2012年高考湖北理科数学试卷解析(教师版)

【试卷总评】
试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21、22题分别从三角函数、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查.第14与15题考查了选学讲内容，试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1. 方程2x+6x +13 =0的一个根是( )
A -3+2i
B 3+2i
C -2 + 3i
D 2 + 3i
2. 命题“∃x0∈C R Q，30x∈Q ”的否定是( )
A ∃x0∉C R Q，30x∈Q
B ∃x0∈
C R Q ，30x∉Q
C ∀x0∉C R Q ，30x∈Q
D ∀x0∈C R Q ，30x∉Q
3. 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示，则它与X轴所围图形的面积为( )
A.
25π B.43 C.32 D.2
π 【考点定位】本小题考查利用定积分求平面图形的面积问
题,不难.定积分是理科生高考的热点分问题之一,几乎年年必考,熟练其基础知识是解决好本类题目的关键. 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.
83π B.3π C. 103
π D.6π 【答案】B
【解析】由三视图可知, 该几何体为一底面半径为1且高为2的圆柱与一圆锥组合而成,所以其体积为23πππ+=,故选B.
【考点定位】本小题考查立体几何中的三视图.三视图是新课标新增内容,是高考的重点和热点,年年必考,一般以选择或填空题的形式出现,经常与表面积、体积相结合来考查. 5.设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 【答案】D
【解析】因为512012的个位数是1, 且a ∈Z ， 0≤a ≤13，512012+a 能被13整除，所以12a =,故选D.
【考点定位】本小题考查整除问题,属中档题.
6.设a,b,c,x,y,z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则
a b c
x y z
++=++( )
俯视图
侧视图
2 正视图
第4题图
4
2 4
2
A.
14 B. 13 C. 12 D,34
【答案】C 【解析】由于
222222)())((2
cz by ax z y x c b a ++≥++++,等号成立当且仅当
,t z
c
y b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t ,所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t z
y x c b a z y x c b a z c y b x a 所以，答案选C. 【考点定位】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x ²；②f （x ）=2x ；③
；④f （x ）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A. 2
1π
-
B.
112π-. C. 2π D. 1
π
9.函数f （x ）=2
cos x x 在区间[0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C
【解析】令f （x ）=2
cos x x =0得0x =或2
cos x =0,解得0x =或2
,2
x k k z π
π=+
∈,
因为x ∈[0,4],所以0x =、2π、32π、52π、72π、92
π，共有6个零点，故选C.
【考点定位】本小题考查函数的零点求解.函数的零点即方程()0f x =的根,是高考的热点问题之一,年年必考,掌握求函数零点的几种方法(解方程法、画图象法等).
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3
16
9
d V ≈
人们还用过一些类似的近似公式。

根据x=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A ．3
169d V B ．3
2d V ≈ C ．3300157d V ≈
D ．32111
d V ≈【答案】D 【解析】
33
466b 69()d ,,===3.37532b 16
616157611
==3==3.14,==3.142857230021
d V a V A a B D ππππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，
中代入得，C 中代入得中代入得，
由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。

【考点定位】本小题考查球的有关问题.球问题也是高考的一个重点问题之一,熟练球的基础知识是解决好本题的关键.
二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）
11.设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若（a+b-c ）（a+b+c ）=ab ， 则角C=______________.
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.
【答案】9
【解析】当1,1a n ==时,计算出的1s =;当3,2a n ==时,计算出的4s =;当5,3a n ==时,计算出的9s =,此时输出的结果s=9.
【考点定位】本小题考查框图的基本知识.框图是高考的热点内容之一,年年必考,经常以选择或填空题的形式出现一个,难度不大,熟练基本算法以及算到哪一步是解决好本类问题的关键.
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。

如22，,11,3443,94249等。

显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
（Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N +）位回文数有______个。

14.如图，双曲线22
22 1 (,0)x y a b a b -=>的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为
F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D.则
（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；
（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值
1
2
S S =_________.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。

）
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________.
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线π
4
θ=
与曲线2
1,
(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ，(cos sin ,3)x x x ωωω=--b ，设函数
()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1
(,1)2ω∈.
（1） 求函数f （x ）的最小正周期； （2） 若y=f （x ）的图像经过点(
,0)4
π
,求函数f （x ）在区间3[0,
]5
π
上的取值范围. 【解析】（1）因为22
()sin cos 23cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
=cos 232x x ωωλ-++=2sin(2)6
x π
ωλ-
+，所以
由直线直线x=π是()y f x =图象的一条对称轴，可得sin(2)16
x π
ω-=±，
所以2),62x k k z ππ
ωπ-
=+
∈，即1,23k k z ω=
+∈，又因为1
(,1),2
k z ω∈∈，
所以1k =，故5
6
ω=，所以()f x 的最小正周期是65π.
(2)由()y f x =的图象过点(
,0)4π
,得()04
f π
=,
即52sin()2sin 26264πππλ=-⨯
-=-=-,即2λ=-,故()f x 52sin()236x π
=--, 由305x π≤≤得556366x πππ-≤-≤,所以15sin()1236
x π
-≤-≤,
得5122sin()22236x π
--≤--≤-,
所以()f x 在区间3[0,]5
π
上的取值范围为[12,22]---.
【考点定位】本题考查三角函数的化简与求值,考查三角函数的基本性质等基础知识,考查考生分析问题与解决问题的能力. 18.（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8. （1）求等差数列{a n }的通项公式；
（2）若a 2,a 3,a 1成等比数列，求数列{}
n a 的前n 项的和.
【考点定位】本小题考查等差数列的通项公式的求解,考查等比数列等基础知识,考查分类讨论的数学思想方法,考查同学们运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
19.（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示）， （1）当BD 的长为多少时，三棱锥A-BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小
【解析】
（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．
由AD BC ⊥，45ACB ∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-.
由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D =，
所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠=，所以11
(3)22
BCD S BD CD x x ∆=
⋅=-．于是 1111
(3)(3)2(3)(3)33212
A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--
3
12(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，
故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． 解法2：
同解法1，得321111
(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+．
令321()(69)6f x x x x =-+，由1
()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．
当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．
故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．
由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==．
于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1
(,1,0)2E ，
且(1,1,1)BM =-．
设(0,,0)N λ，则1
(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=，即
11
(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N .
所以当1
2
DN =
（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥． 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,
,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-，
得2,
.y x z x =⎧⎨=-⎩
可取(1,2,1)=-n ．
设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11
(,,0)22EN =--，(1,2,1)=-n ，可得
1|1|
sin cos(90)||||6EN EN θθ--⋅=-===
⋅n n 60θ=．
故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.
图a
图b
C
A
D B
E F
M
N
图c
B
D
P
C
F N
E
B
G
M N E
H
图d
第19题解答图
连接MN，ME，由计算得
5 NB NM EB EM
====
所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，
则BM⊥平面EGN．在平面EGN中，过点E作EH GN
⊥于H，则EH⊥平面BMN．故ENH
∠是EN与平面BMN所成的角．
在△EGN中，易得
2
EG GN NE
===，所以△EGN是正三角形，
故60
ENH
∠=，即EN与平面BMN所成角的大小为60.
【考点定位】本小题考查空间线线与线面的位置关系,考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力.
20．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6[来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。

【解析】
（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=，
(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.
所以Y 的分布列为：
于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；
2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.
21.（本小题满分13分）
设A 是单位圆x 2
+y 2
=1上的任意一点，i 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线i 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨（m>0,且m ≠1）。

当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。

（I ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的k>0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。

【解析】
（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，
可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01
||||y y m
=
. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②
Y 0 2 6 10 P
0.3
0.4
0.2
0.1
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2
2
2 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且.
因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以
当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(1,0)m --，2(1,0)m -； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(0,1)m --，2(0,
1)m -.
（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，
直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.
依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122
244k x x x m k -+=-+，即21
222
4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21
21222
224km x y kx kx m k -==+.
于是11(2,2)PQ x kx =--，2211
2121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++.
而PQ PH ⊥等价于222
122
4(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+，
即220m -=，又0m >，得2m =，
222221212()()0m x x y y -+-=. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得
212121212()()
()()
y y y y m x x x x -+=--+. ④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112
112
2y y y x x x +=
+. 于是由④式可得2
11212121121212()()12()()2
PQ PH
y y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=-
--+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH
k k ⋅=-，即212
m -=-，又0m >，得2m =，
故存在2m =，使得在其对应的椭圆2
2
12y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
【考点定位】本小题考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识,考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力. 22.(本小题满分14分)
（I ）已知函数f （x ）=rx-x r +（1-r ）（x>0），其中r 为有理数，且0<r<1.求f （x ）的最小值； （II ）试用（I ）的结果证明如下命题：
设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数，若b 1+b 2=1，则a 1b1a 2b2≤a 1b 1+a 2b 2；
（III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。

注：当α为正有理数时，有求道公式(x α
）r =αx
α-1
综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②
121111111
2
k k k k b b b b b b k
a
a
a
+++---≤12
1211
1
111k
k k k k b b b a a a b b b +++⋅
+⋅+
+⋅
---11
2211k k k a b a b a b b ++++=-， 从而11
212
1
k k b b b b k k a a
a a
++≤1
1
11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪
-⎝⎭
.
又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得
1
1
11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫
+++ ⎪
-⎝⎭
11221111
(1)1k k
k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤
⋅-+-
112211k k k k a b a b a b a b ++=++
++，
从而112
12
1k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++
++.
故当1n k =+时，③成立.
由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.
说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立，则后续证明中不需讨论1n =的情况. 【考点定位】本小题考查导数的应用、数学归纳法，分类讨论等知识，才查同学们分类讨论等数学思想，考查了同学们分析问题和解决问题的能力。