二次函数解析几何--存在性问题

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二次函数解析几何专题——存在性问题
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、方法总结
解存在性问题的一般步骤： （1）假设点存在；
（2）将点的坐标设为参数；
（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。

二、常用公式
（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=2
212
21)()(y y x x -+- （2）中点坐标公式：121
2
,22
x x y y x y ++== （3）斜率公式：①21
21
y y k x x -=
-；②tan k θ=（θ为直线与x 轴正方向的夹角）
（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2 ②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.
题型一面积问题
例1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
变式练习：
1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
2.（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .
（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；
（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝
8
9
S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
例2：如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y=
2
1x 2
+bx-2的图象过C 点． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？
x C
O y
A B D
1 1 图2
变式练习：如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB=4，点D （2，
2
3
）在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O 是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；
例3：将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点 B (–3，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；
y x
C
B
O
A
变式练习：如图1，抛物线213
922
y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．
（1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
能力提升：
1.（2013菏泽）如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数
334
y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数21
8y x bx c =++的图像上，且该
二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？
②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？
2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；
（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，
①求t的值；
②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．
题型二：构造直角三角形
例2．（2010四川乐山）如图所示，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
变式练习： 1.函数2
18
y x =
的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．
（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
y D B M
A C
O
x
3.（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2
+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标．
4.（2012广州）如图1，抛物线233
384
y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左
侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．
三个时，求直线l 的解析式．
图1
E
5.（2013白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2
+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．
（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标； （3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．
6.（2013山西）如图1，抛物线213
442
y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
7.（2013济宁）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB 与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
8.（2013 绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BP Q是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

A B
C D
O
x y
l
题型三 构造等腰三角形
例3.如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式练习：
1.（2010四川宜宾改编）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点 B (–3，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在对称轴上是否存在一点P ，使得△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由。

y
x
C
B
O
A
2.如图，抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．
（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
3、（2014•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，-3），并经过点C （2，0）． （1）求该二次函数的解析式；
（2）直线y=3x 与该二次函数的图象交于点B （非原点），求点B 的坐标和△AOB 的面积； （3）点Q 在x 轴上运动，求出所有△AOQ 是等腰三角形的点Q 的坐标
A
C
B
y
x
0 1
1
4.如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.
能力提升：
1．（2010黄冈）已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5
4y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；
（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4
F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求
出t 值，若不存在请说明理由.
A B
C
E
D x
y o
2．如图，已知二次函数y=-x2 +bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型四构造相似三角形
例4.（2011临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式练习：
1.（2012天水）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，-2）三点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）P 是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.(2012上海宝山)如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ．
（1）试求出点D 的坐标；
（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，
并写出其顶点E 的坐标；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得
以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似．
(图7)
1
1 x
y
B
A
O
例5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
变式练习：
1．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的
负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交
于另一点C，且C点的横坐标为-1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交
于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．
能力提升：
1.（2012苏州）如图，已知抛物线y=x2 - (b+1)x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴
分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2.（2012宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且P A=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
题型五构造梯形
例6.（2008四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），
顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=
5 5
.
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
变式练习：
1.（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3
2
-=与边BC 相交于点D ． （1）求点D 的坐标；
（2）抛物线c bx ax y ++=2
经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图：二次函数b ax x y ++-=2
的图象与x 轴交于⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,21A ()0,2B 两点，且与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC ∆的形状；
（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．
A
B
C
y x
O
4. 已知，在RtOAB 中，︒=∠90OAB ，︒=∠30BOA ,2=AB 。

若以O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B 在第一象限内。

将RtOAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线()02
≠+=a bx ax y 经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，
交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

能力提升
1.如图1，二次函数)0(2
<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为
4
5． （1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2011义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线
x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
3.（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型六 构造平行四边形
例7．（2010陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。

变式练习：
1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和（2）中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．
2.已知，如图抛物线2
3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。

点B 的坐标为(1，0),OC=30B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。

是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（2012四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5
4
y x m =
+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线
2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点
B ．
（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
能力提升：
1.如图，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式及直线AC 的解析式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作x 轴的垂线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由
2.已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数3
34
y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在
正比例函数3
2
y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数
y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函
数的图像上，点D 在一次函数3
34
y x =+的图像上，且四边形
ABCD 是菱形，求点C 的坐标．
题型七线段最值问题
例8．（2012滨州）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过
A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．
（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
【变式练习】
1.（2012山西）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．
2、（2013北京模拟）.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．
例9．（2009山东省菏泽市）如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与
x 轴分别交于B (1，0)、C (5，0)两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
O y
x
A
B C
变式练习：1. （2011广东深圳）如图13，抛物线y=ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.
2、（09深圳模拟）已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标；
（2）若y=c bx x 7
362
++-
过点A 、E ，求抛物线的解析式。

（3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最
小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

A
B C O D
E y x
能力提升
1.（2011福州） 已知,如图11,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧),点H 、B 关于直线l :333
y x =+对称.
（1）求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; （2）求二次函数解析式;
（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值.
2.如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(4-．4)．将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． (1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标；
(2) 抛物线上一动点P ．设点P 到x 轴的距离为1d ，点P 到点A 的距离为2d ，试说明
211d d =+；
(3) 在(2)的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值。

A
B
K
H
x
y O
l
A
B
K
H
x
y O l
3、（12上海模拟）如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，
求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
例10.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，
与x 轴交于点D ，抛物线2
12
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线
的解析式；
（2）动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

变式练习
1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（﹣1，0），B （﹣l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c 经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE﹣QC|最大？并求出最大值．
2．（2013资阳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C（1,4），交x轴于A、B两
点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3,0）。

⑴求抛物线的解析式
⑵如图2，过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F，其中点E的横坐标为2。

若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使点D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理。