ．∵ PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．(2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ，则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍，由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ． 又 ∴ 平面PBC ∩平面PCD ＝PC ， ∴ DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2． (方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°． 由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体积V ＝31S △ABC ·PD ＝31．∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ． 又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝22DC PD +＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22． (第18题)(第18题)∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴31S △PBC ·h ＝V ＝31，得h ＝2． 故点A 到平面PBC 的距离等于2．19．(1)证明：∵ AC ⊥BD ，又BB 1⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ， ∴ BB 1⊥AC . BD ∩BB 1＝B ，∴ AC ⊥平面B 1 D 1DB ． (2)证明：由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ， ∵ BD 1⊂平面B 1D 1DB ，∴ AC ⊥BD 1． ∵ A 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1B 1BA ， ∴ A 1D 1⊥AB 1．又 ∵ A 1B ⊥AB 1且A 1B ∩A 1D 1于A 1， ∴ AB 1⊥平面A 1D 1B ． ∵ BD 1⊂平面A 1D 1B ， ∴ BD 1⊥AB 1， 又 ∴ AC ∩AB 1＝A ， ∴ BD 1⊥平面ACB 1．(3)解：(方法1)C BB A ACB B V V 11＝--＝31×1×(21×1×1)＝61．(方法2)1ACB B V -＝21(31V 正方体)＝61． 20．(1)证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD ． ∵ CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC ． 又AC AE ＝ADAF＝λ(0＜λ＜1)， ∴ 不论 λ 为何值，恒有EF ∥CD ， ∴ EF ⊥平面ABC ． ∵ EF ⊂平面BEF ， ∴不论 λ 为何值总有平面BEF ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD ．∴ BE ⊥AC ．∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴ BD ＝2，AB ＝6，AC ＝7． 由△ABC ∽△AEB ，有AB 2＝AE ·AC ，从而AE ＝76．∴ λ＝AC AE ＝76．(第20题)6故当 ＝时，平面BEF⊥平面ACD．7。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质习题
16．如图，在长方体 AC1 中，已知 AB＝ BC＝ a，BB 1＝ b（b＞ a），连结 BC1，过 Bl 作 B1⊥BC1 交 CC1 于 E，交 BC1 于 Q，求证： AC ⊥平面 EBlD1
17．如图在△ ABC 中，已知∠ ABC＝ 90°， SA⊥△ ABC 所在平面，又点 A 在 SC 和 SB 上的射影分别 是 P、 Q．
其中，正确的命题有（
）
A ．1 个 B ．2 个 C． 3 个 n 4 个
6．在下列四个命题中，假命题为（
）
A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C．过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
又∵ AQ⊥ SC，
∴由三垂线定理的逆定理可得 PQ⊥ SC．
18．证明：∵ PO⊥α， PE＝ PF ， ∴ OE＝ OF ，
又∵ PE⊥ AB、 PF⊥ AC，
∴ OE⊥ AB、 OF ⊥ AC．
故 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF ，
∴∠ BAO＝∠ CAO ．
19．证明：如图，在点 P 和直线 a 所在的平面β内，过点 P 作直线 a 的垂线 b，设垂足为 A．设过点 P 与 β垂直的直线为 c，则必有 c⊥a，再设由 b、 c 确定的平面为α，则必有 a⊥α．
11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有
____________个．
12．如图，正方形 ABCD ，P 是正方形平面外的一点， 且 PA⊥平面 A BCD 则在△ PAB、△ PBC、△ PCD 、
人教A版高中必修二试题第二章 点、直线、平面的位置关系
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第二章 点、直线、平面的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及性质一、直线与平面垂直的判定及性质 （A ）1．如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO ⊥平面ABCD ，O 为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° [答案] C2．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255 C.155 D.105[答案] D3．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° [答案] D4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是________．①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥BD ； ③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成的角为60°. [答案] ④5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点． （1）证明：PB //平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。
因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB//平面ACM 。
（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC 。
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )．
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
2．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 2＝1
，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )．
A ．51
B ．52
C ．53
D ．5
4 3．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )．
A ．可能没有
B ．至少有一个
C ．只有一个
D ．有无数个
4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）．
A ．菱形
B ．梯形
C ．正方形
D ．空间四边形
5．已知 m ，n 为异面直线，m ⊂平面 α，n ⊂平面 β，α∩ β＝l ，则( )．
A ．l 与m ，n 都相交
B ．l 与m ，n 中至少一条相交
C ．l 与m ，n 都不相交
D ．l 只与m ，n 中一条相交
6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为( )．
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7．如果平面 α 外有两点A ，B ，它们到平面 α 的距离都是a ，则直线AB 和平面 α 的位置关系一定是( )．
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．AB ⊂α
8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．
A ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n
B ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n
C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥β
D ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β
9．平面 α∥平面 β，AB ，CD 是夹在 α 和 β 之间的两条线段，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与 α 的关系是( )．
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．不能确定。