第四章数列小结复习 课件——2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述两种运算，经过
有限次步骤后，必进入1→4 →2 →1. 这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如取正整数
= 3，根据上述运算法则得出3 →10 →5 →16 →8 →4
→2 →1，共需经过7个步骤变成1（简称为7步“雹程”）.
(1) 请给出冰雹猜想的递推公式；
1 2 3 4
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列的公比，公比常用字母表示.

= ≥ 2且 ∈ ∗ .
−1
等差数列
解析
式
不同
点
相同
点
一次函数
= +
= +
∈ ∗ .
≠0 .
定义域是 ∗ ，图象 定义域是，图
是一系列孤立的点. 象是一条直线.
都是关于自变量的一次整式，
当 ≠ 0时，等差数列的图象是相应
的一次函数图象上的一系列孤立的点.
()
4
3
2
1

的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个球.
记第堆的球的总数为().
(1) 求出(3)；
(2) 求()的表达式.
1
6
其中12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = ( + 1)(2 + 1).
追问：根据图形特征，你能发现什么规律呢？
问题2：如何研究数列？
函数
一般函数
特殊函数
数列
类比
类比
一般数列
特殊数列
追问1：如何类比一般函数的研究顺序，对一般数列进行
研究？
定义
表示方法
表格
图象
通项公式
递推公式
性质
追问2：在什么情况下可以用通项公式表示数列，在什么
情况下可以用递推公式表示数列？两者有什么不同？
如果数列{an }的第项与它的序号之间的对应关系可以用
令 = ，求数列{ }的前项和 .
例2 已知等差数列{ }的前项和为 ，且满足4 = 42 ，
2 = 2 + 1（ ∈ ∗ ）.
(1) 求数列{ }的通项公式；
(2) 若数列{ }是以1为首项，3为公比的等比数列.
令 = ，求数列{ }的前项和 .
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式表示序号和项之间的对应关系.
如果一个数列相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
递推公式是表示项与项之间规律的关系.
追问1：如何类比一般函数的研究顺序，对一般数列进行
研究的？
定义
表示方法
表格
图象
通项公式
(3) 若8 = 1，求所有可能的取值集合.
+1
3 + 1，当 为奇数时,
= 1
，
当 为偶数时. 1
2
1
2
2
4
−1
− 1
，当−1 为奇数时，
=
3
2 ， 当−1 为偶数时.
4
5
8
1
2
8
16
10
16
32
64
3
20
21
128
问题2：如何求等差数列、等比数列的通项公式？
点.
()
4
3
2
1

1 2 3 4
追问2：“等差中项”、“等比中项”与“平均数”之间
有什么内在联系？
由三个数, , 组成的等差数列，叫做与的等差中项.
2 = + 即 =
+
.
2
等差中项可以看成, 的算术平均数.
追问2：“等差中项”、“等比中项”与“平均数”之间
递推公式
性质
单调性
前项和
追问3：数列的前项和公式与它的通项公式有什么关系？
由前项和的定义可知
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + −1 +
前 − 1项求和
−1
1 ，
= 1,
=
− −1 ， ≥ 2.
问题3：如何研究等差数列、等比数列？
与函数关系
等比数列
故−2 = 1 +
6 1−3−1
1−3
− 2 − 1 × 3 = −2 − 2 − 1 ∙ 3 ，
化简得 = − 1 ∙ 3 + 1.
例3 某组用高尔夫球堆叠成的“正三棱锥”形装饰品，其
中第1堆只有1层，就是一个球；第2,3,4,…堆最底层（第一
层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层
常见方法有：
1. 公式法——按照定义，直接代入首项和公差（公比）；
2. 待定系数法——设首项、公差（公比），通过方程进
行求解.
例2 已知等差数列{ }的前项和为 ，且满足4 = 42 ，
2 = 2 + 1（ ∈ ∗ ）.
(1) 求数列{ }的通项公式；
(2) 若数列{ }是以1为首项，3为公比的等比数列.
等差数列{ }
4 = 42 ，2 = 2 + 1（ ∈ ∗ ）.
解：设等差数列{ }的公差为，由已知可得
41 + 6 = 81 + 4，
1 + 2 − 1 = 21 + 2 − 1 + 1.
1 = 1，
解得
因此， = 2 − 1（ ∈ ∗ ）.
实例
定义
通项公式
性质
中项
前项和公式
应用
图象
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
等差数列： = 1 + − 1 ；
等比数列： = 1 −1 .
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
3 − 2 = ，
4 − 3 = ，
……
− −1 = ，
左右累加得
− 1 = − 1 ，
故 = 1 + − 1 .
写成 = + (1 − ) .
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
首末两项凑对，化为相同的数.
等比数列前项和——错位相减法.
乘以公比错位，作差减去相同项
= 1 × 30 + 3 × 31 + ⋯ + (2 − 1) × 3−1
1 × 31 + ⋯ + 2 − 3 × 3−1 + (2 − 1) × 3
3 =
将以上两式相减，可得
−2 = 1 + 2 × 31 + ⋯ + 2 × 3−1 − (2 − 1) × 3
等比数列{ }
1 > 0时， > 1，递增数列；0 < < 1，递减数列；
1 < 0时， > 1，递减数列；0 < < 1，递增数列.
追问3：等差数列、等比数列有许多有趣的性质，你能列
举一些吗？
任意两项
等差数列
= 1 + − 1
= + −
.
2

还可整理得
2

4
= + 1 −
.
2
2
3
2
1

1 2 3 4
追问4：推导等差数列、等比数列的前项和公式时，各用
了哪些巧妙的方法？
等比数列的前项和：
= 1 + 1 + 1 2 + ⋯ + 1 −1 .
=
1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 .
问题1：为什么说数列是一种特殊的函数？
数列{ }中的每一项 与它的序号有如下对应关系：
序号 1
2
3
↓
↓
↓
1
2
3
项
…

…
↓
…

…
所以数列{ }是正整数 ∗ （或它的有限子集{1,2,…, }）
到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是
数列的第项 ，记为 = ().
1 −
, ≠ 1，
1−
=
1 ,
= 1.

4
3
2
1

1 2 3 4
问题1：你如何理解递推公式？
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式
子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
递推公式表示项与项之间规律的关系.
例1 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；
等比数列
= 1 −1
= −
相邻三项
等间隔
三项
2 = −1 + +1
2 = − + +
< , ∈ ∗
2 = −1 +1
2 = − +
< , ∈ ∗
∈
∗
特殊四项
若 + = + = 2, 若 + = + = 2,
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
解析
式
不同
点
相同
点
等比数列
指数函数
=
(, ≠ 0， ∈ ∗ )
定义域是 ∗ ，图象
是一系列孤立的点.
=
( > 0且 ≠ 1)
定义域是，图
象是一条曲线.
当 > 0且 ≠ 1时，等比数列的图象
是与指数型函数图象上一系列孤立的
有什么内在联系？
由三个数, , 组成的等比数列，叫做与的等比中项.
2 = 即 = ± .
等比中项（ > 0）可以看成, 的几何平均数.
追问3：等差数列、等比数列有许多有趣的性质，你能列
举一些吗？
等差数列{ }
= 0，常值数列； > 0，递增数列； < 0，递减数列.
+ = + = 2
= = 2
追问4：推导等差数列、等比数列的前项和公式时，各用
了哪些巧妙的方法？
等差数列的前项和：
= 1 + 2 + 3 + … + ,
= + −1 + −2 + … + 1 .
2 = 1 + + 2 + −1 + ⋯ + ( + 1 )
1 − = 1 − 1 .
当 ≠ 1时，有 =
1 (1− )
;
1−
当 = 1时，有 = 1 .
追问4：推导等差数列、等比数列的前项和公式时，各用
了哪些巧妙的方法？

1 (1 − )
, ≠ 1，
1−
故 =
1 ,
= 1.
又因为 = 1 −1 ，所以还有
= 2.
等比数列{ }
以1为首项，3为公比.
解：对于等比数列{ }，由已知可得
= 1 × 3−1 = 3−1 （ ∈ ∗ ）.
故
= = (2 − 1) ∙ 3−1 （ ∈ ∗ ）.
追问：求数列的前项和的方法有哪些？
等差数列前项和——倒序求和法.
数列{ }满足：1 = （为正整数），
+1
3 + 1，当 为奇数时,
= 1
，
当 为偶数时.
2
(2) 当 = 17时，请确定使 = 1最少需要多少步雹程；
17→52 →26 →13 →40 →20 →10 →5 →16 →8 →4 →2 →1
所以，最少需要经过12步雹程.
= 1 + + 1 + + ⋯ + 1 +
个
= (1 + ).
1 +
故 =
.
2
追问4：推导等差数列、等比数列的前项和公式时，各用
了哪些巧妙的方法？
+
1

将 = 1 + − 1 代入 =
，得
2
( − 1)
= 1 +
高中数学
数列小结
导入新课
讲授新课
当堂练习Βιβλιοθήκη 课堂小结问题1：为什么说数列是一种特殊的函数？
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个
数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个
数列的第1项，也叫做首项，常用符号1 表示，第二个位
置上的数叫做这个数列的第2项，用2 表示……第个位置
上的数叫做这个数列的第项，用 表示.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差，公差常用字母表示.
− −1 = ≥ 2且 ∈ ∗ .
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
2 − 1 = ，
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
2
= ,
1
3
= ,
2
4
= ,
3
…… ,
将上述式子左右两侧分别累乘，化简得

= −1 ,
1
故 = 1 −1 .
1
写作 = .


= .
−1
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如