重庆市江津中学、铜梁中学、长寿中学等七校联盟2020-2021学年高三下第三次高考模拟考试数学试题

2020-2021学年下期高2021届七校三诊数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（改编）}16|{},62|{2<∈=≤≤=x Z x B x x A ，则=B A （ ）
A ．}3,2{
B ．}4,3,2{
C ．}2{
D ．}3{
2．若,a b R ∈，则“4≤+b a ”是“4≤ab ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件件
D ．既不充分也不必要条件 3．（改编）以下四个命题中：
①回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模拟的拟合效果越好； ②两个随机变量的线性相关越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2；
④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．（改编）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（ ）
A ．
14
B ．
827
C ．
29
D ．
16
5．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长 分别为a ､b ､c ，则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =
---求得，其中p 为三角形周长的一半，这
个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足3a =，5b c +=，则此三角形面积的最大值为（ ）
A ．3
2
B ．3
C ．7
D ．11
6．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如：OZ z =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到坐标原点的距离．在复平面内，复数021a i
z i
+=
+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为（ ）
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
7．（改编）已知函数()21x f x x =+-，()2log 1g
x x x =+-，()31h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，
b ，
c 的大小为( )
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
8．(原创) 已知抛物线Γ：24y x =，过点(2,0)M 作两条斜率为1k ，2k 的直线与抛物线Γ的准线l 分别相交于点1M ，
2M ．分别过1M ，2M 作l 的垂线交抛物线Γ于点P ，Q ，当121
4
k k =-时，则点(2,0)M 到直线PQ 的距离的最
大值是( )
A ． 1
B ．
821 C ． 1623 D ．9
4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（改编）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（w >0，j <
π
2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4
π，且()⎪⎭
⎫
⎝⎛-≤12πf x f 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．函数()f x 在区间,612⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ππ上单调递增
C ．点5,024⎛⎫
- ⎪⎝⎭
π是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6
π
个单位长度，可得到()sin 2g x x =的图象
10．（改编）设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若
|PF 1|2
|PF 2|的
最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．（改编）已知a ，b 为正实数，且+26ab a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为2 B ．2a b +的最小值为4
C ．a b +的最小值为3
D ．
1112a b +++的最小值为2
2
12． 如图，正方形ABCD 的边长为1，M N 、分别为BC CD 、的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ） A. 异面直线AC 与MN 所成的角为定值
B. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
C. 三棱锥N ACM -与B ACD -体积之比值为定值
D. 四面体ABCD
外接球体积为
23
π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．二项式2n
x x ⎫
-⎪⎪⎝⎭的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,x ____．
14．已知2sin 63
πα⎛⎫-= ⎪
⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 15．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2D E EF =，则AF BC 的值为_________.
16．已知定义在R 上的函数()13y f x =+-是奇函数，当()1,x ∈+∞时，()1
31f x x x '≥+
--，则不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦的解集为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n 项和为n S ，1581a a ⋅=，2S 、3a 、43a S -依次成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若______，求{}n n a b ⋅的前n 项和n P ，并求n P 的最小值． 从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．
①数列{}n b 满足：112b =，132n n n b b n +=+（*
n ∈N ）
； ②数列{}n b 的前n 项和2n T n =（*n ∈N ）；
③数列{}n b 的前n 项和n T 满足：65n n T b -=（*n ∈N ）． 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）
已知函数27()2cos sin 21()6f x x x x R π⎛⎫
=+--∈ ⎪⎝⎭
． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1
()2
f A =，若2b c a +=，且6AB AC =，求a 的
值．
19.（改编）（本小题满分12分）
国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近%70．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28(吨/天)的确定为“超标”社区： （1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值
x (精确到1.0)；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X 大致服从正态分布()2
,σμN
，其中μ，2
σ
分
别近似为（1）中样本的平均值x ，方差2
s ，经计算s 约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设Y 为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望． 附：若随机变量X 服从正态分布()2
,σμN
，则
()6827.0≈+≤<-σμσμX p ,()9545.022≈+≤<-σμσμX p ，()9974.033≈+≤<-σμσμX p
20.（原创）（本小题满分12分）
如图正三棱柱'''ABC A B C -的所有棱长均为2，E F G H 、、、分别是棱
'''AA AB AC B C 、、、的中点.
（1）求证：''//B C EFG 面；（2）求三棱锥H EFG -的体积； （3）求二面角E FG H --的余弦值．
21.（改编）（本小题满分12分）
椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，当F 是AB 的中点时，
AB =3．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 在点A 、B 处的切线交于点N ，O 为坐标原点，求证：直线ON 平分线段AB ．
附：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=．
22.（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x ax b =++在()()
1,1f 处的切线方程为2210x y --=.
（1）求()f x 的单调区间与最小值；
（2）求证：sin 1
ln cos x
x e x x x
-+>+
． 垃圾量X [)5.155.12， [)5.185.15，
[)5.215.18， [)5.245.21， [)5.275.24， [)5.305.27， [)5.335.30，
频数
5
6
9
12
8
6
4。