Asin(ωx+φ)的图象和性质讲义

§3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
考纲解读
分析解读江苏高考对本节内容要求较低,近年没有考查.但是复习时仍要以本部分知识为载体,巩固数形结合思想和函数的相关性质.
五年高考
考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.(2016天津文改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零
点,则ω的取值范围是.
答案∪
2.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<
3.已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,
得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.
(1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
=sin ωx-cos ωx=
=sin.
因为f=0,所以-=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.(2014陕西改编,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是.
答案π
2.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调
性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.
答案π
3.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求证:当x∈时, f(x)≥-.
解析(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x
=sin 2x+cos 2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)证明:因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤.
所以sin≥sin=-.
所以当x∈时, f(x)≥-.
4.(2016山东,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解析(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2sin2x-(1-2sin xcos x)
=(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-cos 2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位,
得到y=2sin x+-1的图象,
即g(x)=2sin x+-1.
所以g=2sin+-1=.
5.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx
=sin,ω>0,(3分)
所以f(x)的最小正周期T==.(4分)
依题意,=π,解得ω=1.(6分)
(2)由(1)知f(x)=sin.
函数y=sin x的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(13分)
教师用书专用(6—9)
6.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析(1)由已知,有
f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.
所以, f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f=-, f=-, f=,所以, f(x)在区
间上的最大值为,最小值为-.
7.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,
又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
(2)依题意,得当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.
在10时至18时这段时间内实验室需要降温.
8.(2013陕西理,16,12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
解析f(x)=·(sin x,cos 2x)
=cos xsin x-cos 2x
=sin 2x-cos 2x
=cos sin 2x-sin cos 2x=sin.
(1)f(x)的最小正周期为T===π,
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.
由正弦函数的性质,知
当2x-=,即x=时, f(x)取得最大值1.
当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-,
因此, f(x)在上的最大值是1,最小值是-.
9.(2013天津理,15,13分)已知函数f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析(1)f(x)=-sin 2x·cos-cos 2x·sin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.又f(0)=-2, f=2, f=2,故函数f(x)在区间
上的最大值为2,最小值为-2.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将
y=f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象的解析式为y= .
答案sin
2.(2016江苏扬州中学月考,13)将y=sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0),使得平移后的图象仍过点,则φ的最小值为.
答案
3.(苏教必4,二,3,变式)已知函数y=3sin ωx(ω>0)的周期是π,将函数y=3cos(ω>0)的图象沿x轴向右平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数f(x)= .
答案3sin
4.(2017江苏盐城期中,16)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求A,ω,φ的值;
(2)设θ为锐角,且f(θ)=-,求f的值.
解析(1)由题中图象,得A=,
最小正周期T==π,∴ω==2,
∴f(x)=sin(2x+φ),
由f=-,得2×+φ=-+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=.
(2)由f(θ)=sin=-,得sin=-,
∵θ∈,∴2θ+∈,
又sin<0,∴2θ+∈,
∴cos=-=-,
∴f=sin 2θ=sin
=
==.
考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质
5.(苏教必4,二,3,变式)已知函数y=,以下说法正确的序号是.
①函数的周期为;②函数是偶函数;③函数图象的一条对称轴为直线x=;④函数在上为减函数.
答案③
6.(2017南京、盐城第二次模拟考试,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最大值为.
答案
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:25分时间:10分钟)
一、填空题(每小题5分,共10分)
1.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若f(α)=,则f的值为.
答案
2.(2016江苏镇江一模,9)函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)的图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为.
答案2
二、解答题(共15分)
3.(2016江苏扬州中学质检,15)在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(,1),点N的坐标为(cos ωx,sin
ωx),其中ω>0,设f(x)=·(O为坐标原点).
(1)若ω=2,∠A为△ABC的内角,当f(A)=1时,求∠A的大小;
(2)记函数y=f(x)(x∈R)的值域为集合G,关于x的不等式x2-mx<0的解集为集合P.当P⊆G时,求实数m的最大值.
解析(1)当ω=2时,f(x)=·=sin 2x+cos 2x=2sin.
当f(A)=1时,sin=,
∵∠A为△ABC的内角,
∴0<A<π,
∴<2A+<,
∴2A+=或,
∴A=或A=.
(2)由f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin得,
f(x)的值域G=[-2,2].
又关于x的方程x2-mx=0的解为x1=0,x2=m,故要使P⊆G恒成立,
只需m∈[-2,2],所以m的最大值为2.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 根据图象确定函数解析式
1.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,由此点到相邻最低点间的曲线与x轴
交于点,φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式;
(2)写出函数的单调区间.
解析(1)依题意,A=,T=4×=4π.
∵T==4π,ω>0,∴ω=.
∴y=sin.
又曲线上的最高点为,
∴sin=1,
∴φ+=2kπ+,k∈Z.
∵-<φ<,∴φ=.
∴y=sin.
(2)令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
∴函数的单调递增区间为(k∈Z).
令2kπ+≤x+≤π+2kπ,k∈Z,
得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.
∴函数的单调递减区间为(k∈Z).
方法2 三角函数的性质
2.已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a、b的值. 解析∵x∈,
∴2x+∈,sin∈.
∴当a>0时,解得
当a<0时,解得
∴a、b的取值分别是4、-3或-4、-1.
3.函数y=tan-sin sin,x∈R.
(1)求函数的最大值、最小值;
(2)求函数的最小正周期;
(3)求函数的单调区间;
(4)求函数的图象可由函数y=cos,x∈R的图象经过怎样的变换得到? 解析原函数可化简为
y=1+sin=1+sin.
(1)当2x-=+2kπ(k∈Z),
即x=+kπ(k∈Z)时,sin=1,y max=1+;
当2x-=+2kπ(k∈Z),
即x=+kπ(k∈Z)时,sin=-1,y min=1-.
(2)函数的最小正周期T=π.
(3)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);
由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数的增区间为(k∈Z),减区间为(k∈Z).
(4)y=cos=cos=sin 2x.
函数的图象可由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度而得到.。