2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．设全集U ＝R ，集合{}25A x x =<<，{}13B x x =<<，则集合(
)U
A B =（ ）
A ．()2,3
B ．(]2,3
C ．[)3,5
D ．()3,5
【答案】C 【分析】先求出
U
B ，由交集的定义即可得出答案.
【详解】因为{}13B x x =<<，所以U
B ={1x x ≤或}3x ≥，
所以A
(
)U
B =[)3,5.
故选：B.
2．已知函数1123f x x ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
．则()2f 的值为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】B
【分析】根据题意，令1
12x +=可得x 的值，将x 的值代入1
(1)23f x x
+=+，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数1(1)23f x x
+=+，若1
12x +=，解可得1x =，
将1x =代入1123f x x ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，可得()25f =，
故选：B ．
3．“1n =”是“幂函数()()
2
2333n n
f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由幂函数()()
22
333n n
f x n n x
-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得22331
30
n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由充分、必
要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当1n =时，()2
f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；
若幂函数()()
2
2333n
n
f x n n x
-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，
则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩
，解得1n =或2n =
故必要性不成立
因此“1n =”是“幂函数()()
2
2333n
n
f x n n x
-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
4．已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．82 C ．9
D ．92
【答案】C
【分析】由已知等式可得211y x +=，根据()2122x y x y y x ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由2x y xy +=，0x >，0y >得：
21
1y x
+=， ()212222225529x y x y
x y x y y x y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭
（当且仅当22x y y x =，即3x =，3y =时取等号），
2x y ∴+的最小值为9.
故选：C.
5．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数1()x
f x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()lo
g b g x x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】先由22log log 0a b +=求得1
b a
=，再将()log b g x x =转化为1()log a g x x =，再利用反函数的
性质即可得到正确选项B
【详解】由22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠）， 可得()2log 0ab =，则1ab =，则1
b a
= 则
1()log log b a
g x x x
==，又1()x
f x a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则()g x 与()f x 互为反函数，
则()g x 与()f x 单调性一致，且两图像关于直线y x =轴对称 故选：B
6．已知函数(
),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨
-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1) B ．a ∈[3
4,1)
C ．a ∈(0,1
3]
D ．a ∈[3
4
,2)
【答案】C
【分析】根据条件知()f x 在R 上单调递减，从而得出01
2031a a a <<⎧⎪
-<⎨⎪≤⎩
，求a 的范围即可．
【详解】∵()f x 满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212
f x f x x x -<-0成立，
∴()f x 在R 上是减函数，
∴0
01
20(2)03a a a a a <<⎧⎪
-<⎨⎪-⨯+≤⎩
，解得103a <≤，
∴a 的取值范围是10,3⎛⎤
⎥⎝⎦．
故选：C ．
7．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若11
33
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则
53f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．53-
B ．13-
C ．13
D ．53
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
故5133
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e kt
c c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量
02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现
给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：
ln20.693,ln3 1.099≈≈） A ．5.32h B ．6.23h C ．6.93h D ．7.52h
【答案】C
【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt
t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时
间为1t ，转化求解即可. 【详解】解：由题意得：
()0.100e e 200kt t t c c --==
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t
()10.1120001000e t t c -=≥
10.12
e 1
t -≥
故0.1ln 2t -≥-，ln 2
6.930.1
t ≤
≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h 故选：C
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，0c <，则22a c b c < B ．若a b >，0c <，则33a c b c < C ．若0a b <<，则2
2
a a
b b >>
D
．函数2y =
2
【答案】BC
【分析】对于A 选项，取特殊值即可判断正误； 对于B 、C 选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；
对于D
选项，将函数化简为y
[)2,t ∞∈+，然后根据对勾函数的单调性
即可判断正误
【详解】对于A 选项，取2a =，3b =-，1c =-，则22a c b c >，故A 错误； 对于B 选项，a b >，33a b ∴>，0c <，33a c b c ∴<，故B 正确； 对于C 选项，
0a b <<，2a ab ∴>，2ab b >，22a ab b ∴>>，故C 正确；
对于D
选项，函数
2
2
1y +==
[)2,t ∞=∈+，
由函数1y t t =+在[)2,t ∈+∞上单调递增，15
222y ∴≥+=，故D 错误.
故选：BC
10．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“R x ∀∈，21x >-”的否定是“R x ∃∈，21x <-”
B ．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1
C ．()1ln 1x f x x -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
为奇函数
D ．函数()2
25f x x x =-+的单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的否定可判断A ，利用对数函数的性质可判断B ，根据奇函数的定义可判断C ，根据二次函数的性质可判断D.
【详解】因为命题“R x ∀∈，21x >-”的否定是“R x ∃∈，21x ≤-”，故A 错误；
因为()()log 231a f x x =-+，令231x -=，可得2,1x y ==，即函数图象恒过定点()2,1，故B 正确； 因为()1ln 1x f x x -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭，可知定义域为()1,1-关于原点对称，
又()()11ln ln 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫
-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
，故函数为奇函数，故C 正确；
因为()22
225,0
2525,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩
，所以函数的单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞，故D 正确.
故选：BCD.
11．关于函数()41
412x x x
f x a -=+-⋅，下列结论中正确的是（ ）
A ．当0a =时，()f x 是增函数
B ．当0a =时，()f x 的值域为()1,-+∞
C ．当1a =时，()f x 是奇函数
D ．若()f x 的定义域为R ，则2a <
【答案】ACD
【分析】根据复合函数的单调性可判断A ，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B ，根据奇函数的定义可判断C ，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.
【详解】当0a =时，()412
14141
x x x f x -==-++，由函数41x y =+单调递增，函数21y u =-在()0,∞+上
单调递增， 所以()2
141
x f x =-
+在R 上单调递增，故A 正确； 因为1
411,0141
x
x +><
<+，
22041x -<-<+， 所以()()412
11,14141
x x
x f x -==-∈-++，故B 错误； 当1a =时，()41
412x x x
f x -=+-定义域为R ，而()()4114412142x x x
x x x f x f x ------===-+-+-， 所以()f x 是奇函数，故C 正确；
若()f x 的定义域为R ，则4201x x a -⋅≠+恒成立，即41
2x x
a ≠
+， 因为4112222
x x x x =+≥+，当且仅当122x
x =，即0x =时取等号，所以2a <，故D 正确.
故选：ACD.
12．已知函数()()2
,R f x x ax a b a b =+-+∈，若非空集合(){}
0A x f x =≤，()(){}
11B x f f x =+≤，
A B =，则下列说法中正确的是（ ）
A ．b 为常数
B ．b 的取值与a 有关
C ．0a ≤≤
D ．4a -≤-
【答案】AC
【分析】不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，可得{|1()1}B x m f x n =-≤≤-，由A B =≠∅，解得0a ≥或
4a ≤-，又m ，()n m n ≤为方程()1f x =的两个根，可得1m a =--，进而求出a 的取值范围．
【详解】不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，则有()1m f x n ≤+≤，
∴{|[()1]1}{|()1}{|1()1}B x f f x x m f x n x m f x n =+≤=≤+≤=-≤≤-， 由A B =≠∅，得10n -=且min ()1f x m ≥-， 由()f n f =(1)1=得0b =，故A 正确，B 错误； ∴2()f x x ax a =+-， ∵{}()0A x f x =≤≠∅，
∴∆240a a =+≥，解得0a ≥或4a ≤-，
又m ，()n m n ≤为方程()1f x =的两个根， ∴1m a =--， ∴2min
4()24
a a f x a --=≥--
，解得a -≤
∴[0,a ∈，故C 正确，D 错误. 故选：AC.
三、填空题
13．若23m n k ==，且12
1+=m n
，则实数k 的值为______. 【答案】18
【分析】由指对数互化可得2log m k =，3log =n k ，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k 的值.
【详解】由题设，2log m k =，3log =n k ， 所以
231212l log log og 2log 9log 181k k k m n k k
+=+=+==，则18k =. 故答案为：18.
14．已知函数()f x 为R 上奇函数，当0x >时，()2
23f x x x =+-，则0x <时，()f x =__________.
【答案】223x x -++
【分析】根据奇函数定义即得.
【详解】当0x <时，0x ->，则2()23f x x x -=--， 因为函数为奇函数，
所以()2()23f x f x x x -=-=--，即()2
23f x x x =-++.
所以当0x <时，()2
23f x x x =-++.
故答案为：223x x -++.
15．方程()2
250a x x a --++=的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】(),2-∞-
【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．
【详解】∵方程 ()2
250a x x a --++=的一根大于1，另一根小于1，
令()2
2()5a x x f x a --++=，
则()(1)1025a f a --++<=， 解得2a <-. 故答案为：(),2-∞-.
16．不等式()2
2
2log 2x x x x --<+-的解集为__________.
【答案】()0,2
【分析】先根据对数函数确定取值范围，在判断()2
()log 2f x x x =+-和2()2g x x x =--的单调
性以及特殊点点大小，最后根据双方单调性以及临界值得到解集.
【详解】根据对数函数性质可知()20
0,0x x x ∞+>⎧⇒∈+⎨
>⎩
令()()
22222
222212()log 2log 2log log log x f x x x x x x x x +⎛⎫
=+-=+-==+ ⎪⎝⎭
根据幂函数单调性可知212
x x
+在()0,∞+单调递减，所以()f x 在()0,+∞单调递减且(2)0f =，当
()0,2x ∈时()0f x >，[)2,x ∞∈+时()0f x ≤
令2()2g x x x =--，当()0,2x ∈时()0g x <，[)2,x ∞∈+时()0g x ≥ 因此当()0,2x ∈时，()()g x f x < 故答案为: ()0,2
四、解答题
17．已知集合{}=02A x x ≤≤，{}=32B x a x a ≤≤-． (1)若()R R A B =，求实数a 的取值范围；
(2)若A B B =，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(],0-∞ (2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）求出
A R
，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由A B B =得B A ⊆，分B =∅，B ≠∅两种情况讨论可求得a 的取值范围． 【详解】（1）由集合{}=02A x x ≤≤，所以{}
R
=<0>2A x x x 或，
又{}=32B x a x a ≤≤-，()R R A B =，
所以320322a a a a -≥≤-≥⎧⎪
⎨⎪⎩，解得0a ≤；
所以实数a 的取值范围是(],0-∞． （2）若A B B =，则B A ⊆， 当B =∅时，32a a -<，解得1a >；
当B ≠∅时，有1a ≤，要使B A ⊆，则0322a a ≥-≤⎧⎨⎩，解得1
12a ≤≤，
综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
18．已知函数()221f x x x =-++.
(1)画出()f x 的图象；
(2)求()4f x >的解集. 【答案】(1)图象见解析； (2){1x x <或7
}3
x >.
【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数()f x ，再画出函数的图象； （2）根据分段函数，分段解不等式即得.
【详解】（1）当1x <-时，()()()22133f x x x x =-+--=-+； 当12x -≤≤时，()()2215f x x x x =-++=-+； 当2x >时，()()22133f x x x x =-++=-； 故()33,1
5,1233,2x x f x x x x x -+<-⎧⎪
=-+-≤≤⎨⎪-≥⎩
，函数图象如图所示：
；
（2）由题得，当1x <-时，334x -+>，解得1
3x <-，则1x <-；
当12x -≤≤时，54x -+>，解得1x <，则1<1x -≤； 当2x >时，334x ->，解得73x >
，则73
x >； 综上，()4f x >的解集为{1x x <或7
}3
x >.
19．设0a >且1a ≠，函数()()()log 1log 3a a f x x x =++-的图象过点()1,2. (1)求a 的值及()f x 的定义域；
(2)求()f x 在30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调区间和最大值.
【答案】(1)2a =，()1,3-
(2)单调增区间为[]0,1，单调减区间为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；最大值为2
【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；
（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.
【详解】（1）∵函数()()()log 1log 3a a f x x x =++-的图象过点()1,2，
∴()()log 11log 312a a ++-=，∴log 42a =，即24a =，
又0a >且1a ≠，∴2a =，
要使()()()22log 1log 3f x x x =++-有意义，
则101330
x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩， ∴()f x 的定义域为()1,3-；
（2）()()()2log 13f x x x =+-，
令()()()2
1314t x x x =+-=--+ ∵302x ≤≤，∴()214t x =--+的最大值为4，此时1x =，且t 在[]0,1单调递增，单调递减31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ∴()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调增区间为[]0,1，单调减区间为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为2. 20．已知函数()331
x x a f x -=+为奇函数. (1)求实数a 的值；
(2)判断()f x 在R 上的单调性（不必证明）；
(3)解关于t 的不等式()()222210f t t f t -+-<.
【答案】(1)1a =
(2)单调递增 (3)113t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
【分析】（1）根据(0)0f =求出1a =，再由奇函数的定义验证即得；
（2）根据指数函数的单调性即得；
（3）根据函数的奇偶性及单调性可得22212t t t -<-，解不等式即得.
【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数，可得R x ∀∈，都有()()f x f x -=-，
令0x =，可得()003100312
a a f --===+，解得1a =， 所以()3131
-=+x x f x ，此时满足()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++， 所以函数()f x 是奇函数，
所以1a =；
（2）()f x 在R 上单调递增；
理由如下：因为()31213131
x x x f x -==-++， 函数31x y =+单调递增，函数21y u
=-在()0,∞+上单调递增， 所以()2131
x f x =-+在R 上单调递增； （3）因为()f x 为奇函数，可得()()()22222112f t t f t f t -<--=-，
又()f x 在R 上单调递增，所以22212t t t -<-， 解得113
t -<<， 所以原不等式的解集为113t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
. 21．（1）若0m >，求关于x 的不等式()2110mx m x -++<的解集；
（2）若对任意[]1,2x ∈，()2110mx m x -+-≤恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【分析】（1）分01m <<，1m >，1m =讨论，利用二次不等式的解法即得；
（2）法一，利用参变分离可得21x m x x +≤
-对任意(]1,2x ∈恒成立，然后利用对勾函数的性质及反比例函数的性质可得21x y x x
+=-的最值即得；法二，利用二次函数的性质分类讨论即得. 【详解】（1）令()()()()21111mx m x f mx x x =-++=--，
当01m <<时，11m >，所以()0f x <的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭； 当1m >时，11m <，所以()0f x <的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
；
当1m =时，11m
=，所以()0f x <的解集为∅； 综上，当01m <<时，不等式()2110mx m x -++<的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭， 当1m =时，不等式()2110mx m x -++<的解集为∅，
当1m >时，不等式()2110mx m x -++<的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
； （2）法一：
当1x =时，20-<，成立；
当(]1,2x ∈时，由题可得21x m x x +≤
-对任意(]1,2x ∈恒成立， 令21x y x x
+=-，则有min m y ≤，(]1,2x ∈， ()()21
121312131
x y x x x x +==
+-++++-+， 令211t x x =++
+，(]12,3x +∈，根据对勾函数的性质可得113,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
， 所以13,32y t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢-⎣⎭， 所以当2x =时，min 32
y =， 故实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦； 法二：令()()211f x mx m x =-+-，
①当0m =时，()1f x x =--，
对任意[]1,2x ∈，()()120f x f ≤=-<恒成立；
②当0m >时，函数()f x 图象开口向上，
若对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立，只需()()1020f f ⎧≤⎪⎨
≤⎪⎩， 解得32
m ≤， 故当302m <≤
时，对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立； ③当0m <时，对任意[]1,2x ∈，10x -≥，10mx -<，
()()()11220f x mx x =---≤-<恒成立；
综上可知，实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 22．已知函数()f x 满足如下条件：①对任意0x >，()0f x >；②()11f =；③对任意0x >，0y >，总有()()()f x f y f x y +≤+.
(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；
(2)证明：满足题干条件的函数()f x 在()0,∞+上单调递增；
(3)①证明：对任意的0s >，
()
()22k k f s f s ≥，其中*N k ∈； ②证明：对任意的()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()122x f x f x x
⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 【答案】(1)()()1a f x x a =>（答案不唯一）
(2)证明见解析
(3)①证明见解析；②证明见解析
【分析】(1)根据条件设计一个函数即可；
(2)根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；
(3)运用递推的方法先证明①，在根据①的结论，考虑的x 的区间即可证明.
【详解】（1）()f x x =，()2f x x =，()3f x x =等.()()1f x x αα=>均可；
（2）任取0x y >>，()()()()f x f y f x y y f y -=-+-.
因为0x y ->，故()()()f x y y f x y f y -+≥-+且()0f x y ->.
故()()()()()0f x f y f x y y f y f x y -=-+-≥->.
故()f x 在()0,∞+上单调递增.
（3）①由题意可知：对任意正数s ，都有()0f s >，且()()()f s f t f s t +≤+，
在③中令x y s ==，可得()()22f s f s ≥，即
()()22f s f s ≥； 故对任意正整数k 与正数s ，都有()
()()()()()()
()1122222222k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥；
②由①可知：对任意正整数k 与正数s ，都有()()22k k f s f s ≥，
故对任意正整数k 与正数s ，都有()
()1122k k f s f s --≥， 令12k s -=，则()()1112212k k k f f ---≤=；
对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x --∈，并且2122,2
k k x --<< 12222k k x --<< ， 又因为()11f =，所以由（2）中已经证明的单调性可知：
()()()11122122k k k x f x f f --->≥=>，()111222k k f f x x --⎛⎫<≤< ⎪⎝⎭
， 所以()122x f x f x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 【点睛】对于第二问，如何巧妙运用()()()f x f y f x y +≤+ 要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把2k s 看作
2k s s s s ++++ ，再运用()()()f x f y f x y +≤+ 可以证明①，再利用①的结论推出()2x f x > ，12f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ .。