生物统计课件第8章 多元线性回归和相关

多元线性回归方程的建立
多元线性回归中，自变量x个数有k个(k≥2)n组，设 x1、 x2、…、 xk为自变量观测值，y为因变量观测值， 则一个k元线性回归的数学模型为：
y 0 1x1 2x2 k xk
式中k>1，β0为截距， β1~ βk为偏回归系数，ε为 随机误差，服从N(0,σ)的正态分布 。
逐步回归与通径分析 在DPS中输入数据，选择数据：
逐步回归与通径分析 点击菜单多元分析→回归分析→逐步回归，弹出对 话框：
已经引入方程的变量为x1、x2、x3，调整的R为 0.94804
逐步回归与通径分析 按yes，则引入变量x4，结果：
已经引入方程的变量为x1、x2、x3、x4，调整的R为 0.94473<0.94804，因此不能引入x4，需要剔除。
引入6个变量时的最优回归方程：
X4、X6对Y卵巢重的影响非常显著(p<0.01)，X2 的影响也显著(p<0.05)，而X1、X3、X5对Y的而影响 不显著(p>0.05)，得到回归方程（略） 决定系数R2=0.9822（略高于引入4个自变量时的 0.9820），回归关系经方差分析，F=128.4913，p=0， 非常显著。
简单的相关系数与偏相关系数会差别很大， 符号也存在正负差异。
简单的相关系数往往不能反应两个变量之 间的真实的线性相关关系，而偏相关系数消 除了其他变量的取值的影响，反映两个变量 的真实关系。

逐步回归与通径分析
在实际研究中，影响y的因素有很多，这些因素之 间可能存在多重共线性问题，如温度和雨量、雨量 与雨日之间的关系。逐步回归分析就是一种自动从 大量变量中选择对建立回归方程比较重要的方法， 它是建立在多元线性回归的基础上派生出来的一种 更算法技巧。
用DPS解题： （3）结果： 引入1个变量时的最优回归方程：
X5空壳重对Y卵巢重的影响最显著（p=0），优先 引入方程，得到回归方程 y 7288.9484 29.0172x5 决定系数R2=0.9283，回归关系经方差分析， F=245.8777，p=0，非常显著。
引入2个变量时的最优回归方程：
结果：
y平均数的置信区间、y观测值的置信区间 当x1=12.5，x2=2.5，预测y平均数的95%置信 区间与y观测值95%的置信区间：
自变量的重要性和取舍
在多元回归方程中，x1~xk个自变量对因变量y的影响 程度和对回归方程的贡献大小是不一样的。因此需要 进行取舍，去掉那些对因变量影响不显著的自变量， 建立“最优”的多元线性回归方程，这样才能对因变 量y作出有效的准确的分析、预测。
在多元线性回归分析中，较多的自变量拟合回归 方程，会使得方程稳定性差，建立的方程作为预测 的可靠性就差，精度低，因此希望得到“最优”的 回归方程，把对y影响不显著的因素剔除。
逐步回归与通径分析
逐步回归分析根据自变量对y的影响显著程度，从 大到小逐个引入方程，每次引入自变量都要进行F检 验，确保引入的自变量有新的统计意义。对y没有显 著影响的变量要从方程中剔除。
DPS法 （1）输入数据，选择数据：
（2）菜单：
（3）结果： • Pearson相关系数：
从相关系数看，所有变量之间都存在非常显著的 正相关（P<0.01) 。
（3）偏相关系数：
从偏相关系数看，年龄与绝对怀卵量正相关非常 显著，r=0.7829，p=0.0003；
其次是卵巢重， r=0.6716，p=0.0044； 然后是体长，r=-0.5962，p=0.0148，体长与怀卵 量是负相关。
X4、X6对Y卵巢重的影响非常显著(p<0.01)，优先 引入方程，得到回归方程
y 23050.0510 10513.8276x4 81.5943x6
决定系数R2=0.9470（高于引入一个自变量X5时的 0.9283），回归关系经方差分析，F=160.8874，p=0， 非常显著。
引入3个变量时的最优回归方程：
引入5个变量时的最优回归方程：
X2、X4、X6对Y卵巢重的影响非常显著(p<0.01)， X1的影响也显著(p<0.05)，优先引入方程，而X3对Y 的而影响不显著(p=0.7259)，得到回归方程（略） 决定系数R2=0.9822（略高于引入4个自变量时的 0.9820），回归关系经方差分析，F=165.1353，p=0， 非常显著。
机变量，随x1、x2、…、xm而变，受试验误差影响； σ2为相互独立且都服从的随机变量。我们可以根据
实际观测值对以及
0、1、 2、...、方 m差σ2作出估
计。
多元线性回归方程的建立
设y对x1、x2、…、 xm的元线性回归方程为：
yˆ b0 b1x1 b2 x2 bm xm
式中，b0、b1、b2、…、bm为 0、1、2、...、m的
结果： • 回归决定系数R2及方差分析：
DPS一次性操作即可给出回归方程、方差分析、 决定系数等数据，而Minitab需要两次操作。
多元相关与偏相关 多元相关，又称复相关，是y与k个x的总相关。 例 分析X1（全长）、X2（体长）、X4（年龄）、 X6（卵巢重）四个自变量与怀卵量Y的复相关系数， 并进行假设检验 在上面的结果中已经解决了这个问题：
多元线性回归和相关
多元线性回归分析的基本任务包括： •根据依变量与多个自变量的实际观测值建立依变量 对多个自变量的多元线性回归方程； •检验、分析各个自变量对依自变量的综合线性影响 的显著性； •检验、分析各个自变量对依变量的单纯线性影响的 显著性，选择仅对依变量有显著线性影响的自变量， 建立最优多元线性回归方程； •评定各个自变量对依变量影响的相对重要性以及测 定最优多元线性回归方程的偏离度等。
决定系数R2=0.9820，p=0.000，相关非常显著。
偏相关系数及其假设检验
例 分析X1（全长）、X2（体长）、X4（年 龄）、X6（卵巢重）四个自变量及怀卵量Y （总共5个变量）之间都存在不同程度线性相 关关系。当X1变化，其他变量X2、X4、X6、 Y都在变化，要消除其他变量的影响，就要保 持其他变量不变。比如，要了解X1与Y的关 系，就要保持 X2、X4、X6不变。这就要进 行偏相关分析。
最测值小y二与乘回估归计估值计。值即yb0的、偏b1、差b平2、方…和、最b小m应。使实际观
多元线性回归方程的建立
例 随机抽查某渔场16次放养记录，得到结果(单 位:kg)，要建立鱼产量（y）和投饵量（x1）、放养 量（x2）的线性回归方程，并预测x1 =12.5， x2 =2.5 时y平均数的置信区间、y观测值的置信区间。
逐步回归与通径分析 按No，则剔除变量x4，结果：
复习：一元回归和相关
一元回归分析：建立x与y之间的回归方 程，利用方程由x来预测y。
如果x与y存在相关，但不需要由x来估 计y，只需要对x与y进行相关分析。R为相关 系数，取值范围从-1到1。 R2为决定系数， 取值范围为0~1，只能反应相关程度，而不能 反应相关性质。
多元线性回归和相关
一元线性回归研究的是一个依变量与一个自变量之间的 回归问题，但是，在畜禽、水产、食品等科学领域的许多实 际问题中，影响依变量的自变量往往不止一个，而是多个， 比如绵羊的产毛量这一变量同时受到绵羊体重、胸围、体长 等多个变量的影响，因此需要进行一个依变量与多个自变量 间 的 回 归 分 析 ， 即 多 元 回 归 分 析 （ multiple regression analysis），而其中最为简单、常用并且具有基础性质的是 多元线性回归分析（multiple linear regression analysis）， 许 多 非 线 性 回 归 （ non-linear regression ） 和 多 项 式 回 归 （polynomial regression）都可以化为多元线性回归来解决， 因而多元线性回归分析有着广泛的应用。研究多元线性回归 分析的思想、方法和原理与直线回归分析基本相同，但是其 中要涉及到一些新的概念以及进行更细致的分析，特别是在 计算上要比直线回归分析复杂得多，当自变量较多时，需要 应用计算机进行计算。
p=0.0008<0.01，认为鱼产量Y与投饵量X1、放 养量X2的回归关系是非常显著的。
决定系数R2=0.668452
结果： • 回归系数及假设检验：
根据b0、b1、b2我们可以得到回归方程为：
y 4.6921 0.5965x1 3.0384x2
对b1、b2进行t检验，p分别为0.0026、0.0004， 说明投饵量X1、放养量X2对鱼产量Y的影响是非常 显著的。
X2、X4、X6对Y卵巢重的影响非常显著(p<0.01)， 优先引入方程，得到回归方程（略） 决定系数R2=0.9750（高于引入2个自变量时的 0.9470），回归关系经方差分析，F=220.7037，p=0， 非常显著。
引入4个变量时的最优回归方程：
X2、X4、X6对Y卵巢重的影响非常显著(p<0.01)， X1的影响也显著(p<0.05)，优先引入方程，得到回归 方程（略） 决定系数R2=0.9820（高于引入3个自变量时的 0.9750），回归关系经方差分析，F=218.2896，p=0， 非常显著。
多元线性回归方程的建立
多元线性回归中，自变量x个数有k个(k≥2)n组，设 x1、 x2、…、 xk为自变量观测值，y为因变量观测值：
多元线性回归方程的建立
假定因变量y与自变量x1、x2、…、xm间存在线 性关系，其数学模型为：
Y 0 1X1 2 X2 k Xk
式 中 ， x1 、 x2 、 … 、 xm 为 可 以 观 测 的 一 般 变 量 （或为可以观测的随机变量）；y为可以观测的随
对话框设置：
选项设置：
结果：
引入4个变量时决定系数R2（调整）最佳，Mallows Cp接近入选的变量数目时较好。此时引入的变量为： 全长、体长、年龄、卵巢重，与DPS是一致的。然 后可以进一步做回归分析： 菜单：统计→回归→回归
对话框：
结果： • 回归方程：
• 偏回归系数及其显著性检验：
这是一个二元线性回归问题，设y对x1、x2的线性回
归方程为： yˆ b0 b1x1 b2x2
用DPS解题： （1）输入数据与选择数据：
注意：和书上顺序不 一样，X1、X2、Y分 别在第1、2、3列， 顺序不可倒！
（2）菜单：
（3）对话框：
（4）点击“返回编辑”，即可出结果： • 方差分析表与决定系数：
结论：
引入X1（全长）、X2（体长）、X4（年龄）、 X6（卵巢重）四个自变量时最好，此时4个自变量都 对Y有显著影响（p<0.05）。建立四元回归方程：
y 25353.7038 5775.4061x1 8940.3612x2 29524.3071x4 127.1420x6
X3（体重）、空壳重（X5）没有引入方程，虽 然两者与全长、体长、年两之间有密切关系，但两者 容易受到外界环境的影响而变化，不引入回归方程也 是合理的。
例 分别测定21尾狗鱼性成熟个体的全长x1 (cm)、体 长x2 (cm)、体重x3 (g)、年龄x4 (a)、空壳重x5 (g)、 卵巢重x6 (g)和绝对怀卵量Y (粒)，试建立x1~x6与怀 卵量Y之间的最优多元线性方程
用DPS解题： （1）输入数据与选择数据：
用DPS解题： （2）菜单：
逐步回归与通径分析
通径分析是通径系数分析的简称。通径系数是自 变量偏回归系数标准化后得到的，用来表示相关变 量因果关系的统计量。
逐步回归与通径分析
例 测定“丰产3号”小麦15株的单株穗数x1、每穗 的结实穗数x2、百粒重x3、株高x4和单株籽粒产量y， 结果见下表，试建立y与xi之间的最优回归方程。
Minitab法做题 例8.1
（1）输入数据：
（2）菜单：
（3）对话框设置：
结果： （1）回归方程：
（2）偏回归系数及其显著性检验：
结果： （3）决定系数R2及方程回归显著性检验：
结果： （4）y平均数的置信区间、y观测值的置信区间：
Minitab对于y值的置信区间预测也比较方便。
例8.4 看Minitab如何对自变量进行取舍 菜单：统计→回归→最佳子集