不定积分(PPT课件)
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f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分步积分法
• 一、换元积分法 • 二、分步积分法
一、换元积分法
问题1 cos2xdx sin 2x C,
第八章 不定积分
•第一节 不定积分概念与基本积分公式 •第二节 换元积分法与分部积分法 •第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积 分
第一节 不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
பைடு நூலகம்
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
定理3 若函数与在区间上都存在原函数，为 两个任意常数，则在上也存在原函数，且
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
定理8.2 设Ｆ是f在区间Ｉ上的一个原函数，则
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C ,
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
定理8.1（原函数存在定理）：
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，那么在区间
I 内存在可导函数F ( x) ，使 x I ，都有
F (x) f (x) .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
实例
x 1
x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C
.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （Ｃ为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
问题2 x5 1 x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 x sin t dx cos tdt,
x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
sin5 t cos2 tdt
（其中k1,k2不全为零）
注：线性法则的一般形式：
n
n
(ki f (x))dx (ki fi (x)dx)
i1
i1
例1 求 p(x)dx.
其中 p(x) a0xn a1xn1 an1x an
例2
求
1 x4
1 x2
dx.
例３ 求 cos3x sin xdx
三、 小结
原函数的概念： F ( x) f ( x)
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分步积分法
• 一、换元积分法 • 二、分步积分法
一、换元积分法
问题1 cos2xdx sin 2x C,
第八章 不定积分
•第一节 不定积分概念与基本积分公式 •第二节 换元积分法与分部积分法 •第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积 分
第一节 不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
பைடு நூலகம்
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
定理3 若函数与在区间上都存在原函数，为 两个任意常数，则在上也存在原函数，且
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
定理8.2 设Ｆ是f在区间Ｉ上的一个原函数，则
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C ,
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
定理8.1（原函数存在定理）：
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，那么在区间
I 内存在可导函数F ( x) ，使 x I ，都有
F (x) f (x) .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
实例
x 1
x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C
.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （Ｃ为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
问题2 x5 1 x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 x sin t dx cos tdt,
x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
sin5 t cos2 tdt
（其中k1,k2不全为零）
注：线性法则的一般形式：
n
n
(ki f (x))dx (ki fi (x)dx)
i1
i1
例1 求 p(x)dx.
其中 p(x) a0xn a1xn1 an1x an
例2
求
1 x4
1 x2
dx.
例３ 求 cos3x sin xdx
三、 小结
原函数的概念： F ( x) f ( x)