3匀变速直线运动的位移与时间的关系应用题型精解量大

三、匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、知识要点 1．位移与时间的关系
匀变速直线运动的位移与时间关系的公式为：x ＝2021at t v +。

在匀加速直线运动中，以初速度v 0方向为正方向，a 为正值；在匀减速直线运动中，
以初速度v 0方向为正方向，a 为负值。

在υ－t 图象中，图线与t 轴所围的梯形面积大小等
于物体在t 时间内的位移，如右图所示。

2．位移与速度的关系
匀变速直线运动的位移与速度关系的公式为：
ax v v 2202=-，在研究匀变速直线运动时，如果不涉
及到时间，用这个公式会使问题变得简单、方便。

二、问题讨论
1．如何推导匀变速直线运动的平均速度公式？
匀变速直线运动的物体，其υ－t 图线与t 轴所围的
梯形面积大小等于物体在t 时间内的位移，如图所示。

由图象可求得t v v x )(2
10+=，所以物体在0－t 时间内的平均速度01()2x v v v t ==+。

在推导过程中我们得到了匀变速直线运动的两个重要推论：⑴ 位移与初末速度关系的公式：01()2
x vt v v t ==+；⑵ 某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度：/201()2
t v v v v =+=。

2．匀变速直线运动的物体在相等时间内的位移变化有何规律？
物体做匀变速直线运动，设第一个T 时间的初速度为v 0、末速度为v 1、位移为x 1，第二个T
时间的末速度为v 2、位移为x Ⅱ，位移之差为△x ，则
t/s
t v 0 v
v 0 v
x 1＝T v v )(2110+，x Ⅱ＝T v v )(2
121+ △x ＝x Ⅱ—x 1 ＝T v v )(2121+—T v v )(2110+＝T v v )(2
102- 又aT v v 202+=
所以，△x ＝a T 2＝定值。

式中△x 是物体在相邻相等时间内的位移之差；a 是加
速度，匀加速a >0，匀减速a <0；T 是每个相等的时间间隔。

可见，做匀变速直线运动的物体在相邻相等时间内的位移之
差都相等，该定值等于a T 2。

此题也可借助υ－t 图象分析：如图所示，后面一个T 时间内的位移与前面一个T 时间内的
位移之差在图象上就等于每个阴影矩形的面积。

每个阴影矩形的长为T ，高为a T （就是在T 时
间内速度的变化），因此每个阴影矩形的面积为a T 2，即△x ＝a T 2。

3．物体做初速为零的匀加速直线运动，其运动有哪些特殊规律？
如果物体从静止开始做匀加速直线运动，初速度v 0=0，根据公式at v =、x ＝22
1at 、ax v 22=，可得出如下一些推论：
⑴ 由at v =得t v ∝，则物体在时刻t 、2t 、3t 、…… n t 的速度之比
v 1∶v 2∶v 3∶……∶v n ＝1∶2∶3∶……∶n
⑵ 由ax v 22=得x v ∝。

则物体通过位移x 、2x 、3x 、…… nx 时的速度之比
v 1∶v 2∶v 3∶……∶v n ＝1∶2∶3∶……∶n
⑶ 由22
1at x =得2t x ∝，则物体在时间t 、2t 、3t 、…… n t 内通过的位移之比 x 1∶x 2∶x 3∶……∶x n ＝12∶22∶32∶……∶n 2 ⑷ 由221at x =得x t ∝，物体通过位移x 、2x 、3x 、…… nx 所需的时间之比 t 1∶t 2∶t 3∶……∶t n ＝1∶2∶3∶……∶n
例1 汽车启动时从静止开始作匀加速直线运动，在第1s 内通过的位移为1.2m ，求该汽车
在第5秒内通过的位移。

分析和解 要求汽车在第5s 内通过的位移，可先求出前5s 内通过的位移和前4s 内通过的
O
t
4T v v T 2T 3T
v 2
位移，然后相减可得。

据公式221at x =
，可列出汽车 第1s 内通过的位移：2112x at =
① 前4s 内通过的位移：24412x at =
② 前5s 内通过的位移：25512
x at = ③ 故第5s 内通过的位移为：x Ⅴ＝2254541()2x x a t t -=
- ④ 将式④与式①相除，可得： 222254V 5422
111()212
a t t x t t x t at --==＝9 所以 199 1.2V x x ==⨯m ＝10.8m.
回顾与拓展 ⑴ 本题有多种解法，上述解答采用了比例法：先分别对两个过程列出对应的
物理方程（①式和④式），然后相除得到比例式。

用比例法解题时，也可以先由相关公式推出已
知量与未知量的关系式()y f x ∝，进而写出比例式。

本题也可以这样求解： 据公式22
1at x =，可推得汽车在第ns 内通过的位移为 22111(1)(21)222
n x an a n a n =--=- 由此可得 (21)n x n ∝-，于是有
V 12519211x x ⨯-==⨯- 所以，汽车在第5s 内通过的位移为：199 1.2V x x ==⨯m ＝10.8m.
⑵ 对于初速度为零的匀加速直线运动，我们运用前面“问题讨论3”中的推论容易得出：
汽车在第1、2、…、ns 内通过的位移之比为1∶3∶…∶（2n －1）。

你不妨利用这一关系直接求
解本题。

⑶ 请你求解下面问题：物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x 时的速度为v ，求位移为3
x 时的速度v ’为多大？ 例2 一辆汽车自静止开始以恒定加速度沿直线加速到速度为40m/s ，然后立即匀减速到停
止，在此全过程中通过700m ，问汽车运动共经历了多长时间？
分析和解 汽车的运动可分为匀加速和匀减速两个过程，两段运动的联系是：加速过程的末
速度就是减速过程的初速度；两段位移之和21x x +=700m ；总时间为两段时间之和21t t t +=。

匀加速过程的已知是：初速度v 0＝0、末速度v ＝40m/s ；匀减速运动的已知是：初速度v ＝
40m/s 、末速度v ’＝0。

因为不知道加速度a ，故可选用包括v 0、v 、x 、t 四个量的公式0
2
v v x t
+=列方程求解: 01104022
v v x t t ++== ① 02240022v v x t t '++== ② 21x x +＝700m ③
由①②③解得21t t t +=＝35s
回顾与拓展 ⑴ 求解运动学问题要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。

特别对较复
杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。

⑵ 分析研究对象的运动过程，要搞清整个运动过程按运动性质的不同可划分为哪几个运动
阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段之间存在什么联系，
以便于选择恰当的公式来分析求解。

⑶ 解决匀变速直线运动的问题，可用公式法，也可用图
象求解。

本题也可以用v-t 图象求解。

如图所示，v -t 图线所围
面积（三角形面积）表示物体这段时间通过的位移，由三角形
面积x ＝40×2t =700m ，解得t=35s 。

例3 在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时
器所用电源的频率为50Hz （打点时间间隔为0.02s ），如下图为做匀变速直线运动的小车带动的
纸带上记录的一些点，在每相邻的两点中间都有四个点未画出。

按时间顺序取0、1、2、3、4、
5六个点，用米尺量出1、2、3、4、5点到0点
的距离分别是：（单位：cm ）8.77、16.08、21.87、
26.16、28.94，由此可得小车的加速度的大小为
m/s 2,方向与初速度的方向（填“相同”或“相反”）。

（结果保留小数点后1位）计时器在打计数
点3时小车的速度为 m/s 。

分析和解 题中只给出各计数点之间的测量距离，故难以搬用前面实验中的近似方法来粗
测各计数点的瞬时速度（否则可能会造成较大的误差）。

所以也就难以用前面的实验方法求其加
速度的大小。

因各计数点间的时间间隔相同，我们可以运用“问题讨论2”中的推论来分析：做匀变速直
O v /m. s -1 t/s
t 40 x 1 t 1 t 1
v 0 v x 2 v ’
线运动的物体在相邻相等时间内的位移之差都相等，且等于a T 2。

即有
221324354x x x x x x x x aT -=-=-=-=，其中x 1为计数点0、1间位移、x 2为计数点1、2间
位移，其余依次类推。

由于实验总会存在误差，为减少实验误差，可把x 1、x 2、……x 5分成x 1、x 2和x 4、x 5、两组，
则有x 4－x 1=（x 4－x 3）+（x 3－x 2）+（x 2－x 1）=3aT 2
写成x 4－x 1=3a 1T 2，同理x 5－x 2=3a 2T 2，故有41123x x a T -=，52223x x a T
-= 从而，52412245
12122()()33226x x x x x x x x a a T T a T
--++-++===。

求出纸带上各计数点间的间距x 1、x 2、x 4、x 5，T ＝0.1s 。

将之代入上式，解得 1.5a =-m/s 2，
即小车的加速度大小为1.5m/s 2。

小车运动中各相等时间间隔内通过的位移逐渐减小，所以小车做匀减速运动，加速度方向
与初速度方向相反。

回顾与拓展 ⑴ 上述解答运用匀变速直线运动的推论△x ＝a T 2来处理纸带，测定小车的
加速度。

其中计算加速度平均值的方法称为逐差法。

逐差法利用了较多的实验数据（x 1、x 2、x 4、
x 5），使偶然误差尽可能抵消，这样算出的a 值误差较小。

⑵ 我们还可以运用“问题讨论2”中的推论求在打各计数点时小车的速度。

根据匀变速运
动中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，即/201()2t v v v v =
+=，由于各计数点间的时间间隔相同，故打计数点2时小车的瞬时速度v 2＝
122x x T
+，以此类推可求得3、4点的瞬时速度。

⑶ 一个小车M 上装有一个滴墨水的容器，每分钟滴出
120滴墨水．重物N 通过滑轮用绳拉动小车做匀加速运动,小
车经过处，在桌面上留下一系列墨滴，如图所示，测出
ab=0.11m ，bc=0.14m ，cd=0.16m ．求小车运动的加速度和
小车在b 、c 点处的瞬时速度（保留两位有效数字）。

1．已知长为L 的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速
●基础训练 图
度是到达斜面底端速度的一半时，它沿斜面滑下的距离是（ ）
A ．2L B. 22L C. 4
L D. (21)L 2. 做匀减速直线运动的物体经过3s 速度为零，已知第3秒内的位移是1m ，物体在这3s 内
的平均速度是 （ ）
A 、9m/s
B 、6m/s
C 、5m/s
D 、3m/s
3.飞机着陆后在跑道上做匀减速直线运动，已知初速度是60m/s ，加速度大小是6m/s 2，则飞
机着陆后12秒内的位移大小是 （ ）
A 、288m
B 、300m
C 、600m
D 、360m
4.一物体做匀变速直线运动，其位移与时间关系是：x =（10—4t 2
）m ，则( )
A 、物体的初速度是10m/s
B 、物体的加速度是—4m/s
C 、物体的加速度是8m/s 2 C 、物体在2s 末的速度为—6m/s
5．A 、B 两质点的v －t 图像如图所示，设它们在同一条直线
上运动，在t=3s 时它们在中途相遇，由图可知：
A 、A 比
B 先启程 B 、A 比B 后启程
C 、两质点启程前A 在B 前面4m
D 、两质点启程前A 在B 后面2m
6．一物体做匀变速直线运动，初速度为15m ／s ，方向向东．第
5s 未的速度为10m ／s ，方向向西，则第几秒开始物体向西运动 ( )
A ．第2s 末
B . 第3s 末
C . 第4s 末
D . 第15s 末
7．列车长为L ，铁路桥长也为L ，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头时速度为1v ，
车头过桥尾时速度为2v ，则车尾通过桥尾时速度为（ ） A 、2v B 、22v C 、2
2
221v v + D 、21222v v - 8.一物体由静止开始做匀加速直线运动，在4s 内的位移是64m ，则在前一半时间内物体的
位移是_______m ，经过前一半位移所需的时间是________s 。

9.一质点从静止开始以1 m/s 2的加速度做匀加速运动，经过5 s 后做匀速运动，最后2 s 的时
间使质点匀减速到静止，则质点匀速运动时的速度为 m/s ，减速运动时的加速度为 m/s 2。

10.某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40 km/h.一次一辆卡车在市区路面紧急刹车
后，经1.5 s 停止，量得刹车痕迹s =9 m.，问这车是否违章？ 。

11.如图所示，表示某物体做直线运动的v —t 图像，
从图可知OA 段、AB 段、BC 段、CD 段的加速度分别是
______m/ s 2、______m/s 2、______m/ s 2、______m/ s 2，物
体在14s 内的总位移、总路程分别是________m 、______m 。

12.2004年7月25日，中国用长征运载火箭成功的发射了“探测二号”卫星．图7是某监测系统每隔2.5s 拍摄的，关于起始加速阶段火箭的一组照片。

已知火箭的长度为40m ，用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图7所示．火箭的加速度a = ，
火箭在照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度大小v = 。

13. 有一在平直公路上匀速行驶的汽车从某时刻开始作匀变速运动，在第
一个1s 内的平均速度比在第一个2s 内的平均速度大2m/s ，而位移小4m ，求
该汽车做匀变速运动的初速度和加速度？
14.一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢的前端
观察，第一节车厢通过他历时2s ，全部车厢通过他历时6s ，设各节车厢长度
相等，不计车厢间距离，试问：
（1）这列火车共有多少节车厢？
（2）最后2s 内通过他的车厢有多少节？
（3）最后一节车厢通过他所需的时间为多少？
15.在高速公路上，有时会发生“追尾”的事故——后面的汽车撞上前面
的汽车。

请分析一下，造成“追尾”事故的原因有哪些？我国高速的最高车速限制为120km/h 。

设某人驾车正以最高时速沿平直高速公路行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5m/s 2，司机的反应时间（从意识到应该停车至操作刹车的时间）约为0.7s 。

请分析一下，应该如何计算行驶时的安全车距？
16.汽车正常行驶的速度为54Km/h ，因故中途停车2min ，刹车时汽车加速度的大小为0.3m/s 2，而再起步时加速度为0.5m/s 2，求汽车因停车而耽误的时间。

17.甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v —t 图象如图所示，则（ ）
图 c m 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ●发展训练
A.乙比甲运动的快
B.2 s 乙追上甲
C.甲的平均速度大于乙的平均速度
D.乙追上甲时距出发点40 m 远
18. 一辆警车在平直的公路上以40m/s 的速度行驶，现在要到达前方某地时的速度也为40m/s ，有三种行进方式：a 一直匀速直线运动；b 先减速再加速；c 先加速再减速，则（ ）
A ．a 种方式先到达
B ．b 种方式先到达
C ．c 种方式先到达
D ．条件不足，无法确定
19.国宾车队从同一地点先后开出n 辆汽车在平直的公路上排成直线行驶，各车均从静止出发先做加速度为a 的匀加速直线运动，达到同一速度v 后改做匀速直线运动，欲使n 辆车都匀速行驶时彼此距离为s ，则各辆车依次启运的时间间隔为（不计汽车的大小）（ ）
A ．a v 2
B ．a v 2
C ．v
s 2 D ．v s 20.一物体沿一直线运动，在t 时间内通过的路程为s ，它在中间位置s /2处的速度为v 1，在中间时刻t /2时的速度为v 2，则v 1和v 2的关系为（ ）
A.当物体做匀加速直线运动时v 1>v 2，当物体做匀减速直线运动时v 1<v 2
B.当物体做匀加速直线运动时v 1<v 2，当物体做匀减速直线运动时v 1>v 2
C.不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，都有v 1<v 2
D.不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，都有v 1>v 2
21.某同学在测量匀变速直线运动的加速度时，得到了几条较为理想的纸带。

已知每条纸带上每5个点取一个计数点，根据打点先后编为0，1，2，3，4，5，由于不小心，纸带被撕断了，请根据下图中所示的A 、B 、C 、D 四段纸带分析：B 、C 、D 三段纸带中从纸带A 上撕下的那段应该是纸带________，打纸带A 时，物体运动的加速度大小是________ m/ s 2
22.从斜面上某位置，每隔0.1 s 释放一个小球，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下
照片，如图所示，测得x AB =15 cm
，x BC =20 cm ，试求 （1）小球的加速度. （2）拍摄时B 球的速度v B =?
（3）拍摄时x CD =? （4）A 球上面滚动的小球还有几个？ A B C D
单位：mm
23．甲、乙两同学在直跑道上练习4100
m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。

乙从静止开始全力奔跑，需跑出25m才能达到最大速度，这一过程可看做匀加速运动。

现在甲持棒
以最大速度向乙奔来，乙在接力区接棒全力奔出。

若要求乙接棒时的速度达到最大速度的4
5。

求：⑴乙在接力区内奔跑的距离；⑵乙开始起跑时与甲的距离。

24. 人类为了探测距地球约30万公里的月球，发射了一种类似于四轮小车的月球探测器，它能够在自动导航系统的控制下行走，且每隔10s向地球发射一次信号。

探测器上还装有两个相同的减速器（其中一个是备用的），这种减速器的最大加速度为5m/s2。

某次探测器的自动导航系统出现故障，从而使探测器只能匀速前进而不再能自动避开障碍物，此时地球上的科学家必须对探测器进行人工遥控操作。

收到信号时间与前方障碍物的距离（单位：m）
9∶102052
9∶103032
发射信号时间给减速器设定的加速度（单位：m/s2）
9∶10332
收到信号时间与前方障碍物距离（单位：m）
9∶104012
已知控制中心的信号发射与接收设备工作速度极快，科学家每次分析数据并输入命令最少需3s。

问：⑴经过数据分析，你认为减速器是否执行了减速命令？⑵假如你是控制中心的工作人员，应采取怎样的措施？请计算说明。